椭圆的简单性质基础练习(含答案).doc

椭圆简单性质
1．（2006•山东）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（　　）

A．

B．

C．

D．

2．已知焦点在x轴上、中心在原点的椭圆上一点到两焦点的距离之和为4，若该椭圆的离心率，则椭圆的方程是（　　）

A．

B．

C．

D．

3．如果一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍，那么这个椭圆的离心率为（　　）

A．

B．

C．

D．

4．椭圆x2+4y2=1的焦点为（　　）

A．
（0，±）
B．
（±，0）
C．
（±，0）
D．
（0，±）

5．已知△ABC中，A、B的坐标分别为（0，2）和（0，﹣2），若三角形的周长为10，则顶点C的轨迹方程是（　　）

A．
（y≠0）
B．
（x≠0）

C．
（y≠0）
D．
（x≠0）

6．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是（3，0），则椭圆的标准方程为（　　）

A．
=1
B．
=1
C．
=1
D．
=1

7．设θ是三角形的一个内角，且，则方程x2sinθ﹣y2cosθ=1表示的曲线是（　　）

A．
焦点在x轴上的双曲线
B．
焦点在x轴上的椭圆

C．
焦点在y轴上的双曲线
D．
焦点在y轴上的椭圆

8．两个焦点坐标分别是（﹣3，0），（3，0），经过点（5，0）的椭圆方程为（　　）

A．

B．

C．

D．

9．若焦点在y轴上的椭圆的离心率为，则m=（　　）

A．
1
B．
16
C．
1或16
D．

10．焦距为4，离心率是方程2x2﹣5x+2=0的一个根，且焦点在X轴上的椭圆的标准方程为（　　）

A．
+=1
B．
+=1
C．
=1
D．
=1

11．过点（3，﹣2）且与椭圆4x2+9y2﹣36=0有相同焦点的椭圆方程是（　　）

A．

B．

C．

D．

12．椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程是（　　）

A．
+=1或+=1
B．
+=1或+=1

C．
+=1或+=1
D．
椭圆的方程无法确定

13．已知A（﹣1，0），B是圆F：（x﹣1）2+y2=16（F为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程是（　　）

A．

B．

C．

D．

14．（2012•江西）椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（　　）

A．

B．

C．

D．

15．（2011•番禺区）椭圆+=1的左、右焦点是F1、F2，P是椭圆上一点，若|PF1|=3|PF2|，则P点到左准线的距离是（　　）

A．
2
B．
4
C．
6
D．
8

16．（2008•天津）设椭圆上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P点到右准线的距离为（　　）

A．
6
B．
2
C．

D．

17．（2008•上海）已知椭圆，长轴在y轴上、若焦距为4，则m等于（　　）

A．
4
B．
5
C．
7
D．
8

18．（2007•湖南）设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为（c为半焦距）的点，且|F1F2|=|F2P|，则椭圆的离心率是（　　）

A．

B．

C．

D．

19．（2007•北京）椭圆的焦点为F1，F2，两条准线与x轴的交点分别为M，N，若|MN|≤2|F1F2|，则该椭圆离心率的取值范围是（　　）

A．

B．

C．

D．

20．（2006•天津）椭圆的中心为点E（﹣1，0），它的一个焦点为F（﹣3，0），相应于焦点F的准线方程为则这个椭圆的方程是（　　）

A．

B．

C．

D．

二．填空题（共9小题）
21．（2011•江阴市）椭圆的长轴长为10，短轴长为8，则椭圆上的点到椭圆中心的距离的取值范围是　_________　．

22．（2011•江阴市）椭圆的右焦点到直线y=的距离是　_________　．

23．（2009•北京）椭圆+=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|=　_________　，∠F1PF2的大小为
　_________　．

24．（2008•浙江）已知F1、F2为椭圆+=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点．若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=　_________　．

25．（2004•湖南）F1，F2是椭圆C：的焦点，在C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为　_________　．

26．（2003•北京）如图，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2的值是
　_________　．

27．（2001•北京）椭圆x2+4y2=4长轴上一个顶点为A，以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是　_________　．

28．椭圆C短轴的一个端点与两个焦点F1、F2构成边长为2的正三角形，P为椭圆C上一点，且|PF1|﹣|PF2|=1，则△PF1F2的面积为　_________　．

