高三数学-2010年高考数学试题汇编：第二章-函数--第四节-函数的综合应用.doc

第二章 函数
四 函数的综合应用
【考点阐述】
函数的综合应用
【考试要求】
应用函数知识思想解决一些简单的实际问题。
【考题分类】
（一）选择题（共8题）
1.（福建卷理4文7）函数的零点个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】当时，令解得；
当时，令解得，所以已知函数有两个零点，选C。
【命题意图】本题考查分段函数零点的求法，考查了分类讨论的数学思想。
2.（湖南卷理8）用表示a，b两数中的最小值。若函数的图像关于直线x=对称，则t的值为
A．-2 B．2 C．-1 D．1

【命题意图】本题通过新定义考察学生的创新能力，考察函数的图象，考察考生数形结合的能力，属中档题。
3.（全国Ⅰ新卷理11文12）已知函数若互不相等，且则的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
解析：不妨设，取特例，如取，则易得，从而，选C．
另解：不妨设，则由，再根据图像易得，故选C．
4.（山东卷理11文11）函数y=2x－x2的图像大致是

【答案】A
【解析】因为当x=2或4时，2x -=0，所以排除B、C；当x=-2时，2x -=，故排除D，所以选A。
【命题意图】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力。
5.（陕西卷理10文10）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表 ，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]( [x]表示不大于x的最大整数)可以表示为 【 】
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】（方法一）当除以的余数为时，由题设知，且易验证知此时,当除以的余数为时，由题设知，且易验证知此时，故综上知，必有,故选.
6.（天津卷理2）函数f(x)=的零点所在的一个区间是
(A)（-2，-1） (B)（-1,0） (C)（0,1） (D)（1,2）
【答案】B
【解析】因为，，所以选B。
【命题意图】本小题考查函数根的存在性定理，属基础题。
7.（天津卷文4）函数f（x）=
(A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2）
【答案】C
【解析】因为，，所以选C。
【命题意图】本小题考查函数根的存在性定理，属基础题。
8.（浙江卷文9）已知x是函数f(x)=2 x+ 的一个零点，若∈（1，），∈（，+），则
（A）f()＜0，f()＜0 （B）f()＜0，f()＞0
（C）f()＞0，f()＜0 （D）f()＞0，f()＞0
解析：选B，考察了数形结合的思想，以及函数零点的概念和零点的判断，属中档题
（二）填空题（共7题）
1.（北京卷理14）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动。设顶点p（x，y）的轨迹方程是，则的最小正周期为 ；在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为 。
说明：“正方形PABC沿轴滚动”包括沿轴正方向和沿轴负方向滚动。沿轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续。类似地，正方形PABC可以沿轴负方向滚动。
【答案】4，
解析：不难想象，从某一个顶点（比如A）落在x轴上的时候开始计算，到下一次A点落在x轴上，这个过程中四个顶点依次落在了x轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长1，因此该函数的周期为4。下面考察P点的运动轨迹，不妨考察正方形向右滚动，P点从x轴上开始运动的时候，首先是围绕A点运动个圆，该圆半径为1，然后以B点为中心，滚动到C点落地，其间是以BP为半径，旋转90°，然后以C为圆心，再旋转90°，这时候以CP为半径，因此最终构成图象如下：
2. （北京卷文14）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动。设顶点p（x，y）的纵坐标与横坐标的函数关系是，则的最小正周期为 ；在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为 。说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包含沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动。沿x轴正方向滚动是指以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续，类似地，正方形PABC可以沿着x轴负方向滚动。

3.（江苏卷14）将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=,则S的最小值是_______▲_______
【答案】
[解析] 考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。
设剪成的小正三角形的边长为，则：
（方法一）利用函数的方法求最小值。
令，则：
故当时，S的最小值是。
（方法二）利用导数求函数最小值。
，

，
当时，递减；当时，递增；
故当时，S的最小值是。
4.（全国Ⅰ卷理15）直线与曲线有四个交点，则的取值范围是
【答案】(1,
【命题意图】本小题主要考查函数的图像与性质、不等式的解法,着重考查了数形结合的数学思想.
y=1
x
y
a
O

【解析】如图，在同一直角坐标系内画出直线与曲线
,观图可知，a的取值必须满足
解得.
5.（天津卷理16）设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是 .
[【答案】
【解析】由题意知：在上恒成立，
在上恒成立，当时，函数取得最小值，所以，即解得或。
【命题意图】本题考查函数中的恒成立问题，考查化归与转化的数学思想。
6.（天津卷文16）设函数f(x)=x-,对任意x恒成立，则实数m的取值范围是________
【答案】
【解析】因为对任意x，恒成立，所以
当时，有对任意x恒成立，即，解得，即；当时，有对任意x恒成立，x无解，综上所述实数m的取值范围是。
【命题意图】本题考查函数中的恒成立问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想。
7.（重庆卷理15）已知函数满足：，，则=_____________.
【答案】
解析：取x=1 y=0得
法一：通过计算，寻得周期为6
法二：取x=n y=1,有f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理f(n+1)=f(n+2)+f(n)
联立得f(n+2)= —f(n-1) 所以T=6 故=f(0)= .
（三）解答题（共3题）
1.（广东卷文20）已知函数对任意实数均有，其中常数为负数，
且在区间上有表达式.
（1）求，的值；
（2）写出在上的表达式，并讨论函数在上的单调性；
（3）求出在上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值. w_w*w.k_s_5 u.c*o*m

（2）当时，

当时，

当时，

f(x)=

c. 当时，
此时：
2.（湖南卷理20）已知函数对任意的，恒有。
（Ⅰ）证明：当时，；
（Ⅱ）若对满足题设条件的任意b，c，不等式恒成立，求M的最小值。

3.（上海春卷20）已知函数，且
（1）若函数的反函数是其本身，求a的值；
（2）当时，求函数的最大值。

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