安徽省翰林院2014届高考数学总复习讲义-第六讲-平面向量.doc

第六讲 平面向量一 【考点提示】1.向量的基本概念：（1） 向量定义：_（2） 向量的大小（模）：_（3） 零向量：_（4） 单位向量：_（5） 相等向量：_（6） 平行（共线）向量：_2. 向量的线性运算：（1） 向量的加法（2） 向量的减法（3） 向量的数乘3. 重要定理和性质（1） 共线向量基本定理：_（2） 平面向量基本定理：_（3） 线段定比分点的向量表达式：_（4） 三点共线定理：_（5） 直线定理及推论：_4. 平面向量的坐标表示与坐标运算（1） ,则=_（2） ，则=_ =_5. 向量的平行和垂直（1） 平行：_（2） 垂直：_6. 向量的数量积（1） _（2） _7. 向量的投影 _8. 平面向量数量积的重要性质（1） _（2） _（3） _（4） _（5） _9. 平面向量数量积满足的运算律（1） _（2） _（3） _10. 三角形四心问题（1） _（2） _（3） _（4） _【典例分析】1. 向量的基本概念例1 判断下列命题的真假:（1）向量的长度和向量的长度相等.（2）向量与平行,则与方向相同.（3）向量与平行,则与方向相反.（4）两个有共同起点而长度相等的向量,它们的终点必相同.（5）若与平行同向,且，则（6）由于方向不确定，故不能与任意向量平行。（7）如果=，则与长度相等。（8）如果=，则与与的方向相同。（9）若=，则与的方向相反。（10）若=，则与与的方向没有关系。例2 给出下列命题：若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若，则；的充要条件是且；若与均为非零向量，则与一定相等其中正确命题的序号是_2. 共线向量基本定理及应用例3 【2008年海南、宁夏文，8】平面向量，共线的充要条件是（ ）A. ，方向相同B. ，两向量中至少有一个为零向量C. ，D. 存在不全为零的实数，例4 设，是两个不共线向量，若A、B、D三点共线，则实数p的值是_3. 中线向量定理及推论在向量线性表示（运算）中的应用例5【2010年四川】设点是线段的中点，点在直线外，则（A）8 （B）4 （C）2 （D）1例6【2009年山东】设P是ABC所在平面内的一点，则（）A. B. C. D.例7【2008年湖南】.设D、E、F分别是ABC的三边BC、CA、AB上的点，且则与A.反向平行B.同向平行 C.互相垂直D.既不平行也不垂直 例8 【2008年，全国1理，3】在中，若点满足，则（ ）A BCD例9【2009年，广东理，8】在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，则 A. B C. D. 例10【2007年，天津理】如图，在中，是边上一点，则例11【2010年，天津理】如图，在中，则= 。 例12 【2011年，湖南理，14】在边长为1的正三角形ABC中, 设则 =_. 4 用已知向量表示未知向量（1）抓住题中等量关系例13【2010年全国2】ABC中，点D在边AB上，CD平分ACB，若，则=例14【2008年广东】在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，则例15 平行四边形ABCD对角线交点C，用表示、.（2） 向量平移措施例16 已知四边形ABCD 中，E，F是AC，BD的中点，请用表示.（3） 利用方程的思想和向量共线的特点 例17 在ABC中，E、F分别为AC，AB的中点，BE与CF相交于G点，设，试用表示. 例18在OAB中，AD与BC交于点M，设，以为基底表示.5. 平面向量基本定理的应用例19 如右图，在ABC中，点O是BC的中点过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若m，n，则mn的值为_ 例20如图所示，在ABC中交于点I. 如果，求实数的值. 例21 设平面上不在一条直线上的三个点O,A,B，证明：当实数p，q满足时，连接两个向量终点的直线通过一个定点.例22【2007年陕西】如图，平面内有三个向量、，其中与的夹角为120，与的夹角为30，且1，.若的值为 .6. 向量与三角形的四心 （1）重心 （2）垂心为的垂心；是的边BC的高AD上的任意向量，过垂心.（3） 外心（4）内心例23 【2003天津】O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足则P的轨迹一定通过ABC的（）A、 外心 B、内心 C、重心 D、垂心例24 已知O为所在平面内一点，且满足：.求证：例25 O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 ，则P的轨迹一定通过的_.