29．椭圆+=1上一点P到左焦点F的距离为6，则P点到左准线的距离为　_________　．

三．解答题（共1小题）
30．（2010•福建）已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

参考答案与试题解析

一．选择题（共20小题）
1．（2006•山东）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
椭圆的标准方程。717384
专题：
计算题。
分析：
先假设出椭圆方程的一般形式，令x=c代入求出弦长使其等于，再由可求出a，b，c的关系，进而得到离心率的值．
解答：
解：不妨设椭圆方程为（a＞b＞0），
则有，
据此求出e=，
故选B
点评：
本题主要考查椭圆离心率的求法．在椭圆中一定要熟练掌握a，b，c之间的关系、离心率、准线方程等基本性质．

2．已知焦点在x轴上、中心在原点的椭圆上一点到两焦点的距离之和为4，若该椭圆的离心率，则椭圆的方程是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
椭圆的标准方程。717384
分析：
由题设条件知，2a=4，则a=2，进而可得b=1，由此可知所求椭圆方程为 ．
解答：
解：由题设知 ，2a=4，
∴a=2，b=1，
∴所求椭圆方程为 ．
故选A．
点评：
本题考查椭圆的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用，特别是对于椭圆的焦点弦问题常需借助椭圆的定义来解决．．

3．如果一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍，那么这个椭圆的离心率为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
椭圆的标准方程。717384
专题：
计算题。
分析：
先根据长轴长是短轴长的2倍确定a与b的关系，进而根据椭圆a，b，c的关系a2=b2+c2可表示出c，再由e=得到答案．
解答：
解：∵a=2b
∴c==b
e==
故选B．
点评：
本题主要考查椭圆离心率的计算．属基础题．

4．椭圆x2+4y2=1的焦点为（　　）

A．
（0，±）
B．
（±，0）
C．
（±，0）
D．
（0，±）

考点：
椭圆的标准方程。717384
专题：
计算题。
分析：
把椭圆的方程化为标准形式，判断焦点所在的坐标轴，求出半焦距的值，即可得到焦点坐标．
解答：
解：椭圆x2+4y2=1 即 x2 +=1，
∴c==，
∴焦点坐标为（±，0），
故选 C．
点评：
本题考查椭圆的标准方程和简单性质，关键是根据标准方程判断焦点的位置并求出半焦距的值．

5．已知△ABC中，A、B的坐标分别为（0，2）和（0，﹣2），若三角形的周长为10，则顶点C的轨迹方程是（　　）

A．
（y≠0）
B．
（x≠0）

C．
（y≠0）
D．
（x≠0）

考点：
椭圆的标准方程。717384
专题：
计算题。
分析：
根据三角形的周长及|AB|=4，可得|AC|+|BC|=6＞|AB|，根据椭圆的定义知顶点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，待定系数法求椭圆的方程．
解答：
解：∵|AB|=4，三角形的周长为10，∴|AC|+|BC|=10﹣4=6＞|AB|，
根据椭圆的定义知，顶点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，且 c=2，a=3，
b==，故椭圆的方程为 +=1，
故选 B．
点评：
本题考查根据椭圆的定义，用待定系数法求椭圆的标准方程的方法．

6．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是（3，0），则椭圆的标准方程为（　　）

A．
=1
B．
=1
C．
=1
D．
=1

考点：
椭圆的标准方程。717384
专题：
计算题。
分析：
根据长轴长与短轴长的和为18，设出短轴2b，表示出长轴2a，然后根据焦点判断椭圆的位置和c，进而根据c2=a2﹣b2求出a2、 b2得出结果．
解答：
解：设椭圆的短轴为2b（b＞0），长轴为2a，则2a+2b=18
又∵个焦点的坐标是（3，0），
∴椭圆在x轴上，c=3
∵c2=a2﹣b2
∴a2=25 b2=16
所以椭圆的标准方程为
故选B．
点评：
此题考查学生会利用待定系数法求椭圆的标准方程，是一道基础题．学生做题时根基焦点判断椭圆的位置．

7．设θ是三角形的一个内角，且，则方程x2sinθ﹣y2cosθ=1表示的曲线是（　　）

A．
焦点在x轴上的双曲线
B．
焦点在x轴上的椭圆

C．
焦点在y轴上的双曲线
D．
焦点在y轴上的椭圆

考点：
椭圆的标准方程。717384
专题：
计算题。
分析：
把 sinθ+cosθ=两边平方可得，sinθ•cosθ=﹣＜0，可判断θ为钝角，cosθ＜0，从而判断方程所表示的曲线．
解答：
解：因为θ∈（0，π），且sinθ+cosθ=，所以，θ∈（ ，π），
且|sinθ|＞|cosθ|，所以θ∈（ ，），从而cosθ＜0，
从而x2sinθ﹣y2cosθ=1表示焦点在y轴上的椭圆．
故选 D．
点评：
本题考查椭圆的标准方程形式，由三角函数式判断角的取值范围．

