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同步检测训练
一、选择题
1．若函数f(x)的反函数为f－1(x)，则函数f(x－1)与f－1(x－1)的图象可能是如下图中的( )
答案：A
解析：y=f(x-1)和y=f-1(x-1)分别是将y=f(x)和y=f-1(x)向右平移1个单位得到，故y=f(x-1)与y=f-1(x-1)关于直线y=x-1对称．故选A.
2．函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝2－x＋1在同一直角坐标系下的图象大致是如下图中的( )
答案：C
解析：f(x)过点(1,1)，g(x)过点(0,2)，仅有C符合．故选C.
曲线上的点的坐标，对应其方程的解，因此，找出符合要求的特殊点即可．
3．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，如下图中不可能正确的是( )
答案：D
解析：如图A、B、C三个图中C1、C2可分别作为y=f(x)和y=f′(x)的图象，符合题意，对于D，若C1为导函数则y=f(x)应为增函数，不符合，若C2为导函数则y=f(x)应为减函数，也不符合，故选D.
4．客车从甲地以60 km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80 km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象如下图，正确的是( )
答案：C
解析：图象经过(0,0)，(1,60)，(1.5,60)，(2.5,140)的三段折线，故选C.
5．(2009·北京市海淀区4月)函数f(x)＝2x＋1的反函数的图象大致是( )
答案：A
解析：由y=2x+1得x+1=log2y，x=log2y-1(y>0)，即函数f(x)=2x+1的反函数是f-1(x)=log2x-1(x>0)，注意到函数f-1(x)在(0，+∞)上是增函数，结合各选项知，选A.
6．(2009·北京市东城区)函数y＝f(x)的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧(如右图)，则不等式f(x)<f(－x)＋2x的解集为( )
A．{x|－<x<0或<x≤1}
B．{x|－1≤x<－或<x≤1}
C．{x|－1≤x<－或0<x<}
D．{x|－<x<且x≠0}
答案：A
解析：从函数图象可以看出：函数y＝f(x)是关于原点对称的函数，∴f(－x)＝－f(x)；
由不等式f(x)<f(－x)＋2x得：f(x)－f(－x)<2x⇒2f(x)<2x⇒f(x)<x，∴y<x；
即函数图象在直线y＝x下方的部分，故选A.
7．(2009·北京市西城区)如右图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是a m(0<a<12)、4 m，不考虑树的粗细．现在想用16 m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD.设此矩形花圃的最大面积为S，若将这棵树围在花圃内，则函数S＝f(a) (单位：m2)的图象大致是( )
答案：C
解析：由题意，知P(a,4)，设D(x，y)(a≤x<12)，S=xy=x(16-x)=-(x-8)2+64，若0<a≤8，则当x=8时，S取得最大值64；若8<a<12，则当x=a时，S取得最大值-(a-8)2+64，故选C.
8．(2009·湖北省部分重点中学联考)已知函数y＝f(x)的定义域是R，若对于任意的正数a，函数g(x)＝f(x＋a)－f(x)都是其定义域上的增函数，则函数y＝f(x)的图象可能是下图中的( )
答案：A
解析：在A中图象类似指数函数y=bx(b>1)的图象，易知g(x)=f(x+a)-f(x)=bx+a-bx=bx(ba-1)，可知它是单调递增函数，其他几个图象可类似选取适当的函数，易知不合题意．所以选A.
二、填空题
9．若函数y＝x2＋(a＋2)x＋3，x∈[a，b]的图象关于直线x＝1对称，则b＝________.
答案：6
解析：二次函数y＝x2＋(a＋2)x＋3的图象关于直线x＝1对称，说明二次函数的对称轴为1，即－＝1.∴a＝－4.而f(x)是定义在[a，b]上的，即a、b关于x＝1也是对称的，∴＝1.
∴b＝6.
10．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝t－a(a为常数)，如上图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为__________________________________；
(2)根据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过__________小时后，学生方才能回到教室．
答案：(1)y＝
(2)0.6
解析：本小题主要考查运用函数知识解决实际应用问题的能力．
将(0.1,1)分别代入y＝kt与y＝()t－a中解得k＝10，
a＝0.1＝
∴y＝
令()t－≤0.25
则2(t－)≥1
解得t≥0.6 即t最小值为0.6.
