正方形基础知识精讲.doc

【基础知识精讲】
1.什么叫正方形
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.可以看成：
(1)有一组邻边相等的矩形(如下图)

(2)有一个角是直角的菱形(如下图)

(3)一组邻边相等，一个角是直角的平行四边形

2.正方形的性质
由于正方形既是特殊的平行四边形，又是特殊的矩形和菱形，它集平行四边形、矩形、菱形的性质于一身.因此，正方形具有以下性质：
(1)两组对边分别平行
(2)四个角都是直角，四条边都相等
(3)两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
(4)两条对角线将它分成四个全等的等腰直角三角形
3.平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的包含关系(如下图)

4.关于正方形的判定
(1)先判定四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形(一组邻边相等的矩形)
(2)先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形(有一个角是直角的菱形)
(3)还可以先判定它是平行四边形，再用(1)或(2)进行判定.
【同步达纲练习】
一、填空
1.正方形既是 相等的矩形，又是有一个角是 的菱形.

2.正方形和菱形比较，除具有 的性质外，它们具有的共同性质还有：四条边都 ，对角线 .

3.对角线 的四边形是正方形.

4.正方形和矩形比较，除具有 的性质外，它们还具有的共同性质还有：四个角都 ，对角线 .

5.如果一个正方形的边长恰好等于边长为m的正方形对角线的长，那么这两个正方形周长和为 ，面积的和为 .
6.如图4.6-12，正方形ABCD中，E、F分别是CD、DA上的点，并且EF＝AF+CE，∠BEF＝∠BEC，那么∠EBF＝ 度.

7.如图4.6-13，正方形ABCD中，E是CF上的点，四边形BEFD是菱形，那么∠BEF＝ 度.

图4.6-12 图4.6-13

8.如图4.6-14，E是正方形ABCD边BC延长线上的一点，若EC＝AC，AE交CD于F，那么∠AFC＝ 度.

图4.6-14 图4.6-15

9.如图4.6-15，将边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上一点E，若DE为5，则折痕PQ的长为 .
10.P是正方形ABCD内一点，△PAB为正三角形，若正方形的面积为1，则△PAB的面积为 .
二、选择题
2.正方形具有而矩形不一定具有性质是( )
A.对角线互相平分 B.对角线相等
C.对角线互相平分且相等 D.对角线互相垂直
4.如图，正方形ABCD中，CE＝MN，∠MCE＝35°，那么∠ANM是( )

A.45° B.55° C.65° D.75°

5.下列命题正确的是( )
A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B.以一条对角线所在直线为对称轴的平行四边形是菱形
C.顺次连结矩形四条边中点所得的四边形仍是矩形

7.在正方形ABCD的对角线AC上取一点E，使AE＝AB，作EF⊥AC交BC于F，则下列关系式成立的是( )A.BF＝EC B.BF≠EC C.BF＜EC D.BF＞EC
8.以正方形ABCD的边AB向外作等边三角形ABE，BD、CE交于F，则∠AFD的度数为( )
A.50° B.60° C.67.5° D.75°
9.在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的三等分点，则四边形EFGH是( )
A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.平行四边形
10.给出下列结论：(1)正方形具有平行四边形的一切性质，(2)正方形具有矩形的一切性质，(3)正方形具有菱形的一切性质，(4)正方形共有两条对称轴，(5)正方形共有四条对称轴，其中正确的结论有( )
A.2 B.3个 C.4个 D.5个
三、解答题
1.在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE＝AC，连结AE交CD于F，求∠AFD的度数?

2.如图所示，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，使L、M、D在AK的同旁，连结BK和DM，求证：BK＝DM.

3.如图，已知正方形ABCD，在BC上取一点E，延长AB至F，使BF＝BE，AE的延长线交CF于G，求证AG⊥CF.

4.如图，E为正方形ABCD的边AB延长线上一点，DE交AC于F，交BC于G，H为GE的中点.求证：BF⊥BH.

5.如图，E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠EAF＝45°，求证：EF＝BE+DF.

【素质优化训练】
如图，M为正方形ABCD的AB边上的中点，MN⊥DM，BN平分∠CBG.
求证：DM＝MN

【知识探究学习】
如图，已知E是正方形ABCD的边BC上的中点，F是CD上一点，AE平分∠BAF，求证：AF＝BC+CF.