资源描述
综合检测卷(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设集合A＝{x|－3≤2x－1≤3}，集合B为函数y＝lg(x－1)的定义域，则A∩B＝( )．
A．(1,2) B．[1,2] C．[1,2) D．(1,2]
2．下面是关于复数z＝的四个命题：
p1：|z|＝2， p2：z2＝2i，
p3：z的共轭复数为1＋i， p4：z的虚部为－1，
其中的真命题为( )．
A．p2，p3 B．p1，p2 C．p2，p4 D．p3，p4
3．公比为的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝( )．
A．1 B．2 C．4 D．8
4．(2012·皖北协作区联考，文4)已知e1，e2是两夹角为120°的单位向量，a＝3e1＋2e2，则|a|等于( )．
A．4 B. C．3 D.
5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s值等于( )．
A．－3 B．－10 C．0 D．－2
6．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )．
A. B. C. D.
7．某几何体的正视图和侧视图均如下图所示，则该几何体的俯视图不可能是( )．
8．(2012·安徽江南十校二模，文7)同时具有性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线x＝对称；③在上是增函数”的一个函数是( )．
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝cos
D．y＝cos
9．设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x＝上的一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )．
A. B. C. D.
10．已知函数f(x)＝，则y＝f(x)的图象大致为( )．
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，满分25分)
11．已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点(x，y)在△ABC内部，则z＝－x＋y的取值范围是__________．
12．已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a＜b＜c，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝0.现给出如下结论：
①f(0)f(1)＞0；②f(0)f(1)＜0；③f(0)f(3)＞0；④f(0)f(3)＜0.
其中正确结论的序号是__________．
13．一支田径队有男、女运动员共98人，其中男运动员有56人．按男女比例用分层抽样方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员的人数是________．
14．曲线y＝x(3ln x＋1)在点(1,1)处的切线方程为__________．
15．已知关于x的不等式x2－ax＋2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是__________．
三、解答题(本大题共6小题，满分75分．解答时要写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤)
16．(本小题满分12分)(2012·合肥六中冲刺卷，文16)函数f(x)＝sin2ωx＋sin ωxcos ωx(ω＞0)的图象与直线y＝m相切(m＜0，m为常数)，并且切点的横坐标依次成公差为的等差数列．
(1)求ω及m的值；
(2)在△ABC中，设a＝1，A为锐角，且f＝，求△ABC周长最大值，并说明周长取得最大值时△ABC的形状．
17．(本小题满分12分)(2012·合肥六中冲刺卷，文20)根据2012年3月2日国家颁发的《环境空气质量标准》，空气质量用PM2.5颗粒物的年平均浓度和24小时平均浓度来衡量．规定：PM2.5颗粒物的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5颗粒物的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．某市环保部门随机抽取了该市四月份某20天的PM2.5颗粒物的24小时平均浓度，并绘制成频率分布直方图如右：
(1)当24小时平均浓度不超过75微克/立方米时则为空气质量为“合格”，根据样本估计总体的思想，判定一年(按365天计算)中有多少天空气质量“合格”？
(2)从样本中PM2.5颗粒物的24小时平均浓度超过50微克/立方米的5天中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2.5颗粒物的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率．
(3)按照PM2.5颗粒物年平均浓度不得超过35微克/立方米为标准，估计该市PM2.5颗粒物年平均浓度是否需要改进？
18.(本小题满分12分)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB＝12，AD＝5，BC＝4，DE＝4.现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合于点G，得到多面体CDEFG.
(1)求证：平面DEG⊥平面CFG；
(2)求多面体CDEFG的体积．
19．(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋n，n∈N﹡，数列{bn}满足an＝4log2bn＋3，n∈N﹡.
(1)求{an}，{bn}的通项公式；
(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.