8．两个焦点坐标分别是（﹣3，0），（3，0），经过点（5，0）的椭圆方程为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
椭圆的标准方程。717384
专题：
计算题；待定系数法。
分析：
先判断椭圆的焦点位置，求出半焦距，经过点（5，0）的椭圆的长半轴等于5，可求短半轴，从而写出椭圆的标准方程．
解答：
解：由题意知，椭圆的焦点在x轴上，c=3，a=5，∴b=4，
故椭圆的方程为 +=1，
故选 D．
点评：
本题考查椭圆的性质及标准方程的求法，用待定系数法求椭圆的标准方程是一种常用的方法．

9．若焦点在y轴上的椭圆的离心率为，则m=（　　）

A．
1
B．
16
C．
1或16
D．

考点：
椭圆的标准方程。717384
专题：
分析法。
分析：
根据焦点在y轴上可得到m＜4，对选项验证即可得到答案．
解答：
解：∵焦点在y轴上∴m＜4，∴排除B，C，D
故选A．
点评：
本题主要考查椭圆的基本性质．属基础题．

10．焦距为4，离心率是方程2x2﹣5x+2=0的一个根，且焦点在X轴上的椭圆的标准方程为（　　）

A．
+=1
B．
+=1
C．
=1
D．
=1

考点：
椭圆的标准方程。717384
专题：
计算题。
分析：
根据焦距求得c，进而利用离心率求得a，则b可求得，进而求得椭圆的方程．
解答：
解：依题意：e=
∴，
所以，所求椭圆方程为 ．
故选B．
点评：
本题主要考查了椭圆的简单性质．考查了椭圆的基础知识的掌握．

11．过点（3，﹣2）且与椭圆4x2+9y2﹣36=0有相同焦点的椭圆方程是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
椭圆的标准方程。717384
专题：
常规题型。
分析：
先根据椭圆4x2+9y2﹣36=0求得焦点坐标，进而求得椭圆的半焦距c，根据椭圆过点（3，﹣2）求得a，最后根据a和c与a的关系求得b即可．
解答：
解：椭圆4x2+9y2﹣36=0，
∴焦点坐标为：（，0），（﹣，0），c=，
∵椭圆的焦点与椭圆4x2+9y2﹣36=0有相同焦点
∴椭圆的半焦距c=，即a2﹣b2=5
∴
解得：a2=15，b2=10
∴椭圆的标准方程为
故选A．
点评：
本题主要考查了椭圆的标准方程的问题．要熟练掌握椭圆方程中a，b和c的关系，求椭圆的方程时才能做到游刃有余．

12．椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程是（　　）

A．
+=1或+=1
B．
+=1或+=1

C．
+=1或+=1
D．
椭圆的方程无法确定

考点：
椭圆的标准方程。717384
专题：
计算题。
分析：
由题设条件知椭圆的焦点可能在x轴或者y轴上，且a=5，c=3，进而可得b，由此可知所求椭圆方程．
解答：
解：由题设知，
椭圆的焦点可能在x轴或者y轴上，
且a=5，c=3，
∴b2=16，
∴所求椭圆方程为 +=1或+=1．
故选C．
点评：
本题考查椭圆的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用，特别是对于椭圆的焦点在什么轴上的问题常需借助分类讨论来解决．

13．已知A（﹣1，0），B是圆F：（x﹣1）2+y2=16（F为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
椭圆的标准方程。717384
专题：
计算题。
分析：
利用椭圆的定义判断点P的轨迹 是以A、F 为焦点的椭圆，求出a、b的值，即得椭圆的方程．
解答：
解：由题意得 圆心F（1，0），半径等于4，|PA|=|PB|，
∴|PF|+|PA|=|PF|+|PB|=|BF|=半径4＞|AF|，
故点P的轨迹是以A、F 为焦点的椭圆，
2a=4，c=1，∴b=，∴椭圆的方程为 ．
故选A．
点评：
本题考查用定义法求点的轨迹方程，结合椭圆的定义求轨迹是解题的难点．

