大学物理答案3.doc

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[习题解答]
13-2　光源S1 和S2 在真空中发出的光都是波长为 l的单色光，现将它们分别放于折射率为n1 和n2的介质中，如图13-5所示。界面上一点P到两光源的距离分别为r1 和r2。
图13-5
(1)两束光的波长各为多大？
(2)两束光到达点P的相位变化各为多大？
(3)假如S1 和S2 为相干光源，并且初相位相同，求点P干涉加强和干涉减弱的条件。
解
(1)  已知光在真空中的波长为l，那么它在折射率为n的介质中的波长l¢可以表示为
,
所以，在折射率为n1和n2的介质中的波长可分别表示为
和 .
(2)光传播r的距离，所引起的相位的变化为
,
所以，第一束光到达点P相位的变化为
,
第二束光到达点P相位的变化为
.
(3)由于两光源的初相位相同，则两光相遇时的相位差是由光程差决定的，所以，点P干涉加强的条件是
,  ;
点P干涉减弱的条件是
,  .
13-3　若用两根细灯丝代替杨氏实验中的两个狭缝，能否观察到干涉条纹？为什么？
解　观察不到干涉条纹，因为它们不是相干光源。
13-4　在杨氏干涉实验中，双缝的间距为0.30 mm，以单色光照射狭缝光源，在离开双缝1.2 m处的光屏上，从中央向两侧数两个第5条暗条纹之间的间隔为22.8 mm。求所用单色光的波长。
解　在双缝干涉实验中，暗条纹满足
,
第5条暗条纹的级次为4，即，所以
,
其中。两个第5条暗条纹的间距为
,
等于22.8 mm，将此值代入上式，可解出波长为
.
13-5　在杨氏干涉实验中，双缝的间距为0.30 mm，以波长为6.0´102nm的单色光照射狭缝，求在离双缝50 cm远的光屏上，从中央向一侧数第2条与第5条暗条纹之间的距离。
解　因为第1条暗条纹对应于，所以第2条暗条纹和第5条暗条纹分别对应于和。根据双缝干涉的规律，暗条纹的位置应满足
.
所以，第2条与第5条暗条纹之间的距离为
.
13-7　在空气中垂直入射到折射率为1.40的薄膜上的白光，若使其中的紫光 (波长为400 nm)成分被薄膜的两个表面反射而发生干涉相消，问此薄膜厚度的最小值应为多大？
解　光从第一个表面反射要产生半波损失，但从第二个表面反射无半波损失，所以光程差应表示为
,
式中e为薄膜的厚度，此厚度应为最小值，干涉级次k最小应取1，因为当时，薄膜的厚度必须取零，上式才能成立。将k = 1代入上式，并从中解出薄膜厚度的最小值为
.
13-8　在空气中肥皂膜的厚度为0.32 mm，折射率为1.33。若用白光垂直照射，肥皂膜呈什么颜色？
解　反射光的颜色是由反射光干涉加强的光波波长所决定的。干涉加强的条件是
,
由此解得
 .
当时， ;
当时，;
当时， .
在以上干涉加强的光波中，l1是红外光，l3是紫外光，只有l2处于可见光范围内，且为黄光。
13-9　在观察薄膜干涉时常说使用面光源，这是为什么？能否使用点光源呢？
解　在观察薄膜干涉时，可以使用点光源。使用面光源可以增大干涉条纹的衬比度。具体分析见上面的[概念阐释]。
13-10　试分析一下等倾干涉条纹可能是什么形状？
解　因为等倾干涉图样定位于无限远处，使用透镜则呈现于透镜的焦面上。又因为等倾干涉条纹是以相同角度入射和出射的平行光在光屏上会聚点的轨迹。如果屏面与焦面重合，则干涉条纹为同心圆环。若屏面不与透镜光轴相垂直，干涉条纹的形状可能是椭圆、双曲线等圆锥截线。
13-11　两块矩形的平板玻璃叠放于桌面上，将一薄纸条从一边塞入它们之间，使两玻璃板之间形成一个劈形气隙。用钠光 (波长为589 nm)垂直照射，将观察到干涉条纹。沿垂直于劈棱的方向上每厘米有10条亮纹(或暗纹)，求劈形气隙的角度。
解　设相邻亮条纹或相邻暗条纹的间距为l，劈角为q，因为相邻亮条纹或相邻暗条纹所对应的气隙厚度差为半波长，所以下面的关系成立
.