11．(2008·杭州学军中学)记min{a，b}为a，b两数的最小值，当正数x，y变化时，t＝min也在变化，则t的最大值为________．
答案：
解析：x>0，y>0，≤＝，
f(x)=x和g(x)= 的图象如上图，
则t=min的最大值为，故填.
三、解答题
12．(2009·昆明质检)已知函数
(1)在如下图的坐标系中画出y＝f(x)的图象；
(2)若f(x)>，求x的取值范围．
解：(1)函数的图象如下图．
13．已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a，如果f(x)＝0在区间[－1,1]上有解，求a的取值范围．
解：①若a＝0，f(x)＝2x－3，显然在[－1,1]上没有解，所以a≠0.
令Δ＝4＋8a(3＋a)＝8a2＋24a＋4＝0，得a＝，
当a＝时，f(x)＝0恰有一个重根x＝∈[－1,1]．
当a＝时，f(x)＝0恰有一个重根x＝∉[－1,1]．
②当f(－1)f(1)＝(a－1)(a－5)<0，
即1<a<5时，f(x)＝0也恰有一个根在[－1,1]上；
③当f(－1)＝0或f(1)＝0时，有a＝1或a＝5，a＝1时方程恰有一个解，a＝5时方程有两个解，
④当f(x)＝0在[－1,1]上有两个不同解时，则
或
解得a≥5或a<.
因此a的取值范围是a≥1或a≤.
14．已知函数f(x)的图象过点(0,1)，且与函数g(x)＝2x－1－a－1的图象关于直线y＝x－1成轴对称图形．
(1)求函数f(x)的解析式及定义域；
(2)若三个正数m、n、t 依次成等比数列，证明f(m)＋f(t)≥2f(n)．
(1)解：在y＝f(x)的图象上取点P(x，y)，设P点关于直线y＝x－1对称的点为Q(m，n)，则
⇒
∵Q在y＝g(x)的图象上，
∴x－1＝2－1－a－1⇒y＝2log2(x＋a)＋1.
∵y＝f(x)的图象过点(0,1)，
∴1＝2log2a＋1⇒a＝1.
故f(x)＝2log2(x＋1)＋1，定义域为(－1，＋∞)．
(2)证明：∵n2＝mt⇒(m＋1)(t＋1)
＝mt＋m＋t＋1≥n2＋2＋1
＝(n＋1)2，
∴f(m)＋f(t)
＝2log2(m＋1)＋1＋2log2(t＋1)＋1
＝2log2(m＋1)(t＋1)＋2
≥2log2(n＋1)2＋2
＝2[2log2(n＋1)＋1]＝2f(n)．
15．(2008·辽宁东北育才中学)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在点x0处取得极小值－4，使其导数f′(x)>0的x的取值范围为(1,3)，求：
(1) f(x)的解析式；
(2)若过点P(－1，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．
解：(1)由题意得：f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝3a(x－1)(x－3)(a<0)．
∴在(－∞，1)上f′(x)<0；
在(1,3)上f′(x)>0；
在(3，＋∞)上f′(x)<0，
因此f(x)在x0＝1处取得极小值－4，
∴
解方程得
∴f(x)＝－x3＋6x2－9x.
(2)设切点Q(t，f(t))，
y－f(t)＝f′(t)(x－t)，
y＝(－3t2＋12t－9)(x－t)＋(－t3＋6t2－9t)
＝(－3t2＋12t－9)x＋t(3t2－12t＋9)－t(t2－6t＋9)＝(－3t2＋12t－9)x＋t(2t2－6t)过(－1，m)，
m＝(－3t2＋12t－9)(－1)＋2t3－6t2.
g(t)＝2t3－3t2－12t＋9－m＝0
令g′(t)＝6t2－6t－12＝6(t2－t－2)＝0，求得t＝－1，t＝2，方程g(t)＝0有三个根．需
⇒
⇒故－11<m<16.
因此所求实数m的范围为(－11,16)．
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