20．(本小题满分13分)如图，在直角坐标系xOy中，点P到抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线的距离为.点M(t,1)是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分．
(1)求p，t的值；
(2)求△ABP面积的最大值．
21．(本小题满分14分)(2012·合肥市第三次质检，文21)椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，上顶点为B，△BF1F2是等边三角形，椭圆C上的点到F1的距离的最大值为3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过F1任意作一条直线l交椭圆C于M，N(均不是椭圆的顶点)，设直线AM与直线l0：x＝－4交于P点，直线AN与l0交于Q点，请判断点F1与以线段PQ为直径的圆的位置关系．
参考答案
一、选择题
1．D 解析：A＝{x|－3≤2x－1≤3}＝[－1,2]，B＝(1，＋∞)，
∴A∩B＝(1,2]．
2．C 解析：z＝＝－1－i，故|z|＝，p1错误；z2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i，p2正确；z的共轭复数为－1＋i，p3错误；p4正确．
3．B 解析：∵a3a11＝16，∵an＞0，∴a27＝16，a7＝4.
∴a5＝＝2.
4．D 解析：由题可知e1·e2＝cos 120°＝－，所以|a|＝＝＝＝.
5．A 解析：k＝1时，满足k＜4，执行s＝2×1－1＝1，k＝2，满足k＜4，此时s＝2×1－2＝0，k＝3，满足k＜4，此时s＝2×0－3＝－3，k＝4，不满足k＜4，输出－3.
6．B 解析：1个红球，2个白球和3个黑球分别记为a1，b1，b2，c1，c2，c3.
从袋中任取两球的情况共有15种：{a1，b1}，{a1，b2}，{a1，c1}，{a1，c2}，{a1，c3}，{b1，b2}，{b1，c1}，{b1，c2}，{b1，c3}，{b2，c1}，{b2，c2}，{b2，c3}，{c1，c2}，{c1，c3}，{c2，c3}．
满足两球颜色为一白一黑的情况有6种，所求概率等于＝.
7．D 解析：本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如题图所示知，原图下面为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或底面是直角三角形的三棱柱，故A，B，C都可能是该几何体的俯视图．D不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图的上半部分应为如图所示的矩形．
8．B 解析：利用三角函数性质，由①知，A错；由②知，C错；由③知，D错，故选B.
9．C 解析：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，
∴|PF2|＝|F2F1|＝2＝2c，∴e＝＝.
10．B 解析：当x＝1时，y＝＜0，排除A；当x＝0时，y不存在，排除D；f′(x)＝′＝，因定义中要求x＞－1，故－1＜x＜0时，f′(x)＜0，故y＝f(x)在(－1,0)上单调递减，故选B.
二、填空题
11．(1－，2) 解析：作出三角形的区域(如图)，由图象可知当直线y＝x＋z经过点B时，截距最大，此时z＝－1＋3＝2.当直线经过点C时，直线截距最小．
因为AB⊥x轴，所以yC＝＝2，三角形的边长为2.
设C(x,2)，则|AC|＝＝2，
解得(x－1)2＝3，x＝1±.
因为顶点C在第一象限，所以x＝1＋，
即C点坐标为(1＋，2)，
代入直线z＝－x＋y得z＝－(1＋)＋2＝1－，
所以z的取值范围是1－＜z＜2.
12．②③ 解析：∵f(0)＝－abc，f(1)＝4－abc，f(3)＝27－54＋27－abc＝－abc＝f(0)，
∵f′(x)＝3(x－1)(x－3)，令f′(x)＞0，得x＜1或x＞3.
令f′(x)＜0，得1＜x＜3，∴f(x)在(－∞，1)和(3，＋∞)上增加，
在(1,3)上减少，∴a＜1＜b＜3＜c，∴f(0)＜0，f(1)＞0，f(3)＜0，
∴f(0)f(1)＜0，f(0)f(3)＞0.
13．12 解析：女运动员共有98－56＝42(人)，样本中抽取的女运动员有×28＝12(人)．
14．y＝4x－3 解析：令y＝f(x)，则函数的导数为f′(x)＝3ln x＋1＋x·＝3ln x＋4，
所以在(1,1)处的切线斜率为k＝4.
所以切线方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3.
15．(0,8) 解析：因为不等式在R上恒成立，
所以Δ＜0，即a2－4×2a＜0.所以0＜a＜8.
三、解答题
16．解：f(x)＝(1－cos 2ωx)＋sin 2ωx＝sin＋，
(1)易知，m＝－.因为切点横坐标依次成等差数列，公差为，
∴最小正周期为T＝ω＝2.
(2)f＝sin＋＝sin＝1A＝，
由余弦定理，1＝b2＋c2－2bccos A，
∴1＝b2＋c2－bc，(b＋c)2＝1＋3bc≤1＋3·2，
于是b＋c≤2.
