妙用曲线系方程巧解高考试题.pdf

短文集锦53，即a=32b时等号成立,以下同解法一.解法六（柯西不等式法）:4a2-2ab+4b2-c=0，c4=a2-12ab+b2=a-b42+1516b2，由柯西不等式得a-b42+1516b222+6152 2a-b4+154b6152=|2a+b2,故当|2a+b最大时，有a-b42=154b615a=32b,c=10b2，以下同解法一.（浙江省嘉善第二高级中学 鲁和平 314100）“情侣圆锥曲线”的一个斜率积为定值的性质在解析几何中，我们将椭圆x2a2+y2b2=1和双 曲 线x2a2-y2b2=1称 为“情 侣 圆 锥 曲线”.笔者在研究圆锥曲线的过程中，发现了“情侣圆锥曲线”的一个斜率积为定值的性质.定 理 如 图 1所示，若P(x0，y0)是椭圆C:x2a2+y2b2=1上的任意一点（除顶点外），过点P作 椭 圆C的 切 线l，l交 双 曲 线E:x2a2-y2b2=1于点M,N，点Q为线段MN的中点，则kMNkOQ=b2a2.易知，存在如下引理1.引理1 若P(x0，y0)是椭圆C:x2a2+y2b2=1上的一点，则过点P的切线有且仅有一条，该切线方程为x0 xa2+y0yb2=1.证明：设M(x1，y1),N(x2，y2)，P(x0,y0)，由引理得直线MN的方程为x0 xa2+y0yb2=1，即y=b2a2y0(a2-x0 x)，联立x2a2-y2b2=1y=b2a2y0(x0 x-a2)(b2x02-a2y02)x2+2a2b2x0 x-a4()b2-y02=0，x1+x2=-2a2b2x0b2x02-a2y02，y1+y2=2a2b2y0b2x02-a2y02，则点Q(-a2b2x0b2y02-a2y02，a2b2y0b2x02-a2y02)，kMNkOQ=2a2b2y0b2x02-a2y02-a2b2x0b2y02-a2y02-b2x0a2y0=b2a2.（云南师范大学数学学院 朱啟吉 650500）解析几何问题是历年高考经久不衰的热点和难点,学生经常会出现思路正确,但因运算过程繁杂,而半途而废的现象.因此在解答解析几何问题的过程中如何减少计算就成为能否迅速、正确解题的关键.本文介绍利用曲线系方程求解几道高考试题.1定值问题例 1（2021年全国新高考 1卷）：在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(-17,0)，F2(17,0)，点M满足|MF1|-|MF2|=2，记MxNPQOy图1M妙用曲线系方程巧解高考试题2023年第2期河北理科教学研究 52短文集锦的轨迹为C(1)求C的方程；(2)设点T在直线x=12上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|TB=|TP|TQ，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和解析：（1）易得x2-y216=1(x0)（略）；（2）点T在x=12上，可设T（12，m)，过点T的直线AB:y-m=k1(x-12)，过点T的直 线PQ:y-m=k2(x-12)，故A，B，P，Q四点的坐标满足如下直线AB，PQ的方程(k1x-12k1-y+m)(k2x-12k2-y+m)=0,又A，B，P，Q四点在曲线C上，所以这四点在曲 线(k1x-12k1-y+m)(k2x-12k2-y+m)+(x2-y216-1)=0上，因为|TA|TB=|TP|TQ，所以A，B，P，Q四点共圆，则上述方程表示圆，左边展开后x2,y2的系数相等，且xy项的系数为 0，由xy项的系数为 0得到k1+k2=0.点评：利用二次曲线系方程解决解析几何中的定值问题，视角独特，过程简洁.2定点问题例2（2020年高考全国理科20题）：已知A、B分别为椭圆E：x2a2+y2=1(a1)的左、右顶点，G为E的上顶点，AG GB=8，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.