根据已知条件，，代入上式，得
.
13-12　两块矩形的平板玻璃叠放在一起，使其一边相接触，在与此边相距20 cm处夹一直径为5.0´10-2 mm的细丝，如图13-6所示，于是便形成一劈形气隙。若用波长为589 nm的钠光垂直照射，劈形气隙表面出现干涉条纹，求相邻暗条纹之间的间距。
解　设相邻亮条纹或相邻暗条纹的间距为l，劈角为q，下面的关系成立
图13-6
.
所以
.
13-13　若用波长为589 nm的钠光观察牛顿环，发现k级暗环的半径为2.0´10-3 m，而其外侧第5个暗环的半径为3.0´10-3 m。求透镜凸面的曲率半径和k的值。
解　第k个暗环的半径为
 ,  (1)
当时，为中心的暗点，当时，为第1条暗环，等等。第k个暗环之外的第5个暗环，对应于，其半径为
(2)
将以上两式平方后相除，得
,
将数值代入并求出k值，得
,
 .
将k值代入式(1)，可求得透镜凸面的曲率半径，为
.
13-14　 一平凸透镜的凸面曲率半径为1.2 m，将凸面朝下放在平玻璃板上，用波长为650 nm的红光观察牛顿环。求第三条暗环的直径。
解　第3条暗环对应的k值为3，其半径为
 ,
所以，第3条暗环的直径为。
13-15　在单缝夫琅禾费衍射中，单缝宽度a = 1.0´10-4 m，透镜焦距f = 50 cm。分别用l1 = 400 nm和l2= 760 nm的单色平行光垂直入射，问中央亮条纹的宽度分别为多大？
解　两个第一暗条纹中心的距离，就是中央亮条纹的宽度。而第一暗条纹的衍射角j0，就是中央亮条纹的半角宽度，即角宽度的一半。根据式(13-51)
,
对应于两种波长l1和l2，中央亮条纹的宽度分别为
;
.
13-16　单缝被氦氖激光器产生的激光 (波长为632.8 nm)垂直照射，所得夫琅禾费衍射图样的第一级暗条纹对单缝法线的夹角为5°，求单缝的宽度。
解　第1级暗条纹对单缝法线的夹角，就是第1级暗条纹的衍射角j0，并且根据衍射的规律有
 .
所以，可以求得单缝的宽度为
.
13-17　一束波长为600 nm的平行光垂直照射到透射平面衍射光栅上，在与光栅法线成45° 角的方向上观察到该光的第二级谱线。 问该光栅每毫米有多少刻痕？
解　根据光栅方程
,
式中j= 45°、k = 2，于是可求得光栅常量为
,
所以，该光栅每毫米的刻痕数为
.
13-18　可见光的波长范围大约从400 nm到760 nm，将这个范围的可见光垂直入射到每厘米有6000条刻痕的平面光栅上，求第一级可见光谱的角宽度。
解　在光栅方程

中，取k = 1，j就是波长为l的光的衍射角。分别求出波长为400 nm和760 nm的衍射角j1和j2，两者之差就是第一级可见光谱的角宽度。这从教材第500页的图13-25中可以看得很清楚。
,
 ;
,
 .
所以，第一级可见光谱的角宽度为
 .
13-19　有一透射平面光栅每毫米有500条刻痕，并且刻痕间距是刻痕宽度的两倍。若用波长为600 nm的平行光垂直照射该光栅，问最多能观察到几条亮条纹？并求出每一条亮条纹的衍射角。
解　根据已知条件可以求得光栅常量
m .
由光栅方程，得
,
于是求得
,
取整数，为
.
这表示，在无限大的光屏上可能出现k值为0、±1、±2和±3的七条亮条纹。
但是由于缺级现象，有些亮条纹消失了。由于刻痕间距(a)是刻痕宽度(b)的两倍，所以
.
消失的亮条纹的k值为
 , 
当时，，这表示，在光屏上消失的亮条纹的级次为。这样，出现在无限大光屏上的亮条纹只有5条，它们的级次分别是。
根据光栅方程，可以求得各亮条纹的衍射角：
的亮条纹
, ;
的亮条纹
,j1 = ± 17°28¢ ;
的亮条纹
,j2= ± 36°52¢ .
