浙江省台州市2012-2013学年高二数学下学期期末质量评估试题-理-新人教A版.doc

浙江省台州市2012-2013学年高二数学下学期期末质量评估试题 理 新人教A版
一、选择题:本大题共14小题,每小题3分,共42分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数（其中为虚数单位），则
A． B． C． D．
2．袋中共放有6个仅颜色不同的小球，其中3个红球，3个白球，每次随机任取1个球，共取2次，则下列不可作为随机变量的是
A．取到红球的次数 B．取到白球的次数
C．2次取到的红球总数 D．取球的总次数
3．某校一年级共3个班，每班从4个风景点中选择一处游览（可重复选择），则不同的选法共有
A．81种 B．64种 C．24种 D．4种
4．方程的解集为
A． B． C． D．
5．记R为实数集，为所有平面向量的集合，设,R，．则下列类比所得的结论正确的是
A．由R，类比得
B．由，类比得
C．由，类比得
D．由，类比得
6．把3个不同的小球放入2个不同的盒子中，若每个盒子均非空，则不同的放法种数为
A．4 B．6 C．8 D．10
7．已知复数（其中为虚数单位），复数的共轭复数记作，若，则在复平面内与复数对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．有3位同学参加某项测试，假设每位同学能通过测试的概率都是，且各人能否通过测试是相互独立的，则至少有二位同学能通过测试的概率为
A． B． 　　　 　C． D．
9．若(其中为自然对数的底数)，则可以是
A． B． C． D．
10．有6张卡片，其中二张为，二张为，二张为，从这6张卡片中等可能随机取出4张，则这4张中均出现的概率是
A． 　　 　 B． 　　 　C． 　　　 D．
11．一排共有个座位，现有人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为
　A．24　 　 B．36　 C．60 　　 D．72
12．已知函数，对于上的任意，则下列条件中能使恒成立是
A．　 　　 　B．
y
x
O
x=t
(第13题)
C．　　　　　　 　　D．
y
t
O
C．
y
t
O
B．
13．如图，记为轴、轴、直线、曲线所围成的曲边形的面积，则函数的导函数的图象为

y
t
O
D．
y
t
O
A．

14．若，其中，则

A． B．
C． D．
二、填空题: 本大题共6小题, 每小题3分, 共18分．
15．若复数（其中为虚数单位）是纯虚数，则实数＝　▲ ．
16．已知随机变量～,若,,则 ▲ ．
17．若展开式中二项式系数之和为128，则展开式中含项的系数是 ▲ ．
18．设函数，观察：
，
，
，
，
……
根据以上事实，由归纳推理可得：
当且时， ▲ ．
19．由0，1，2，3，4五个数字组成的四位数中，若数字可以重复，则含有奇数个2的数共有 ▲ 个．
20．已知过作函数图象的切线有三条，则实数的取值范围为 ▲ ．
三、解答题: 本大题共5小题, 共40分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．
21．(本小题满分6分)现有6本不同书，其中数学书1本，物理书1本，其它科目的书4本．按下列要求分给甲、乙、丙三人，各有多少种不同的分法？
（Ⅰ）甲得1本，乙得2本，丙得3本；
（Ⅱ）每人2本，且数学书分给甲，物理书分给乙．
22．(本小题满分7分)在数列中，，且．
（Ⅰ）求，，；
（Ⅱ）猜想的表达式，并用数学归纳法证明．

23．(本小题满分8分)已知，，，且．
（Ⅰ）当时，的展开式的第三项的系数是第二项系数的4倍，求的值；
（Ⅱ）当时，若，且对任意的整数，都有成立，求实数的取值范围．

24．(本小题满分9分)袋子共装有9个球，其中4个白球，4个黄球，1个黑球，每次从袋中取出一个球（不放回，且每球取到的机会均等），直到当袋中的白球数小于2个或黄球数小于2个时才停止取球，记随机变量表示取球的次数．
（Ⅰ）求当时的概率；
（Ⅱ）求随机变量的分布列及数学期望．

25．(本小题满分10分)已知函数，，其中为实数．
（Ⅰ）当时，求函数的极小值；
（Ⅱ）是否存在实数，使得函数与函数在区间上单调性相同？若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若对任意的实数，总存在一个与无关的实数，且，使得恒成立，求实数的取值范围．

台州市2012学年第二学期高二年级期末质量评估
数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题（每小题3分，共42分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
D
D
B
A
C
B
C
C
B
A
C
B
A
D
二、填空题(每小题3分，共18分)
15．5 16．6 17．21 18． 19．223 20．
三、解答题：
21．解：
（Ⅰ）由分步计数原理得：
所以，甲得1本，乙得2本，丙得3本共有种分法．……………………… 3分
（Ⅱ）由分步计数原理得：；
所以每人2本，且数学书分给甲，物理书分给乙共有12种分法．…………… 6分
另解：
由分步计数原理得：；
所以每人2本，且数学书分给甲，物理书分给乙共有12种分法．
22．解：
（Ⅰ）当时，解得，当时，．
得． ………………………………………………………… 3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可猜想：（）……………………………………… 4分
下面用数学归纳法证明这个猜想．
（１）当n=1或２时，猜想显然成立；
（２）假设当n=k（且）时猜想成立，即，
那么当时，，
所以，时猜想也成立．
根据（１）和（２），可知猜想对任意的都成立．…………………………分
23．解：
（Ⅰ）当， ， 所以
的展开式的第二项系数为，第三项系数为
得，又因为，所以……………………………………4分
（Ⅱ）由题意得
由得
即
即对都成立；………………………………………………6分
又因为函数在上是递增，所以，………………………7分
得或…………………………………………………………………8分
24．解：
（Ⅰ）当时，即三次都取白球，或都取黄球，则
……………………………………………………………3分
（Ⅱ）由题意得的所有可能取值为，3，4，5，6；……………………………………4分

……………………………………………………7分
所以随机变量的分布列为

3
4
5
6

所以………………………………………………………9分

25．解：
（Ⅰ）当时，………1分
当时，，函数递增；
当时，，函数递减；
当时，，函数递增；………………2分
所以当时，函数取极小值；………………………3分
（Ⅱ）由已知得，又因为，………………4分
由题意得在上恒成立，
即在上恒成立，
或在上恒成立，…………………………5分
所以实数的取值范围为．……………………………………………………6分
（Ⅲ）记，则，
，
，
所以在上单调递增，，………8分
所以只须对任意的恒成立，
即对任意的恒成立；
记函数，
由
得在上单调递减，在单调递增，
，
所以实数m的取值范围为．……………………………………10分
（其它方法请酌情给分）

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