资源描述
专题三 数 列
等差数列与等比数列
1. 在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________.
2. 等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5－5S3＝5，则a4＝________.
3. 已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值时的n值是________．
4. 等比数列{an}的公比q>0, 已知a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，则{an}的前4项和S4＝________.
5. 设等比数列{an}的公比q＝，前n项和为Sn，则＝________.
6. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为________．
7. 已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则的最小值为________.
8. 若数列中的最大项是第k项，则k＝________.
9. 已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6＝55，a2＋a7＝16.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 若数列{an}和数列{bn}满足等式：an＝＋＋…＋，求数列{bn}的前n项和Sn.
10.已知数列{an}和{bn}满足：a1＝1，a2＝2，an>0，bn＝(n∈N*)，且{bn}是以q为公比的等比数列．
(1) 证明：an＋2＝anq2；
(2) 若cn＝a2n－1＋2a2n，证明：数列{cn}是等比数列；
(3) 求和：＋＋＋＋…＋＋.
数列求和及其综合应用
1. 数列1＋(1＋2)＋(1＋2＋4)＋…＋(1＋2＋…＋2n－1)的前n项和为________．
2. 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an＝________.
3. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________成等比数列．
4. 等差数列前p项的和为q，前q项的和为p，(p≠q)则前p＋q项的和为________．
5. 数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，bn＝，n∈N*，则数列{bn}的通项公式bn＝________.
6. 设a1，a2，…，a50是从－1,0,1这三个整数中取值的数列，若a1＋a2＋a3＋…＋a50＝9，且(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a50＋1)2＝107，则a1，a2，…，a50中数字0的个数为________．
7. 数列{an}的通项公式an＝3n2－(9＋a)n＋6＋2a(其中a为常数)，若a6与a7两项中至少有一项是an的最小值，则实数a的取值范围是________．
8. 数列{an}的通项an＝n2，其前n项和为Sn，则S30＝________.
9. 设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝(1＋λ)－λan，其中λ≠－1,0.
(1) 证明：数列{an}是等比数列；
(2) 设数列{an}的公比q＝f(λ)，数列{bn}满足b1＝，bn＝f(bn－1)(n∈N*，n≥2)，求数列{bn} 的通项公式；
(3) 记λ＝1，cn＝an，求数列{cn}的前n项和Tn.
10.已知数列{an}的首项为a(a≠0)，前n项和为Sn，且有Sn＋1＝tSn＋a(t≠0)，bn＝Sn＋1.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 当t＝1时，若对任意n∈N*，都有|bn|≥|b5|，求实数a的取值范围；
(3) 当t≠1时，若cn＝2＋i，求能够使数列{cn}为等比数列的所有数对(a，t)．
滚动练习(三)
1. 设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，B＝{1,3}，则(A∪B)＝________.
2. 设△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，且＝，那么∠A＝________.
3. 在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝60，则2a9－a10的值为________．
4. 若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴的距离是2π，则ω的值为________.
5. 若函数f(x)＝的定义域为R，则实数m的取值范围是________．
6. 已知变量x、y满足条件则z＝x＋y的最大值是________．
7. 函数y＝x－2cosx在(0,2π)内的单调减区间为________.
8. 若△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，向量m＝(a＋c，b－a)，n＝(a－c，b)，若m⊥n，则∠C等于________．
9. 已知函数f(x)是R上的减函数，A(0，－2)，B(－3,2)是其图象上的两点，那么不等式|f(x－2)|>2的解集是________．
10. 已知数列{an}(n∈N*)满足an＋1＝且t<a1<t＋1，其中t>2，an＋k＝an(k∈N*)，则实数k的最小值是________．
11.设函数f(x)＝sinxcosx－cos(x＋π)cosx(x∈R)．
(1) 求f(x)的最小正周期；
(2) 若函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后再向上平移个单位得到函数y＝g(x)的图象，求y＝g(x)在上的最大值．
12.某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%.
