山东建筑大学量子力学某年重点.doc

量子力学试题（A）解答
1． 简答题：（20分）
（1）隧道效应
答：粒子能量小于势垒高度时，仍能贯穿势垒的现象。（4分）
（2）定态
答：体系能量具有确定值的状态，称为定态（4分）
（3）量子数为j1和j2的两个角动量耦合后的取值范围
答：j = j1+j2, j1+j2-1, j1+j2-2, ......, |j1 - j2|. （4分）
（4）偶极跃迁选择定则
答：(1) , （4分）
（5）费米子
答：凡自旋为 h 半奇数倍（s =1/2，3/2，……) 的粒子，其多粒子波函数对于交换 2 个粒子总是反对称的，遵从Fermi 统计，故称为Fermi 子。（4分）
2． 转动惯量为I的一刚性转子绕一固定轴转动，它的能量的经典表示式是，L为角动量，求该量子体系的定态能量及波函数。（15分）
解：设该固定轴沿Z轴方向，则有

哈米顿算符 （3分）
其本征方程为 (无关，属定态问题)

令 ，则 （3分）
取其解为 (可正可负可为零)
由波函数的单值性，应有
（3分）
即 ∴m= 0，±1，±2，…
转子的定态能量为 (m= 0，±1，±2，…) （3分）
可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。
定态波函数为
A为归一化常数，由归一化条件
∴ 转子的归一化波函数为

综上所述，除m=0外，能级是二重简并的。 （3分）
3. 设氢原子的电子波函数为（15分）

求氢原子能量、角动量二次方及角动量z分量和自旋z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。 [6分]
解：由波函数可得
(1)能量 w=1 4分
（2）角动量二次方
w=1 4分
（3）角动量z分量
w=1/4 ; w=3/4 3分
（4）自旋z分量
w=1/4 ; w=3/4 4分
4．在l=1的表象中，基矢为 ，，。已知 ，求的矩阵表示和它的本征值及本征函数。（22分）
解：
（3分）

（5分）
（2）的久期方程为 （2分）

∴的本征值为 （3分）
的本征方程
其中设为的本征函数共同表象中的矩阵
当时，有
∴
由归一化条件
取
对应于的本征值0 。 （3分）
当时，有
∴
由归一化条件
取 ∴归一化的对应于的本征值 （3分）
当时，有
∴
由归一化条件
取 ∴归一化的对应于的本征值 （3分）
5．有一粒子，其 Hamilton 量的矩阵形式为：H = H0 + H’， 其中

用微扰理论求能级的一级近似。（10分）
解：H0 的本征值问题是三重简并的，这是一个简并微扰问题。
由久期方程|H’ - E(1) I| = 0 得：

（5分）
得：E(1)[(E(1))2 - α2 ] = 0 解得：E(1) = 0, ±α.
故能级一级近似：

（5分）
6．慢速粒子受到势能为

场的散射，若E<U0，U0> 0，求散射截面。（10分）
解：慢速粒子能量很小只需讨论s分波，径向方程
令l=0 可得
r≤a, r>a （4分）
r=a 处有
两式相除得 （3分）
总散射截面为
（3分）
7． 当体系 Hamilton 量不含二电子自旋相互作用项时，求具有一定对称性的二电子自旋波函数。（8分）

解：
可构成4种相互独立二电子自旋波函数：

2分
由此又可构成以下具有一定对称性的二电子自旋波函数：

6分