故△ABC周长有最大值为3，此时，a＝b＝c＝1，△ABC为正三角形．
17．解：(1)×365＝×365＝328.5(天)．
(2)由频率分布直方图知，各组频数依次为5,10,3,2.
设PM2.5颗粒物浓度在(50,75]范围内的三天记为A1，A2，A3，而PM2.5颗粒物浓度24小时平均浓度范围在(75,100)范围内的两天记为B1，B2.五天中随机抽取两天的所有可能是A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2，所以，恰好有一天PM2.5颗粒物浓度的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率是＝.
(3)PM2.5颗粒物年平均浓度为×0.01×25＋×0.02×25＋×0.006×25＋×0.004×25＝40(微克/立方米)．
因为40＞35，所以PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该环境需要改进．
18．(1)证明：由已知可得AE＝3，BF＝4，
则折叠完后EG＝3，GF＝4，
又因为EF＝5，所以可得EG⊥GF.
又因为CF⊥底面EGF，EG底面EGF，可得CF⊥EG，
即EG⊥平面CFG，
因为EG平面DEG，所以平面DEG⊥平面CFG.
(2)解：过G作GO⊥EF于点O，易证GO即为四棱锥GEFCD的高，GO＝＝＝，
所以所求体积为S矩形DEFC·GO＝×4×5×＝16.
19．解：(1)由Sn＝2n2＋n，得
当n＝1时，a1＝S1＝3；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋n－[2(n－1)2＋(n－1)]＝4n－1.
当n＝1时，满足an＝4n－1，
故{an}的通项公式为an＝4n－1，n∈N*.
由an＝4log2bn＋3，得bn＝2n－1，n∈N*.
即{bn}的通项公式为bn＝2n－1，n∈N*.
(2)由(1)知anbn＝(4n－1)·2n－1，n∈N*，
所以Tn＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n－1)·2n－1，
2Tn＝3×2＋7×22＋11×23＋…＋(4n－1)·2n，
2Tn－Tn＝(4n－1)·2n－[3＋4(2＋22＋…＋2n－1)]
＝(4n－5)2n＋5，
即Tn＝(4n－5)2n＋5，n∈N*.
20．解：(1)由题意得得
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)知M(1,1)，
∴直线OM为y＝x，故可设线段AB的中点坐标为Q(m，m)．
由(1)得抛物线C的方程为y2＝x，设直线AB的斜率为k(k≠0)．
由得(y2－y1)(y1＋y2)＝x2－x1，得k·2m＝1，
所以直线的方程为y－m＝(x－m)，即x－2my＋2m2－m＝0.
由整理得y2－2my＋2m2－m＝0，
Δ＝4m－4m2＞0，y1＋y2＝2m，y1y2＝2m2－m.
从而得|AB|＝|y1－y2|＝.
设点P到直线AB的距离为d，则
d＝，
设△ABP的面积为S，
则S＝|AB|·d＝|1－2(m－m2)|·.
由Δ＝4m－4m2＞0，得0＜m＜1.
令t＝，0＜t≤，则S＝t(1－2t2)．
设S＝t(1－2t2),0＜t≤，则S′＝1－6t2.
由S′＝1－6t2＝0，得t＝∈，
0＜t＜时，S′＞0，＜t≤时，S′＜0，
所以Smax＝，故△ABP面积的最大值为.
21．解：(1)a＋c＝3，a＝2c，
解得a＝2，c＝1，
所以椭圆方程为＋＝1.
(2)①当直线l的斜率不存在时，得M，N，
由P，A，M共线得P(－4，－3)，同理，Q(－4,3)．
由＝0知点F在以线段PQ为直径的圆上．
②当直线l的斜率存在时，设y＝k(x＋1)，
与椭圆方程联立可得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，
设P(－4，yP)，Q(－4，yQ)，
由(－2,0)，(x1，y1)，P共线，解得yP＝，同理可得yQ＝.
＝9＋＝9＋
＝9＋4k2·
＝9＋4k2＝0.
所以点F1在以线段PQ为直径的圆上．
综上，点F1在以线段PQ为直径的圆上．
- 8 -
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