14．（2012•江西）椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
椭圆的简单性质；等比关系的确定。717384
专题：
计算题。
分析：
由题意可得，|AF1|=a﹣c，|F1F2|=2c，|F1B|=a+c，由|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列可得到e2==，从而得到答案．
解答：
解：设该椭圆的半焦距为c，由题意可得，|AF1|=a﹣c，|F1F2|=2c，|F1B|=a+c，
∵|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，
∴（2c）2=（a﹣c）（a+c），
∴=，即e2=，
∴e=，即此椭圆的离心率为．
故选B．
点评：
本题考查椭圆的简单性质，考查等比数列的性质，用a，c分别表示出|AF1|，|F1F2|，|F1B|是关键，属于基础题．

15．（2011•番禺区）椭圆+=1的左、右焦点是F1、F2，P是椭圆上一点，若|PF1|=3|PF2|，则P点到左准线的距离是（　　）

A．
2
B．
4
C．
6
D．
8

考点：
椭圆的简单性质。717384
专题：
计算题。
分析：
由椭圆的定义，知|PF1|+|PF2|=2a=4，且|PF1|=3|PF2|，由此能求出|PF1|和|PF2|的值，然后利用圆锥曲线统一定义，可得P到左准线的距离．
解答：
解：∵椭圆方程为+=1，
∴a==2，b2=3，
∵|PF1|+|PF2|=2a=4，|PF1|=3|PF2|
∴|PF1|=3，|PF1|=1
求出椭圆的离心率e=，设P到左准线距离是d，
根据圆锥曲线统一定义，得：
∴d=2|PF1|=6，即P到左准线距离是6
故选C
点评：
本题给出椭圆上一点到两个焦点距离的倍数关系，通过求该点到左准线的距离，考查了椭圆的基本概念和圆锥曲线的统一定义，属于基础题．

16．（2008•天津）设椭圆上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P点到右准线的距离为（　　）

A．
6
B．
2
C．

D．

考点：
椭圆的简单性质。717384
专题：
计算题。
分析：
根据椭圆定义，求出m，利用第二定义求出到右准线的距离，注意右焦点右准线的对应关系．
解答：
解：由椭圆第一定义知a=2，所以m2=4，
椭圆方程为
所以d=2，故选B
点评：
本题考查了椭圆的第一定义以及第二定义的应用

17．（2008•上海）已知椭圆，长轴在y轴上、若焦距为4，则m等于（　　）

A．
4
B．
5
C．
7
D．
8

考点：
椭圆的简单性质。717384
专题：
计算题。
分析：
先把椭圆方程转换成标准方程，进而根据焦距求得m．
解答：
解：将椭圆的方程转化为标准形式为，
显然m﹣2＞10﹣m，即m＞6，
，解得m=8
故选D
点评：
本题主要考查了椭圆的简单性质．要求学生对椭圆中对长轴和短轴即及焦距的关系要明了．

18．（2007•湖南）设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为（c为半焦距）的点，且|F1F2|=|F2P|，则椭圆的离心率是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
椭圆的简单性质。717384
专题：
计算题。
分析：
求离心率就寻找a，c的关系，借助与|F1F2|=|F2P|，Rt△PMF2建立等量关系求出离心率．
解答：
解：
由已知P（），
所以化简得，
故选D．

点评：
本题考查了学生分析问题的能力，通过画图寻找a，c的关系，求解椭圆的离心率

19．（2007•北京）椭圆的焦点为F1，F2，两条准线与x轴的交点分别为M，N，若|MN|≤2|F1F2|，则该椭圆离心率的取值范围是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
椭圆的简单性质。717384
专题：
综合题。
分析：
根据准线方程公式，由椭圆的方程可得y=±，表示出|MN|的长，又|F1F2|=2c，所以把|MN|和|F1F2|的长分别代入|MN|≤2|F1F2|，化简后即可求出e的范围，然后根据a大于c得到e小于1，两者求出交集即可得到椭圆离心率的取值范围．
解答：
解：因为椭圆的准线方程为y=±，所以|MN|=；又|F1F2|=2c，
则由|MN|≤2|F1F2|，得到≤4c，即≥，即e=≥，又a＞c，所以e＜1，
则该椭圆离心率的取值范围是[，1）．
故选D
点评：
此题考查学生掌握椭圆的准线方程的求法，以及灵活运用椭圆的简单性质化简求值，是一道综合题．