(1) 求第n年初M的价值an的表达式；
(2) 设An＝，若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M进行更新，证明：须在第9年初对M进行更新．
13.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，若x＝时，y＝f(x)有极值．y＝f(x)在(1，f(1))处的切线l不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l的距离为.
(1) 求a，b，c的值；
(2) 求y＝f(x)在[－4,1]上的最大值和最小值
14.已知数列{an}的前n项和为Sn，且－1，Sn，an＋1成等差数列，n∈N*，a1＝1.函数f(x)＝log3x.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 设数列{bn}满足bn＝，记数列{bn}的前n项和为Tn，试比较Tn与－的大小．
专题三 数 列
第10讲 等差数列与等比数列
1. 13 解析：a3＝7，a5＝a2＋6，∴ 3d＝6，∴ a6＝a3＋3d＝13.
2. 解析：6S5－5S3＝5，∴ 6(5a1＋10d)－5(3a1＋3d)＝5，得a1＋3d＝.
3. 20 解析：an＝41－2n，a20＞0，a21＜0.
4. 解析：a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，∴ q2＋q＝6(q＞0)，∴ q＝2，则S4＝.
5. 15 解析：＝＝＝15.
6. 4 解析：设公差为d，则即又a4＝a1＋3d，由线性规划可知a1＝1，d＝1时，a4取最大值4.
7. 解析：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝33＋2(1＋2＋…＋(n－1))＝n2－n＋33，＝n＋－1，数列在1≤n≤6，n∈N*时单调减，在n≥7，n∈N*时单调增，∴ n＝6时，取最小值．
8. 4 解析：≤k≤1＋，k∈N*，∴ k＝4.
9. 解：(1) 设公差为d，则解得或(舍去) ∴ an＝2n－1(n∈N*)．
(2) n＝1时，a1＝，a1＝1，∴ b1＝2，
n≥2时，an－1＝＋＋…＋，2＝an－an－1＝(n≥2)，bn＝2n＋1(n≥2)，
∴ bn＝Sn＝2n＋2－6(n∈N*)．
10. (解法1)(1)证明：由＝q，有＝＝q，∴ an＋2＝anq2(n∈N*)．
(2)证明：∵ an＝an－2q2(n≥3，n∈N*)，∴ a2n－1＝a2n－3q2＝…＝a1q2n－2，a2n＝a2n－2q2＝…＝a2q2n－2，
∴ cn＝a2n－1＋2a2n＝a1q2n－2＋2a2q2n－2＝(a1＋2a2)q2n－2＝5q2n－2.
∴ {cn}是首项为5，以q2为公比的等比数列．
(3) 解：由(2)得＝q2－2n，＝q2－2n，于是
＋＋…＋＝＋
＝＋＝.
当q＝1时，＋＋…＋＝＝n.
当q≠1时，＋＋…＋＝＝
＝.
故＋＋…＋＝
(解法2)(1) 证明：同解法1(1)．
(2) 证明：＝＝＝q2(n∈N*)，又c1＝a1＋2a2＝5，∴ {cn}是首项为5，以q2为公比的等比数列．
(3) 解：由(2)的类似方法得a2n－1＋a2n＝(a1＋a2)q2n－2＝3q2n－2，
＋＋…＋＝＋＋…＋，∵ ＝＝q－2k＋2，k＝1,2，…，n.∴ ＋＋…＋＝(1＋q2＋…＋q－2n＋2)．下同解法1.
第11讲 数列求和及其综合应用
1. 2n＋1－n－2 解析：an＝2n－1,1＋(1＋2)＋(1＋2＋4)＋…＋(1＋2＋…＋2n－1)＝(2＋22＋23＋…＋2n)－n＝2(2n－1)－n＝2n＋1－n－2
2. 2＋lnn 解析：累加可得．
3.
