高三数学二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题人教实验版(B)-知识精讲.doc

高三数学二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题人教实验版（B）

【本讲教育信息】
一. 教学内容：
不等式高考复习四：二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题

二、教学目的
掌握解决简单的线性规划问题的方法

三、教学重点、难点
重点：从实际问题中抽象出二元一次不等式（组），用平面区域表示二元一次不等式（组）。
难点：二元一次不等式表示平面区域的探究过程。

四、知识分析
1、判断表示的平面区域是在直线的哪一侧，方法为：
（1）当时，取原点（0，0），当原点坐标使成立时，就是含原点的区域；不成立时，就是不含原点的区域．
（2）若C＝0时，取（0，1）或（1，0），使不等式成立的就是含所取点的一侧；不成立时，是另一侧．
2、最优解可有两种确定方法：
（1）将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是最优解；
（2）利用围成可行域的直线的斜率来判断．若围成可行域的直线的斜率分别为，而且目标函数的直线的斜率为k，则当时，直线与相交的点一般是最优解．
3、利用图解法解决线性规划问题的一般步骤：
（1）作出可行解、可行域．将约束条件中的每一个不等式当作等式，作出相应的直线，并确定原不等式表示的半平面，然后求出所有半平面的交集．
（2）作出目标函数的等值线．
（3）求出最终结果．在可行域内平行移动目标函数等值线．从图中能判定问题有惟一最优解，或者是有无穷最优解，或是无最优解．

【典型例题】
【题型1】二元一次不等式（组）表示平面区域
要判断一个二元一次不等式所表示的平面区域，只需在它所对应直线的某一侧取一个特殊点，从的正负判定即可．不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．
例1. 画出下列不等式（组）表示的平面区域。
（1）；（2）
解析：（1）先画出直线（画成虚线）
取原点（0，0），代入，，
原点在表示的平面区域内，不等式表示的区域如图1所示。

（2）不等式组表示的平面区域是各不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。
不等式表示直线上及右下方的点的集合，表示直线上及右上方的点的集合，表示直线上及左方的点的集合，所以不等式组表示的平面区域如图2所示。

【题型2】求平面区域的面积
求平面区域的面积，先要画出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积．
解本题时要注意到△ABC为等腰直角三角形，点B到直线AC的距离即为△ABC的腰长|AB|，由点到直线的距离公式求得|AB|，面积便可求出．
因此在作出二元一次不等式组表示的平面区域后，要利用图形的形象直观性观察分析图形的结构特征，挖掘其隐含条件，找到解题的捷径．
例2. 求不等式组表示的平面区域的面积。
解析：不等式表示直线上及右下方的点的集合。表示直线上及右上方的点的集合。表示直线上及左方的点的集合。所以不等式组表示的平面区域如图所示。因此其区域面积也就是的面积。

显然，为等腰直角三角形，，B点坐标为（）
由点到直线的距离公式：

故不等式组表示的平面区域的面积等于36。

【题型3】求目标函数的最值
把每一个二元一次不等式所表示的平面区域在平面中准确地表示出来，然后求交集，就是不等式组所表示的平面区域，但要注意是否包括边界．求目标函数的最大值或最小值，必须先求出准确的可行域，作出目标函数的等值线，根据题意，确定取得最优解的点，从而求出最值．
例3. 已知变量满足，求的最大值和最小值。
解析：设l：，则z的几何意义是直线在y轴上的截距，显然，当直线越往上移动时，对应在y轴上的截距越大，即z越大；当直线越往下移动时，对应在y轴上的截距越小，即z越小。作一组与平行的直线系l，经上下平移，可得：当l移动到时，即过点A（5，2）时，
；当l移动到时，即过点B（1，1）时，

例4. 已知，求：
（1）的最大值；
（2）的最小值；
（3）的范围。
点拨：（1）表示直线的纵截距问题；
（2）表示距离的平方问题；
（3）表示两点连线的斜率问题。
解析：作出可行域如图，并求出顶点的坐标A（1，3）、B（3，1）、C（7，9）。

（1）易知可行域内各点均在直线的上方，
故，
将C（7，9）代入z的最大值为21。
（2）表示可行域内任一点（x,y）到定点M（0，5）的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，
故z的最小值是。
（3）表示可行域内任一点（）与定点Q（）连线的斜率的两倍，
因为，
故z的范围为。