20．（2006•天津）椭圆的中心为点E（﹣1，0），它的一个焦点为F（﹣3，0），相应于焦点F的准线方程为则这个椭圆的方程是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
椭圆的简单性质。717384
专题：
计算题。
分析：
根据中心店和焦点坐标求得c，再根据准线方程求得a和b，进而可得椭圆的方程．
解答：
解：椭圆的中心为点E（﹣1，0），它的一个焦点为F（﹣3，0），
∴半焦距c=2，相应于焦点F的准线方程为
∴，a2=5，b2=1，则这个椭圆的方程是，
故选D．
点评：
本题主要考查了椭圆的简单性质．属基础题．

二．填空题（共9小题）
21．（2011•江阴市）椭圆的长轴长为10，短轴长为8，则椭圆上的点到椭圆中心的距离的取值范围是　[4，5]　．

考点：
椭圆的简单性质。717384
专题：
计算题。
分析：
椭圆上的点到圆心的最小距离为短半轴的长度，最大距离为长半轴的长度，故可求椭圆上的点到椭圆中心的距离的取值范围．
解答：
解：椭圆上的点到圆心的最小距离为短半轴的长度，最大距离为长半轴的长度
因为椭圆的长轴长为10，短轴长为8，
所以椭圆上的点到圆心的最小距离为4，最大距离为5
所以椭圆上的点到椭圆中心距离的取值范围是[4，5]
故答案为：[4，5]
点评：
本题考查的重点是椭圆的几何性质，解题的关键是利用椭圆上的点到圆心的最小距离为短半轴的长度，最大距离为长半轴的长度．

22．（2011•江阴市）椭圆的右焦点到直线y=的距离是　　．

考点：
椭圆的简单性质。717384
专题：
计算题。
分析：
先利用椭圆的标准方程求得椭圆的右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式计算距离即可
解答：
解：∵椭圆的右焦点为（1，0）
∴右焦点到直线x﹣3y=0的距离为d==
故答案为
点评：
本题考查了椭圆的标准方程及其几何性质，点到直线的距离公式的运用，求椭圆焦点坐标时，要先“定位”，再“定量”，避免出错

23．（2009•北京）椭圆+=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|=　2　，∠F1PF2的大小为
　120°　．

考点：
椭圆的简单性质。717384
专题：
计算题。
分析：
第一问用定义法，由|PF1|+|PF2|=6，且|PF1|=4，易得|PF2|；第二问如图所示：角所在三角形三边已求得，用余弦定理求解．
解答：
解：∵|PF1|+|PF2|=2a=6，
∴|PF2|=6﹣|PF1|=2．
在△F1PF2中，
cos∠F1PF2
=
==﹣，
∴∠F1PF2=120°．
故答案为：2；120°
点评：
本题主要考查椭圆定义的应用及焦点三角形问题，这类题是常考类型，难度不大，考查灵活，特别是对曲线的定义和性质考查的很到位．

24．（2008•浙江）已知F1、F2为椭圆+=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点．若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=　8　．

考点：
椭圆的简单性质；椭圆的定义。717384
专题：
计算题。
分析：
由椭圆的定义得，所以|AB|+|AF2|+|BF2|=20，由此可求出|AB|的长．
解答：
解：由椭圆的定义得
两式相加得|AB|+|AF2|+|BF2|=20，
即|AB|+12=20，
∴|AB|=8．
故答案：8
点评：
本题考查椭圆的基本性质和应用，解题时要注意公式的合理运用．

25．（2004•湖南）F1，F2是椭圆C：的焦点，在C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为　2　．

考点：
椭圆的简单性质。717384
专题：
计算题。
分析：
法一（代数法）：设|PF1|=m，|PF2|=n，根据椭圆的性质可知m+n=2a，又根据PF1⊥PF2可知m2+n2=（2c）2，进而求得mn，所以m，n是一元二次方程x2﹣4x+8=0的两根，根据判别式可知方程有一个根，再根据椭圆的对称性可知应有2个点满足．
法二（几何法）：由图形知，∠F1BF2=900，故这样的P点只能有两个．
解答：
解：设|PF1|=m，|PF2|=n
则m+n=2a=4，m2+n2=（2c）2=16
∴mn==8
所以m，n是一元二次方程x2﹣4x+8=0的两根
判别式△=32﹣32=0故此方程有一个实根，
根据椭圆的对称性可知椭圆上存在2个点P满足PF1⊥PF2
故答案为2．
法二：（几何法）由椭圆的图形知∠F1BF2=900，故这样的P点只能有两个．
故答案为2．
点评：
本题主要考查了椭圆的基本性质，属基础题．

