2015高考理科数学总复习题及解析-7立体几何7-6-空间向量及其运算.doc

[A组　基础演练·能力提升]
一、选择题
1．设空间四点O，A，B，P满足＝＋t，其中0<t<1，则有(　　)
A．点P在线段AB上
B．点P在线段AB的延长线上
C．点P在线段BA的延长线上
D．点P不一定在直线AB上
解析：∵0<t<1，∴P点在线段AB上．X|k |B| 1 . c|O |m
答案：A
2．有4个命题：
①若p＝xa＋yb，则p与a、b共面；
②若p与a、b共面，则p＝xa＋yb；
③若＝x＋y，则P、M、A、B共面；
④若P、M、A、B共面，则＝x＋y.
其中真命题的个数是(　　)
A．1　　　　　B．2　　　　　C．3　　　　　D．4
解析：①正确，②中若a，b共线，p与a不共线，则p＝xa＋yb就不成立，③正确，④中若M、A、B共线，点P不在此直线上，则＝x＋y不正确．
答案：Bx k b 1 . c o m
3.(2014年沈阳调研)底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，N为BB1的靠近B的三等分点，若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)

A．－a＋b＋c B.a＋b－c
C.a－b－c D．－a－b＋c
解析：＝＋＝＋
＝(－)－
＝a－b－c.
答案：C
4．在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．不确定
解析：解法一　如图，在空间四边形ABCD中，连接对角线AC，BD，得三棱锥A－BCD，不妨令其各棱长都相等，即为正四面体，

∵正四面体的对棱互相垂直，
∴·＝0，·＝0，
·＝0.
∴·＋·＋·＝0.
解法二　在解法一的图中，选取不共面的向量，，为基底，
则原式＝·(－)＋·(－)＋·(－)
＝·－·＋·－·＋·－·＝0.
答案：B
5．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且＝，N为B1B的中点，则||为(　　)
A.a B.a C.a D.ahttp://www. xkb1 .com
解析：如图，设＝a，＝b，

＝c，
则||＝|＋＋|
＝
＝.
又a·b＝0，a·c＝0，b·c＝0，
∴||2＝2，可得||＝a.
答案：A
6.如图，点P是单位正方体ABCD－A1B1C1D1中异于A的一个顶点，则·的值为(　　)
xkb1
A．0
B．1
C．0或1xK b1.Com
D．任意实数
解析：可为下列7个向量：，，，，，，，其中一个与重合，·＝||2＝1；，，与垂直，这时·＝0；，与的夹角为45°，这时·＝×1×cos＝1，最后·＝×1×cos∠BAC1＝×＝1，故选C.
答案：C
二、填空题
7．已知空间三点A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，则与的夹角θ的大小是________．
解析：因为＝(－2，－1,3)，＝(－1,3，－2)，所以cos，＝＝
＝＝－，
又0°≤，≤180°，所以θ＝，＝120°.
答案：120°
8．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，P，M为空间任意两点，如果有＝＋6＋7＋4，那么M点一定在平面________内．
解析：因为－＝＋6＋6＋4，所以＝＋6＋4＝＋2＋4，所以－＝2＋4，所以＝2＋4，故，，共面于平面A1BCD1，即M点一定在平面A1BCD1内．
答案：A1BCD1
9．(2014年威海模拟)已知四边形ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F则＝________.
解析：因为＝＋＋，又＝＋＋，两式相加，得2＝(＋)＋(＋)＋(＋)．
因为E是AC的中点，所以＋＝0.同理，＋＝0.
所以2＝＋＝(a－2c)＋(5a＋6b－8c)＝6a＋6b－10c.
所以＝3a＋3b－5c.
答案：3a＋3b－5c
三、解答题
10．设向量a＝(3,5，－4)，b＝(2,1,8)，计算2a＋3b,3a－2b，a·b以及a与b所成角的余弦值，并确定λ，μ应满足的条件，使λa＋μb与z轴垂直．
解析：2a＋3b＝2×(3,5，－4)＋3×(2,1,8)
＝(6,10，－8)＋(6,3,24)＝(12,13,16)．
3a－2b＝3×(3,5，－4)－2×(2,1,8)
＝(9,15，－12)－(4,2,16)＝(5,13，－28)．
a·b＝(3,5，－4)·(2,1,8)＝6＋5－32＝－21.
∵|a|＝＝，
|b|＝＝，
∴cosa，b＝＝
＝－.
∵λa＋μb与z轴垂直，
∴(3λ＋2μ，5λ＋μ，－4λ＋8μ)·(0,0,1)
＝－4λ＋8μ＝0，即λ＝2μ，X|k |B| 1 . c|O |m
∴当λ，μ满足λ＝2μ时，可使λa＋μb与z轴垂直．
11.(2014年海口模拟)如图，在45°的二面角 α－l－β的棱上有两点A、B，点C、D分别在α、β内，且AC⊥AB，∠ABD＝45°，AC＝BD＝AB＝1，求CD的长度．

解析：由＝＋＋，cos，〉＝cos 45°cos 45°＝，
∴||2＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)＝3＋2(0＋1×1×cos 135°＋1×1×cos 120°)＝2－，
∴|C|＝.
12．(能力提升)如右图，在空间四边形SABC中，AC，BS为其对角线，O为△ABC的重心，

求证：(1)＋＋＝0；
(2)＝(＋＋)．
证明：(1)＝－(＋)，①
＝－(＋)，②
＝－(＋)，③
①＋②＋③得＋＋＝0.
(2)＝＋，④
＝＋，⑤w W w .X k b 1.c O m
＝＋，⑥
由(1)得：＋＋＝0.
④＋⑤＋⑥得3＝＋＋
即＝(＋＋)．
[B组　因材施教·备选练习]
1．设点C(2a＋1，a＋1,2)在点P(2,0,0)，A(1，－3,2)，B(8，－1,4)确定的平面上，则a＝________.
解析：＝(－1，－3,2)，＝(6，－1,4)．
根据共面向量定理，设＝x＋y(x，y∈R)，
则(2a－1，a＋1,2)＝x(－1，－3,2)＋y(6，－1,4)＝(－x＋6y，－3x－y,2x＋4y)．所以
解得新_课_标第_一_网
答案：16[来源:学+科+网Z+X+X+K]
2．已知O点为空间直角坐标系的原点，向量＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，且点Q在直线OP上运动，当·取得最小值时，的坐标是________．
解析：设Q点坐标为(λ，λ，2λ)，其中λ为实数，则＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)．所以·＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)·(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)，
即得·＝6λ2－16λ＋10＝62－，即当λ＝时，·取得最小值－，此时＝.
答案：
3．(2014年六安月考)已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，①(＋＋)2＝32；②·(－)＝0；③向量与向量的夹角是60°；④正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|··|.其中正确命题的序号是________．
解析：设正方体的棱长为1，①中(＋＋)2＝3()2＝3，故①正确；②中－＝，由于AB1⊥A1C，故②正确；③中A1B与AD1两异面直线所成角为60°，但与的夹角为120°，故③不正确；④中|··|＝0.故④也不正确．
答案：①②
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