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高中数学复习专题讲座
分类讨论思想
【思想介绍】
分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。它是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。
分类讨论的思想方法，实质上是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。对问题实行分类与整合，确定分类标准后等于增加了一个已知条件，实现了有效增设，将大问题（或综合性问题）分解为小问题（或基础性问题），优化解题思路，降低问题难度。应用分类讨论的思想对问题求解， 首先要明确讨论对象，确定对象的全体；其次是确定分类标准，分层次，不重复，不遗漏，达到互斥、无漏、最简的原则；最后还要反思其过程，从中发现“分”与“合”，“局部”与“整体”之间的辨证统一关系，充分挖掘求解问题中潜在的特殊性与简单性，尽可能地简化或避免分类讨论；使解题思想得到进一步升华，使解题的途径更加合理简捷。
【考题展示】
1.（2010年山东卷理)设 是等比数列，则“”是数列是递增数列的（C）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
A
y
x
O
B
G
F
F1
图4
2.（2009年广东卷理10)若平面向量满足，平行于轴，，则 ．
【答案】或
3.（2008年广东卷理18) 设，椭圆方程为，
抛物线方程为．如图4所示，过点
作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物
线在点的切线经过椭圆的右焦点．
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．
【答案】和；存在四个点
4.（2009年广东卷理20) 已知二次函数的导函数的图像与直线平行，
且在处取得极小值．设．
（1）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；
（2）如何取值时，函数存在零点，并求出零点．
【答案】， 当时， ； 当时，；
若，当时，；时，无零点；
若，当时，无零点； 时，；
【命题预测】
纵观近几年的高考试题可以看出，分类讨论的思想在高考中占有非常重要的地位，应用它求解能减少思维时间、提高书写的逻辑性和条理性的试题在高考试卷中的比例，总体上有逐年增加的趋势，这种趋势产生的根本原因是：分类讨论题往往覆盖知识点较多，有利于考查学生掌握的知识面；解分类讨论题需要学生有一定的分析能力，具有一定的逻辑划分思想和技巧，及较好的思维概括性，有利于对学生能力的考查；含参数的问题和分类思想与现实生活、高等数学有着密切的联系，试卷中占有一定比例的分类讨论题，有利于拉开考生得分的距离，实现高考的选拔的目标。因此，分类讨论思想也仍然是高考命题的热点思想，在客观题中会有简单的体现，解答题中将有中档或中档偏上的试题，其求解思路直接依赖于分类讨论。
【解题策略】
在高考中，应用分类讨论思想解题时要明确引起讨论的原因，归纳起来一般有：
（1）概念型：涉及的数学概念是分类讨论的，如绝对值、直线的斜率等；
（2）性质型：运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的；如等比数列的前n项和的公式、数列的前n项和与通项的关系式；
（3）运算型：涉及的数学运算要求分类讨论，如除法中的除数、不等号的方向等；
（4）几何型：涉及的图形具有不确定性，如形状、位置等；
（5）含参型：求解的数学问题中含有参变量，如含参函数、方程、不等式等；
（6）化归型：有的数学问题较复杂或非常规，分类解决简捷，如排列、组合实际问题等；
运用分类讨论思想解题的基本步骤：
（1）明确讨论的对象和讨论的范围（全域）；
（2）确定统一的分类标准，进行合理的分类；
（3）逐步讨论（必要时还得进行多级分类）；
（4）总结概括，得出结论；
由于分类讨论一般过程较为冗长，叙述较为烦琐，且极易在完备上造成失误，因此它并非一定是解决问题的上策或良策，希望同学们在熟悉和掌握分类思想的同时，要注意克服思维定势，充分挖掘求解问题中潜在的特殊性与简单性，尽可能地简化或避免分类讨论。简化分类讨论的常用策略：消去参数、整体换元、反客为主、补集分析、整体变形、借助图解。这是分类讨论思想应用的更高境界。

【类题示例】
一.集合与常用逻辑用语
1.设，
求实数的取值范围. 【答案】
二．函数与导数、方程、不等式
1.（2010年江苏卷理11)已知函数,则满足不等式的x的范围是__▲___。 【答案】
2.（2010年山东卷理22) 已知函数.
(Ⅰ)当时，讨论的单调性；
（Ⅱ）设当时，若对任意，存在，
使，求实数取值范围.
【答案】当时，函数在单调递减，单调递增；
当时，恒成立，此时，函数在单调递减；
当时，函数在单调递减，单调递增，单调递减.