例26 【2006年陕西高考】已知非零向量与满足(+)=0且= , 则ABC为( )A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形C.等腰非等边三角形 D.等边三角形7. 平面向量的坐标表示例27 【2011年广东】 已知向量，若为实数，（），则= A. B. C.1 D.2例28 【2010新课标全国】为平面向量，已知，则的夹角的余弦值等于 例29【2009年广东】 若平面向量满足，平行于轴，则= 例30【2007年天津】设两个向量和，其中为实数若，则的取值范围是（）-6，1 （-6，1 -1，68. 平面向量的数量积例31【2010年，湖南理，4】在中，则等于A B C8 D16例32【2009年，陕西理，8】在中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足,则等于（A） （B） （C） (D) 例33【2008年，宁夏】已知向量满足，则=_.例34【2006年，浙江文，13】已知向量满足，则=_.例35【2006年，浙江理，13】已知向量满足，若则=_.例36 【2009年，全国1理，6】设是单位向量，且，则的最小值为（A） A. B C D 例37【2008年，浙江理，9】已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足,则的最大值是 A 1 B 2 C D 9. 平面向量的夹角例38 已知是非零向量且满足，则与的夹角是_.例39 【2011年，浙江理，14】若平面向量满足，且以向量为邻边的平行四边形的面积为，则的夹角的取值范围是 .例40 【2011年，新课标全国理，10】已知与均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题其中的真命题是（ ）（A） （B） （C） （D）10.平面向量的模长例41 已知向量满足，则=_.例42 已知向量的夹角为，则等于_.例43 【2011年，辽宁理，10】已知均为单位向量，若,则的最大值是 A B 1 C D 2例44【2011年，天津理，14】已知直角梯形中，/,是腰上的动点，则的最小值为_三【2012年高考题选讲】1.【2012高考真题重庆理6】设R，向量且，则（A） （B） （C） （D）102.【2012高考真题浙江理5】设是两个非零向量。A.若，则B.若，则C.若，则存在实数，使得D.若存在实数，使得，则3.【2012高考真题四川理7】设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ）A、 B、 C、 D、且 4.【2012高考真题江西理7】在直角三角形中，点是斜边的中点，点为线段的中点，则=A2 B4 C5 D105.【2012高考真题湖南理7】在ABC中，AB=2，AC=3，= 1则.A. B. C. D.6.【2012高考真题广东理8】对任意两个非零的平面向量和，定义若平面向量满足，的夹角，且和都在集合中，则=A B.1 C. D. 7.【2012高考真题安徽理8】在平面直角坐标系中，将向量按逆时针旋转后，得向量，则点的坐标是（ ） 8.【2012高考真题天津理7】已知为等边三角形，AB=2，设点P，Q满足，若，则=（A） （B） （C） （D）9.【2012高考真题新课标理13】已知向量夹角为 ，且；则10.【2012高考真题浙江理15】在ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则=_.11.【2012高考真题上海理12】在平行四边形中，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是 。12.【2012高考真题山东理16】如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在，此时圆上一点的位置在，圆在轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于时，的坐标为_.13.【2012高考真题北京理13】已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为_，的最大值为_。14.【2012高考真题安徽理14】若平面向量满足：，则的最小值是。15.【2012高考江苏9】（5分）如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是 16.【2012高考全国文9】中，边的高为，若，则（A） （B） （C） （D） 17.【2012高考安徽文11】设向量，若，则_.18.【2012高考湖南文15】如图4，在平行四边形ABCD中 ，APBD，垂足为P，且= .19.【2012高考上海文12】在矩形中，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是 15