妙用向量思维,巧解三角形——一道解三角形题的探究.pdf

妙用向量思维,巧解三角形 一道解三角形题的探究张东起(浙江省宁波市慈湖中学 3 1 5 0 3 1)【摘要】解三角形中的顶点与对边连线的问题是一类比较常见的创新题型,其有效地融合三角函数、解三角形、平面向量以及不等式等众多的相关知识.本文结合一道解三角形的模拟考题,利用平面向量的知识进行探究拓展,以期指导数学教学与解题研究、提高学生的数学核心素养及优化思维品质.【关键词】高中数学;余弦定理;平面向量1 背景解三角形问题通常会以三角形中的顶点与对边连线巧妙设置条件,有效串联起三角函数、解三角形、平面向量以及不等式等众多的相关知识.求解此类问题时,可以从三角函数、解三角形、平面向量等多种思维角度切入,利用三角恒等变换、正(余)弦定理、平面向量数量积或基本不等式等数学工具做进一步转化,从而方便求解.2 问题呈现已知A B C的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,B A C=3,D为B C上一点,且AD=1,若B DD C=2cb,则2b+c的最小值为.分析 本题以三角形的内角大小、线段长度及线段比例为问题背景,题目简单明了,考查三角形的面积公式、诱导公式和三角函数恒等变换,可以从解三角形及平面向量等角度切入求解.3 解法探究3.1 解三角函数思维解法1 等面积法设B A D=03 ,则C A D=3-.因为AD=1,B DD C=2cb,所以SA B DSA C D=B DC D=2cb.化简得2 s i n=3 c o s,即t a n=32,故s i n=2 17,s i n3-=2 11 4.又SA B C=SA B D+SA C D,所以12b cs i n3=12cs i n+12bs i n3-,即2b+1c=7,所以2b+c=2b+c 2b+1c 1 7=1 75+2bc+2cb 175+4 =9 77.当且仅当b=c=3 77时取等号,即2b+c的最小值为9 77.3.2 解三角形思维解法2 余弦定理法B D=2a c2c+b,C D=a b2c+b,在A B C中,a2=b2+c2-2b cc o sA,则a2=b2+c2-b c.又在A B D和A C D中,c2=1+4a2c2(2c+b)2-22a c2c+bc o s AD B,b2=1+a2b2(2c+b)2-2a b2c+bc o s AD C,722 0 2 3年9月上例题精讲 数理天地 高中版化简得(2c+b)2-2b c3-5b2c2-2b3c+2a2b c=0,把代入得7b2c2=(b+2c)2,即 7b c=b+2c,2b+1c=7,后面证法同上.3.3 平面向量思维解法3 平面向量法如图1所示,以A B,A C为邻边构造平行四边形A E D F,图1因为B EE A=B DD C=2cb,所以A E=bb+2cA B,同理,A F=2cb+2cA C.又 AD=A E+A F,等号两边同时平方得AD2=A E2+A F2+2A EA F,b2(b+2c)2A B2+4c2(b+2c)2A C2+4b c(b+2c)2A BA C=1,b2c2(b+2c)2+4b2c2(b+2c)2+2b2c2(b+2c)2=1,7b2c2=(b+2c)2,7b c=b+2c,2b+1c=7.后面证法同上.4 变式拓展拓展1 根据原题的解答过程,以三角形面积的范围来设置问题,难度与原题相当.变式1 已知A B C的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,B A C=3,D为B C上一点,且AD=1,若B DD C=2cb,则A B C面积的最小值为.解 由原题的解答过程可得 7b c=b+2c,于是有b c87,当且仅当b=4 7,c=2 7时取等号.又因为SA B C=12b cs i nA2 37,故A B C面积的最小值为2 37.拓展2 改变角A的大小,问题仍为求三角形边长之和.此题以求边长的线性组合来设置问题,难度与原题相当.变式2 已知A B C的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,B A C=2 3,D为B C上一点,且AD=1,若B DD C=cb,则2b+c的最小值为.解 由AD=bb+cA B+cb+cA C,则有b2(b+c)2A B2+c2(b+c)2A C2+2b c(b+2)2A BA C=1,整理得b2c2=(b+c)2,即b c=b+c,1b+1c=1,所以2b+c=2b+c 1b+1c =3+2bc+cb3+2 2.当且仅当c=2,b=2+1时取等号.故2b+c的最小值为3+2 2.拓展3 改变线段B D与线段C D的比例关系,问题改为求边长a的最小值.此题的求解用到基本不等式知识,难度有所增加.变式3 已知A B C的三个内角A,B,C所对82 数理天地 高中版例题精讲2 0 2 3年9月上的边分别为a,b,c,B A C=3,D为B C上一点,且AD=1,若B DD C=cb,则边长a的最小值为.解 由AD=bb+cA B+cb+cA C,则有b2(b+c)2A B2+c2(b+c)2A C2+2b c(b+c)2A BA C=1,b2c2(b+c)2+b2c2(b+c)2+b2c2(b+c)2=1,整理得3b2c2=(b+c)2,即 3b c=b+c.因为b+c2 b c,所以b+c4 33,当且仅当b=c=2 33时取等号.在A B C中a2=b2+c2-2b cc o sA,则a2=(b+c)2-3b c,a2=(b+c)2-3(b+c)43.解得a2 33或a-2 33(不合题意,舍去),故a的最小值为2 33.拓展4 改变线段B D与线段C D的比例关系及AD的长度.问题改为求c o sA的最小值.此题的求解用到基本不等式知识,难度有所增加.变式4 已知A B C的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,D为B C上一点,且AD=a,若B DD C=21,则c o sA的最小值为.解 由AD=13A B+23A C,则有19A B2+49A C2+49A BA C=a2,c29+4b29+4b c9c o sA=a2,又a2=b2+c2-2b cc o sA,整理得3c2+6b2=1 1a2.因为c o sA=b2+c2-a22b c=5b2+8c22 2b c=12 25bc+8cb 2 1 01 1,当且仅当b=2 1 05c时取等号.故答案为2 1 01 1.5 结语解三角形问题涉及三角形的顶点与对边连线,求解的常见方法有:利用平面向量加法的平行四边形法则表示向量,然后通过向量的平方转化为向量模长,再结合基本不等式求解.在求解三角形问题时应在熟练掌握正(余)弦定理、三角恒等变换公式等前提下,可以利用平面向量及基本不等式选择合适的求解方法和解题技巧.参考文献:1梁治明.巧思维切入 妙角度拓展 一道解三角形题的探 究 J.中 学 数 学 教 学 参 考(下 旬),2 0 2 1(3 6):3 5-3 6.2王宏兵.常见思维切入,技巧方法归纳 一道解三角形的突破J.数学之友,2 0 2 1(0 6):7 0-7 1+7 4.数理天地2 0 2 4年杂志扩版启事 数理天地 杂志自2 0 2 2年改版以来,受到广大作者和读者的肯定和支持,因当前版面有限,无法满足日益增长的投稿需求。为更好的支持数理教育事业的发展,经研究决定2 0 2 4年由9 6页扩版到1 2 8页,我刊特此加大编辑力量的投入,组建社外审稿队伍,以更高质量更好内容回馈广大读者。922 0 2 3年9月上例题精讲 数理天地 高中版