26．（2003•北京）如图，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2的值是
　　．

考点：
椭圆的简单性质。717384
专题：
计算题。
分析：
与椭圆两个焦点有关的问题，一般以回归定义求解为上策，抓住△PF1F2为直角三角形建立等式关系．
解答：
解：∵△POF2是面积为的正三角形，
∴S=|PF2|2=，|PF2|=2．
∴c=2，∵△PF1F2为直角三角形，∴a=，
故答案为．
点评：
本题考查了椭圆的基本量，关键抓住图形特征建立等式关系．

27．（2001•北京）椭圆x2+4y2=4长轴上一个顶点为A，以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是　　．

考点：
椭圆的简单性质；椭圆的应用。717384
专题：
计算题。
分析：
根据A是直角顶点推断直角边斜率是1和﹣1．设A是（﹣2，0）则可得一直角边方程与椭圆方程联立消去y求得交点的横坐标，进而根据直线方程求得横坐标，进而可求得一直角边的长，最后根据面积公式可得三角形的面积．
解答：
解：A是直角顶点
所以直角边斜率是1和﹣1
设A是（﹣2，0）
所以一条是y=x+2
代入椭圆
5x2+16x+12=0
（5x+6）（x+2）=0
x=﹣，x=﹣2（排除）
x=﹣，y=x+2=
所以和椭圆交点是C（﹣，）
则AC2=（﹣2+）2+（0﹣）2=
所以面积=AC2=
故答案为
点评：
本题主要考查了椭圆的简单性质．本题是研究椭圆和解三角形问题的综合题．对学生对问题的综合分析的能力要求很高．

28．椭圆C短轴的一个端点与两个焦点F1、F2构成边长为2的正三角形，P为椭圆C上一点，且|PF1|﹣|PF2|=1，则△PF1F2的面积为　　．

考点：
椭圆的简单性质；椭圆的定义。717384
专题：
计算题。
分析：
由题意能够推导出△PF1F2是直角三角形，其面积=，计算可得答案．
解答：
解：∵短轴的一个端点与两个焦点F1、F2构成边长为2的正三角形，
∴2c=2，2a=2+2=4，
∴c=1，a=2，
根据椭圆的定义得：
|PF1|+|PF2|=4，
又|PF1|﹣|PF2|=1
∴|PF1|=，|PF2|=，
∵|F1F2|=2，
∴△PF1F2是直角三角形，
其面积==．
故答案为：．
点评：
本题考查椭圆的性质，关键是判断出△PF1F2是直角三角形能够简化运算．

29．椭圆+=1上一点P到左焦点F的距离为6，则P点到左准线的距离为　10　．

考点：
椭圆的简单性质。717384
专题：
计算题。
分析：
先根据椭圆方程求得椭圆的半焦距c，进而可求得离心率，进而根据椭圆的第二定义求得点P到左准线的距离即可．
解答：
解：根据椭圆的第二定义可知P到F1的距离与其到准线的距离之比为离心率，
依题意可知a=5，b=4
∴c==3
∴e==，
∴P到椭圆左准线的距离为=10
故答案为 10．
点评：
本题主要考查了椭圆的简单性质，解题的关键是灵活利用椭圆的第二定义．

三．解答题（共1小题）
30．（2010•福建）已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

考点：
椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题。717384
专题：
计算题。
分析：
（1）先设出椭圆C的标准方程，进而根据焦点和椭圆的定义求得c和a，进而求得b，则椭圆的方程可得．
（2）先假设直线存在，设出直线方程与椭圆方程联立消去y，进而根据判别式大于0求得t的范围，进而根据直线OA与l的距离求得t，最后验证t不符合题意，则结论可得．
解答：
解：（1）依题意，可设椭圆C的方程为（a＞0，b＞0），且可知左焦点为
F（﹣2，0），从而有，解得c=2，a=4，
又a2=b2+c2，所以b2=12，故椭圆C的方程为．
（2）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=x+t，
由得3x2+3tx+t2﹣12=0，
因为直线l与椭圆有公共点，所以有△=（3t）2﹣4×3（t2﹣12）≥0，解得﹣4≤t≤4，
另一方面，由直线OA与l的距离4=，从而t=±2，
由于±2∉[﹣4，4]，所以符合题意的直线l不存在．
点评：
本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．