【题型4】线性规划的应用
本例是实际生产中合理下料问题，要求得到的最优解是整数解，简称整点最优解。
解线性规划应用题的步骤：
（1）转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题。
（2）求解——解这个纯数学的线性规划问题。
求解过程：
①作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线。
②平移——将平行移动，以确定最优解所对应的点的位置。
③求值——解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值。
（3）作答——就应用题提出的问题作出回答。
例5. 某工厂制造A种仪器45台，B种仪器55台。现需用薄钢板给每台仪器配一个外壳。已知钢板有甲、乙两种规格：甲种钢板每张面积2 m2，每张可做A种仪器外壳3个和B种仪器外壳5个，乙种钢板每张面积3m2，每张可做A种仪器外壳6个和B种仪器外壳6个。问甲、乙两种矩形钢板各用多少张才能用料最省？（“用料最省”是指所用钢板的总面积最小）．
解析：方法一：设用甲种钢板x块，乙种钢板y块，
由题意 （*）

钢板总面积，适合不等式组（*）的点（）的集合如图阴影所示。
直线1：与直线2：的交点P（5，5），当直线：经过P点时S最小。
甲种钢板、乙种钢板各用5张时用料最省。
方法二：③+④：，
当且仅当时，即时取等号。

例6. 某工厂制造甲、乙两种产品，已知制造甲产品l kg要用煤9t，电力4kW，劳力（按工作日计算）3个；制造乙产品l kg要用煤4t，电力5kW，劳动力10个。又知制成甲产品l kg可获利7万元，制成乙产品l kg可获利12万元，现在此工厂只有煤360t，电力200kW，劳动力300个，在这种条件下应生产甲、乙两种产品各多少千克能获得最大经济效益？
解析：设此工厂应分别生产甲、乙产品xkg、ykg，利润z万元，则依题意可得约束条件：

利润目标函数为：。
作出可行域，作直线：，把直线向右上方平移至1位置，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时取最大值。
解方程组，得M点坐标为（20，24）。
即应生产甲种产品20t，乙种产品24t，才能使此工厂获得最大利润。

【模拟试题】
一. 选择题
1. （2006·黄冈模拟）原点O和点P（1，1）在直线的两侧，则a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
2. 取第一象限内的两点，使1、、、2依次成等差数列，1、、、2依次成等比数列，则点、与射线：的关系为（ ）
A. 点、都在直线的上方
B. 点、都在直线上
C. 点、都在下方
D. 点在的下方，点在的上方
3. （2006·滨州模拟）可行域（如图）为四边形ABCD的内部（包括边界），其中A（2，1），B（4，1），C（3，3），D（0，3），目标函数取最大值的最优解是无穷多个时，实数a的值为（ ）
A. 0 B. 2 C. 1或2 D. 0或2

4. 一批长400cm的条形钢材，需要将其截成长为518mm与698mm的两种毛坯，则钢材的最大利用率是（ ）
A. 99.75% B. 99.65% C. 94.85% D. 95.70%
5. 在中，三顶点A（2，4），B（-1，2），C（1，0），点P（x,y）在内部及边界运动，则的最大值为（ ）
A. 1 B. C. D.

二. 填空题
6. 由及围成几何图形的面积是___________。
7. 设且，则点（p,q）的活动区域是___________。

三. 解答题
8. 求下列不等式组的整数解
9. 关于x的方程的两根分别在区间（0，1）与（1，2）内，求的取值范围。
10. 某人上午7时，乘摩托艇以匀速v海里/小时（）从A港出发到距50海里的B港去，然后乘汽车以匀速W千米/小时（）自B港向距300千米的C市驶去，应该在同一天下午16时至21时到达C市，设汽车、摩托艇所用的时间分别是x，y小时。
（1）作图表示满足上述条件的的范围；
（2）如果已知所需的经费（元），那么v，W分别是多少时走得最经济？此时需花费多少元？

【试题答案】
1. C 2. C
3. D 对于目标函数，可化为，表示斜率为，在y轴上截距为z的直线，又取得最大值的最优解有无穷多个，则表示的直线必与DC重合或BC重合，即，。
4. B 5. A
6. 3
7.
8. 解析：作出直线，，

在直角坐标平面内画出满足不等式组的区域。
此三角形内的整数占（2，1），（1，0），（2，0），（1，），（2，），（3，）即为原不等式组的解。
9.
10. 解析：（1）由题意，得；
，
又由题意知
（2）由已知，得
设，则当m最大时，z最小，在图示的满足不等式组的平面区域（包括边界）且斜率为的直线中，使m值最大的直线必通过（10，4），即当时，m最小。
此时，的最小值为93元。

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