4. －p－q 解析：由求和公式知q＝pa1＋d，p＝qa1＋d，因为p≠q，两式相减得到－1＝a1＋d，两边同时乘以p＋q，则
－(p＋q)＝(p＋q)a1＋d，即Sp＋q＝－(p＋q)．
5. 2n＋1 解析：由条件得bn＋1＝＝＝2＝2bn且b1＝4，所以数列{bn}是首项为4，公比为2的等比数列，则bn＝4·2n－1＝2n＋1.
6. 11 解析：(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a50＋1)2＝107，则(a＋a＋…＋a)＋2(a1＋a2＋…＋a50)＋50＝107，∴ a＋a＋…＋a＝39，故a1，a2，…，a50中数字0的个数为50－39＝11.
7. [24,36] 解析：an＝6n－(9＋a)，由题知5.5≤≤7.5，∴ 24≤a≤36.
8. 470 解析：由于以3 为周期，故
S30＝＋＋…＋
＝＝＝－25＝470，分组求和是解决本题的关键．
9. 解：(1) 由Sn＝(1＋λ)－λanSn－1＝(1＋λ)－λan－1(n≥2)．
相减得：an＝－λan＋λan－1，∴ ＝(n≥2)，∴ 数列{an}是等比数列．
(2) f(λ)＝，∴ bn＝＝＋1，
∴ 是首项为＝2，公差为1的等差数列，∴ ＝2＋(n－1)＝n＋1.
∴ bn＝.(n∈N*)
(3) λ＝1时，an＝n－1，∴ cn＝an＝n－1n，
∴ Tn＝1＋2＋32＋…＋nn－1， ①
Tn＝＋22＋33＋…＋nn， ②
①－②得：Tn＝1＋＋2＋3＋…＋n－1－nn
∴ Tn＝1＋＋2＋3＋…＋n－1－nn＝
2－nn，
所以：Tn＝4－n－2－2nn＝4－.
10. 解：(1) n＝1时，由S2＝tS1＋a，解得a2＝at，
当n≥2时，Sn＝tSn－1＋a，所以Sn＋1－Sn＝t(Sn－Sn－1)，即an＋1＝ant，
当n＝1时，由S2＝tS1＋a得a2＝ta1，又因为a1＝a≠0，
综上，有＝t(n∈N*)，所以{an}是首项为a，公比为t的等比数列，
所以an＝atn－1.
(2) 当t＝1时，Sn＝na，bn＝na＋1，bn＋1－bn＝[(n＋1)a＋1]－[na＋1]＝a，
此时{bn}为等差数列；
当a＞0时，{bn}为单调递增数列，且对任意n∈N*，an＞0恒成立，不合题意；
当a＜0时，{bn}为单调递减数列，由题意知b4＞0，b6＜0，且有
即解得－≤a≤－.综上，a的取值范围是.
(3) 因为t≠1，bn＝1＋－，所以cn＝2＋n－(t＋t2＋…＋tn)＝2＋n－＝2－＋·n＋，由题设知{cn}是等比数列，所以有解得即满足条件的数对是(1,2)．(或通过{cn}的前3项成等比数列先求出数对(a，t)，再进行证明)
滚动练习(三)
1. {4,5} 解析：A∪B＝{1,2,3}．
2. 解析：由正弦定理＝，∴ sinA＝cosA，∴ tanA＝1，∵ 0＜A＜π，
∴ A＝.
3. 12 解析：由a1＋3a8＋a15＝60得5a1＋35d＝60，a8＝12,2a9－a10＝a8＝12.
4. 解析：周期是4π，∴ ω＝＝.
5. [0,4) 解析：mx2＋mx＋1≠0对x∈R恒成立．当m＝0时，成立；当m≠0时，Δ＝m2－4m＜0，∴ 0＜m＜4.综上，0≤m＜4.
6. 6 解析：本题考查线性规划内容．
7. 解析：y′＝1＋2sinx＜0，∴ sinx＜－，∴ ＜x＜.