解析：（1）E的方程为x29+y2=1（略）；（2）设直线AC的方程为x=k1y-3，直线BD的方程为x=k2y+3，直线CD的方程为x=my+n，直线AB的方程为y=0，则A、C、B、D四点在曲线(x-k1y+3)(x-k2y-3)+y(x-my-n)=(x29+y2-1)上，整理得x2+(k1k2-m)y2+(k1+k2-)xy-(3k1-3k2-n)y-9=9x2+y2-，比较系数可得k1+k2-=0，3k1-3k2-n=0，则k1+k2=k1-k2=n3，又x=k1y-3x=k2y+3则x=3(k1+k2)k1-k2=9n=6，解得n=32，故直线CD的方程为x=my+32，即直线CD过定点32,0.点评：利用二次曲线系方程解决解析几何中的定点问题，解答过程简洁明快.3四点共圆问题例3（2011年高考全国（大纲）理科21题）：已知O为坐标原点，F为椭圆C:x2+y22=1在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为-2的直线l与C交于A、B两点，点P满足 OA+OB+OP=0.（）证明：点P在C上；（）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上证明：由P -22,-1和题设知Q 22,1，所以直线PQ的方程为y=2x，又直线AB的方程为y=-2x+1，故经过A、P、B、Q四点的曲线为(2x2+y2-2)+(2x-y)(2x+y-1)=0，即(2+2)x2+(1-)y2-2 x+y-2=0，当2+2=1-时，有=-13，此时 x+282+y-182=9964.因此A、P、B、Q四点在同一圆上，且圆的方程为 x+282+2023年第2期河北理科教学研究 53短文集锦y-182=9964.点评：要证明四点共圆，若用常规方法，则运算量较大，而利用曲线系可又快又准地解决问题.利用曲线系方程解题时，运算相对简便，过程简洁，方便实用.把握好各种类型的曲线系方程，有利于我们解决一些较复杂的题目，教会学生运用此方法，更能拓展学生解题思维，对学生解题能力的提高有一定的帮助.（湖北省大冶市第一中学 黄俊峰 袁方程 435100）1问题的呈现与分析题目 比较下列各题中三个值的大小：（1）log0.26，log0.36，log0.46；（2）log23，log34，log45.分析：该题出自人教A版新教材选择性必修第一册 141页，习题 4.4“拓广探索”中的第 13 题，试题结构简单明了，但内涵丰富，是一道值得拓广探索的好题，下面从不同角度探析问题，并对其变式拓展.2问题的探析2.1 对第（1）题的解析与拓广解析：由换底公式得log0.26=ln6ln0.2，log0.36=ln6ln0.3，log0.46=ln6ln0.4，则问题转化为比较ln0.2，ln0.3，ln0.4的大小关系，由函 数y=lnx在(0,1)上 单 调 递 增，得ln0.2ln0.3ln0.4ln6ln0.3ln6ln0.4，故log0.26log0.36log0.46.拓广 1：已知函数f(x)=logxm（x0，且x1，m0），（1）若m=1，则 函 数f(x)=0为常数函数；（2）若0m0，在(1,+)上单调递增且f(x)1，则函数f(x)在(0,1)上单调递减且f(x)0.2.2 对第（2）题的解析与拓广解法1：作差法+基本不等式放缩.由换底公式得log23-log34=ln3ln2-ln4ln3=(ln3)2-ln2ln4ln2ln3，又ln2ln4ln2+ln422=ln822=()ln 820，即log23log34，同理log34log45，故log23log34log45.解法2：作商法+基本不等式放缩.由换底公式得log23log34=(ln3)2ln2ln4，同方法1得ln2ln41，则log23log34,同理log34log45，故log23log34log45.解法3：糖水不等式放缩法.由换底公式及糖水不等式得log23=ln3ln2ln3+ln32ln2+ln32=ln92ln3ln4ln3=log34，log34=ln4ln3ln4+ln43ln3+ln43=ln163ln4ln5ln4=log45，所以log23log34log45.拓广2：数列logn(n+1)为递减数列.证明：由an-an-1=logn(n+1)-logn+1(n+2)=ln(n+1)lnn-ln(n+2)ln(n+1)=ln(n+1)2-lnnln(n+2)lnnln(n+1)=ln(n+1)2-4lnnln(n+2)4lnnln(n+1)新教材一道比较大小问题的拓广研究2023年第2期河北理科教学研究 54