安徽省翰林院2014届高考数学总复习讲义-第六讲-平面向量.doc

第六讲 平面向量
一 【考点提示】
1.向量的基本概念：
（1） 向量定义：_______________________________________________________
（2） 向量的大小（模）：________________________________________________
（3） 零向量：_________________________________________________________
（4） 单位向量：_______________________________________________________
（5） 相等向量：_______________________________________________________
（6） 平行（共线）向量：_______________________________________________
2. 向量的线性运算：
（1） 向量的加法

（2） 向量的减法

（3） 向量的数乘

3. 重要定理和性质
（1） 共线向量基本定理：
_______________________________________________________
（2） 平面向量基本定理：
_______________________________________________________
（3） 线段定比分点的向量表达式：
_______________________________________________________
（4） 三点共线定理：
_______________________________________________________
（5） 直线定理及推论：
_______________________________________________________

4. 平面向量的坐标表示与坐标运算
（1） ,则=__________________________
（2） ，则=_________________________
=_________________________
5. 向量的平行和垂直

（1） 平行：_____________________________________________________
（2） 垂直：_____________________________________________________

6. 向量的数量积
（1） _____________________________________________________
（2） _____________________________________________________

7. 向量的投影
_____________________________________________________

8. 平面向量数量积的重要性质
（1） _____________________________________________________
（2） _____________________________________________________
（3） _____________________________________________________
（4） _____________________________________________________
（5） _____________________________________________________

9. 平面向量数量积满足的运算律
（1） _____________________________________________________
（2） _____________________________________________________
（3） _____________________________________________________

10. 三角形四心问题
（1） _____________________________________________________
（2） _____________________________________________________
（3） _____________________________________________________
（4） _____________________________________________________

【典例分析】
1. 向量的基本概念
例1 判断下列命题的真假:
（1）向量的长度和向量的长度相等.
（2）向量与平行,则与方向相同.
（3）向量与平行,则与方向相反.
（4）两个有共同起点而长度相等的向量,它们的终点必相同.
（5）若与平行同向,且＞，则＞
（6）由于方向不确定，故不能与任意向量平行。
（7）如果=，则与长度相等。
（8）如果=，则与与的方向相同。
（9）若=，则与的方向相反。
（10）若=，则与与的方向没有关系。

例2 给出下列命题：
①若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；
②若，则；
③的充要条件是且∥；
④若与均为非零向量，则与一定相等．
其中正确命题的序号是________．

2. 共线向量基本定理及应用
例3 【2008年海南、宁夏文，8】平面向量，共线的充要条件是（ ）
A. ，方向相同 B. ，两向量中至少有一个为零向量 C. ， D. 存在不全为零的实数，，

例4 设，是两个不共线向量，，若A、B、D三点共线，则实数p的值是________．

3. 中线向量定理及推论在向量线性表示（运算）中的应用
例5【2010年四川】设点是线段的中点，点在直线外，，，则
（A）8 （B）4 （C）2 （D）1

例6【2009年山东】设P是△ABC所在平面内的一点，，则（　　）
A. B. C. D.

例7【2008年湖南】.设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且则与
A.反向平行 B.同向平行
C.互相垂直 D.既不平行也不垂直

例8 【2008年，全国1理，3】在中，，．若点满足，则（ ）
A． B． C． D．

例9【2009年，广东理，8】在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，，则
A. B． C. D.

例10【2007年，天津理】如图，在中，，是边上一点，，则　　　　　．

例11【2010年，天津理】如图，在中，，，则= 。

例12 【2011年，湖南理，14】在边长为1的正三角形ABC中, 设则 =__________________.

4 用已知向量表示未知向量
（1）抓住题中等量关系
例13【2010年全国2】△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若，则=

例14【2008年广东】在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，，则

例15 平行四边形ABCD对角线交点C，＝，＝，，用表示、、.

（2） 向量平移措施
例16 已知四边形ABCD 中，，E，F是AC，BD的中点，请用表示.

（3） 利用方程的思想和向量共线的特点
例17 在△ABC中，E、F分别为AC，AB的中点，BE与CF相交于G点，设，试用表示.

例18在△OAB中，＝，＝，AD与BC交于点M，设，以为基底表示.

5. 平面向量基本定理的应用
例19 如右图，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．

例20如图所示，在△ABC中交于点I. 如果，求实数的值.

例21 设平面上不在一条直线上的三个点O,A,B，证明：当实数p，q满足时，连接两个向量终点的直线通过一个定点.