3.（2008年全国一19）已知函数，．
（Ⅰ）讨论函数的单调区间；
（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．
【答案】时，为上的增函数
时，在递增，递减，
递增
三、三角函数、平面向量
1．（2009年浙江卷理8) 已知是实数，则函数的图象不可能是 ( )

【答案】D
2．（2008年四川卷理5)若，则的取值范围是
（Ａ）　　 （Ｂ）　　 （Ｃ）　　 （Ｄ）
【答案】C
四、数列
1.（2010天津文数22）在数列中，=0，且对任意k，成等差数列，其公差为2k.
（Ⅰ）证明成等比数列； （Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）记， 证明
【答案】 或
2.（2010湖南理数21）数列中，
是函数的极小值点
（Ⅰ）当a=0时，求通项；
（Ⅱ）是否存在a，使数列是等比数列？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。
【答案】 ，
五、立体几何
1．（2010年辽宁卷理12) 有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是
(A)（0,） (B)（1,） (C) (,） (D) （0,）
【答案】A
2．若3个平面将空间分成部分，则的所有取值的集合是______. 【答案】
六、解析几何
1．（2009年广东卷文19)已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,两个焦点
分别为和,椭圆G上一点到和的距离之和为12. 圆:
的圆心为点.
(1)求椭圆G的方程， (2)求的面积，
(3)问是否存在圆包围椭圆G?请说明理由. 【答案】，，不存在
2．（2009年宁夏海南卷理20) 已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，
它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，=λ，
求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
【答案】，，，
当时，点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分；
当时，点的轨迹方程为，轨迹是两条平行于轴的线段；
当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分；
当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆；

3．(2009湖南卷理21)在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到
直线x=2的距离的3倍之和记为d，当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（Ⅰ）求点P的轨迹C；
（Ⅱ）设过点F的直线I与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值。
【答案】点P的轨迹C是椭圆在直线x=2的右侧部分与抛物线在直线x=2的左侧部分（包括它与直线x=2的交点）所组成的曲线，MN长度的最大值为；
七、排列、组合与概率
1．（2010年湖北卷理8) 现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
A．152 B.126 C.90 D.54
【答案】B
2．（2009年江西卷文10)甲、乙、丙、丁个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为
A． B． C． D．
【答案】D
3．（2010年全国卷理II20)
如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9．电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．
（Ⅰ）求p；
（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率；
（Ⅲ）表示T1，T2，T3，T4中能通过电流的元件个数，求的期望．
【答案】0.9, 0.9891, 3.6；

【强化练习】
1．（2009年福建卷文9)在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则的值为
A. -5 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】
2．（2010年山东卷文10) 设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且和轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为 【答案】B
A. B. C. D.
3．（2010年辽宁卷理13)的展开式中的常数项为_________. 【答案】-5
4. 已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，。则圆柱的体积为_________. 【答案】
5.（2009天津卷文16）若关于x 的不等式的解集中的整数恰有3个，
则实数的取值范围是_______.
6．（2010北京理数14）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动。设顶点p（x，y）的
轨迹方程是，则的最小正周期为 ；在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为 【答案】4
说明：“正方形PABC沿轴滚动”包括沿轴正方向和沿轴
负方向滚动。沿轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针
旋转，当顶点B落在轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，
如此继续。类似地，正方形PABC可以沿轴负方向滚动。
7.已知函数 (1)求f(x)的值域;
(2)设函数g(x)=ax-2,x∈［-2,2］,若对于任意x1∈［-2,2］,总存在x0,使得g(x0)=f(x1)成立,求实数a 的取值范围. 【答案】
8．（2009全国卷Ⅱ文20）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人。现采用分层抽样（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核。
（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数； （Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；
（Ⅲ）求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【答案】各抽取2名，，
9.（2010四川文数20）已知等差数列的前3项和为6，前8项和为-4。
（Ⅰ）求数列的通项公式；w_w w. k#s5_u.c o*m

（Ⅱ）设，求数列的前n项和
【答案】
10.(2008广东卷19）设，函数，，，
试讨论函数的单调性．
【答案】当时，在与上是增函数，在上是减函数；
当时，在上是增函数,在上是减函数；
当时，在与上是减函数，在上是增函数；
11.（2008湖南18）数列
(Ⅰ)求并求数列的通项公式；
(Ⅱ)设证明：当
【答案】
12.（2010年江苏卷理20) 设是定义在区间上的函数，其导函数为。如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，
使得，则称函数具有性质。
(1)设函数，其中为实数。
(i)求证：函数具有性质； (ii)求函数的单调区间。
(2)已知函数具有性质。给定设为实数，
，，且，
若||<||，求的取值范围。
【答案】当时，在区间上递增；
当时，在上递减；在上递增，；