8. 解析：∵ m⊥n，∴ (a＋c)(a－c)＋b(b－a)＝0，∴ ＝，
∴ cosC＝，∴ C＝.
9. (－∞，－1)∪(2，＋∞) 解析：画出符合题意的草图，则x－2＜－3或x－2＞0.
10. 4 解析：本题其实是关于最小正周期问题．a2＝a1－t，a3＝t＋2－a1＋t＝2t＋2－a1，a4＝a3－t＝t＋2－a1，a5＝t＋2－a4＝a1，故实数k的最小值是4.
11. 解：(1) f(x)＝sin2x＋cos2x＝sin2x＋(1＋cos2x)
＝sin＋，∴ f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2) 依题意得g(x)＝f＋＝sin＋＋＝sin＋，当x∈时，2x－∈，∴ －≤sin≤，∴ ≤g(x)≤，∴ g(x)在的最大值为.
12. 解：(1) 当n≤6时，数列{an}是首项为120，公差为－10的等差数列．an＝120－10(n－1)＝130－10n；当n≥7时，数列{an}是以a6为首项，公比为的等比数列，又a6＝70，所以an＝70×n－6，因此，第n年初，M的价值an的表达式为an＝
(2) 设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得
当1≤n≤6时，Sn＝120n－5n(n－1)，An＝120－5(n－1)＝125－5n＞80；
当n≥7时，Sn＝S6＋(a7＋a8＋…＋an)＝570＋70××4×＝780－210×n－6，An＝.因为{an}是递减数列，所以{An}是递减数列，又A8＝＝82＞80，A9＝＝76＜80，所以须在第9年初对M进行更新．
13. 解：(1) f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
由题意得解得
设切线l的方程为y＝3x＋m(m>0)，由原点到切线l的距离为，
有＝，解得m＝1.∵ 切线l不过第四象限，∴ m＝1，m＝－1(舍)，∴ 切线l的方程为y＝3x＋1，由于切点的横坐标为x＝1，∴ 切点坐标为(1,4)，∵ f(1)＝1＋a＋b＋c＝4，∴ c＝5.
(2) 由(1)知f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，所以f′(x)＝3x2＋4x－4＝(x＋2)(3x－2)，令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝.
x
－4
(－4，－2)
－2
1
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
函数值
－11
13
4
∴ f(x)在[－4,1]上的最大值为13，最小值为－11.
14. 解：(1) ∵ －1，Sn，an＋1成等差数列，∴ 2Sn＝an＋1－1， ①
当n≥2时，2Sn－1＝an－1， ②
①－②得：2(Sn－Sn－1)＝an＋1－an，∴ 3an＝an＋1，∵ a1＝1≠0，∴ an≠0，
∴ ＝3.当n＝1时，由①得∴ 2S1＝2a1＝a2－1，又a1＝1，∴ a2＝3，
∴ ＝3，∴ {an}是以3为公比的等比数列，∴ an＝3n－1.
(2) ∵ f(x)＝log3x，∴ f(an)＝log33n－1＝n－1，bn＝＝＝，∴ Tn＝－＋－＋－＋－＋…＋－＋－＝＋－－＝－，比较Tn与－的大小，只需比较2(n＋2)(n＋3)与312的大小即可．又2(n＋2)(n＋3)－312＝2(n2＋5n＋6－156)＝2(n2＋5n－150)＝2(n＋15)(n－10)，∵ n∈N*，∴ 当1≤n≤9时n∈N*,2(n＋2)(n＋3)＜312，即Tn＜－；∴ 当n＝10时，2(n＋2)(n＋3)＝312，即Tn＝－；当n＞10且n∈N*时，2(n＋2)(n＋3)＞312，即Tn＞－；当n＝10时，2(n＋2)(n＋3)＝312，即Tn＝－；当n>10且n∈N*时，2(n＋2)(n＋3)>312，即Tn>－.
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