例22【2007年陕西】如图，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且＝＝1，＝.若＝的值为 .

6. 向量与三角形的四心
（1）重心

（2）垂心
为的垂心；
是的边BC的高AD上的任意向量，过垂心.

（3） 外心

（4）内心

例23 【2003•天津】O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足则P的轨迹一定通过△ABC的（　　）
A、 外心 B、内心 C、重心 D、垂心

例24 已知O为所在平面内一点，且满足：
.求证：

例25 O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
，
则P的轨迹一定通过的___________.

例26 【2006年陕西高考】已知非零向量与满足(+)·=0且·= , 则△ABC为( )
A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形
C.等腰非等边三角形 D.等边三角形

7. 平面向量的坐标表示
例27 【2011年广东】 已知向量，若为实数，（），则=
A. B. C.1 D.2

例28 【2010新课标全国】为平面向量，已知，则的夹角的余弦值等于

例29【2009年广东】 若平面向量满足，平行于轴，，则= ．

例30【2007年天津】设两个向量和，其中为实数．若，则的取值范围是 （　　）
Ａ．[-6，1] Ｂ． Ｃ．（-6，1] Ｄ．[-1，6]

8. 平面向量的数量积
例31【2010年，湖南理，4】在中，，，则等于
A． B． C．8 D．16

例32【2009年，陕西理，8】在中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足,则等于
（A） （B） （C） (D)

例33【2008年，宁夏】已知向量满足，则=_________________.

例34【2006年，浙江文，13】已知向量满足，则=_________________.

例35【2006年，浙江理，13】已知向量满足，若则=_________________.

例36 【2009年，全国1理，6】设是单位向量，且，则的最小值为
（A） A. B C D

例37【2008年，浙江理，9】已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足,则的最大值是
A 1 B 2 C D

9. 平面向量的夹角
例38 已知是非零向量且满足，则与的夹角是_________.

例39 【2011年，浙江理，14】若平面向量满足，且以向量为邻边的平行四边形的面积为，则的夹角的取值范围是 .

例40 【2011年，新课标全国理，10】已知与均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题

其中的真命题是（ ）
（A） （B） （C） （D）

10.平面向量的模长
例41 已知向量满足，则=_______________.

例42 已知向量的夹角为，，则等于_________.

例43 【2011年，辽宁理，10】已知均为单位向量，若,则的最大值是
A B 1 C D 2

例44【2011年，天津理，14】已知直角梯形中，
//,,,是腰上的动点，则的最小值为____________

三【2012年高考题选讲】
1.【2012高考真题重庆理6】设R，向量且，则
（A） （B） （C） （D）10

2.【2012高考真题浙江理5】设是两个非零向量。
A.若，则
B.若，则
C.若，则存在实数λ，使得
D.若存在实数λ，使得，则

3.【2012高考真题四川理7】设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ）
A、 B、 C、 D、且

4.【2012高考真题江西理7】在直角三角形中，点是斜边的中点，点为线段的中点，则=
A．2 B．4 C．5 D．10

5.【2012高考真题湖南理7】在△ABC中，AB=2，AC=3，= 1则.
A. B. C. D.

6.【2012高考真题广东理8】对任意两个非零的平面向量和，定义．若平面向量满足，的夹角，且和都在集合中，则=
A． B.1 C. D.

7.【2012高考真题安徽理8】在平面直角坐标系中，，将向量按逆时针旋转后，得向量，则点的坐标是（ ）

8.【2012高考真题天津理7】已知为等边三角形，AB=2，设点P，Q满足，，，若，则=
（A） （B）
（C） （D）

9.【2012高考真题新课标理13】已知向量夹角为 ，且；则

10.【2012高考真题浙江理15】在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则=________.

11.【2012高考真题上海理12】在平行四边形中，，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是 。

12.【2012高考真题山东理16】如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在，此时圆上一点的位置在，圆在轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于时，的坐标为______________.

13.【2012高考真题北京理13】已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为________，的最大值为______。

14.【2012高考真题安徽理14】若平面向量满足：，则的最小值是。

15.【2012高考江苏9】（5分）如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是 ．

16.【2012高考全国文9】中，边的高为，若，，，，，则
（A） （B） （C） （D）

17.【2012高考安徽文11】设向量，，，若，则______.[

18.【2012高考湖南文15】如图4，在平行四边形ABCD中 ，AP⊥BD，垂足为P，且= .

19.【2012高考上海文12】在矩形中，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是
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