图13-7
13-20　波长为0.296 nm的X射线投射到一块晶体上，产生的第一级衍射线偏离入射线方向为31.7°，求相应于此衍射线的晶面间距。
解　晶面、入射方向、衍射方向以及晶面法线之间的关系，如图13-7所示。由图可见，X射线的掠射角q= 31.7° / 2 = 15°51¢。根据布拉格公式
,
取，则有
.
13-21　有一直径为5.0 cm、焦距为25 cm的会聚透镜，用波长为550 nm的光观察远处的两个物点，刚好能分辨。问这两个物点在透镜焦面上中央亮斑的中心相距多远？
解　既然两个物点刚好能分辨，那么它们对透镜中心的张角，就是最小分辨角q0，并可以表示为
.
在透镜焦面上这两个物点的中央亮斑的中心间距为
.
13-22　设人眼瞳孔的直径为3.0 mm，对于可见光中波长为6.0 ´10-7 m的光，试求：
(1)人眼的最小分辨角；
(2)在明视距离25 cm处人眼能分辨的最小距离。
解
(1)人眼的最小分辨角
.
(2)在明视距离25 cm处人眼能分辨的最小距离为
.
13-25　水的折射率为1.33，玻璃的折射率为1.50。当光由水中射向玻璃而被界面反射时，起偏角为多大？当光由玻璃中射向水而被界面反射时，起偏角又为多大？
解　设水的折射率为n1 (= 1.33 )，玻璃的折射率为n2(= 1.50 )。光由水射向玻璃的起偏角i0 为
, ;
光由玻璃射向水的起偏角i0¢为
,  .
13-26　两偏振片的透振方向成30°角，透射光强度为I1 。若入射光不变而使两偏振片的透振方向之间的夹角变为45°角，求透射光的强度。
解　设透过第一个偏振片的光强为I0 ，当两个偏振片的透振方向成a = 30°角时，透过第二个偏振片的光强为I1 ，并有下面的关系
,
所以
 .
当两个偏振片的透振方向夹角变为a2= 45°时，透射光强I2为
 .
13-27　两偏振片A和B放置在使光完全不能透过的相对位置上，现在A、B之间插入第三块偏振片C，光就能部分地通过，并当C旋转时，透射光的强度也随着变化。设透过偏振片A的光强度为I0 ，求当偏振片A和C的透振方向夹角为a时透射光的强度。
解　根据题意，只有当A与B的透振方向互相垂直时，光才完全不能通过。所以，当C与A成a角时，C与B必成(90°-a )角。由马吕斯定律，透过C的光强为
,
式中I0 为透过A的光强。透过B的光强为
.
13-28　两偏振片A和B的透振方向成45°角，强度为I0的入射光是线偏振光，且振动方向与偏振片A的透振方向相平行。分别求入射光沿从A至B的方向和沿从B至A的方向透过两个偏振片后的光强。
解
(1)当入射光沿A®B的方向通过A和B时：因为入射光的振动方向与A的透振方向平行，而与B的透振方向成45°角，所以光通过A后强度不变，通过B后的光强为
;
(2)当入射光沿B ® A的方向通过B和A时：入射光通过B后的光强为
 .
强度为I¢的光的振动方向与B的透振方向一致，而与A的透振方向成45°角，所以通过A后的光强为
.
13-29　如何将自然光转变为椭圆偏振光和圆偏振光？椭圆偏振光和圆偏振光各在什么情况下转变为线偏振光？
解　自然光通过起偏器变为线偏振光，线偏振光垂直入射至1/4波片，出射光便是椭圆偏振光；当线偏振光垂直入射至1/4波片时，且使其振动方向与1/4波片的光轴成45°时，出射光便是圆偏振光。
圆偏振光垂直入射至1/4波片后，出射光变为线偏振光；椭圆偏振光垂直入射至1/4波片时，且使椭圆的主轴与波片的光轴相平行，则出射光为线偏振光。
13-30　在一对正交的偏振片之间放一块1/4波片，用自然光入射。
(1)转动1/4波片光轴方向，出射光的强度怎样变化？
(2)如果有强度极大和消光现象，那么1/4波片的光轴应处于什么方向？这时从1/4波片射出的光的偏振状态如何？
解
(1)转动1/4波片光轴方向出射光强度的变化情形：
a)当1/4波片转至其光轴与第一个偏振片的透振方向相平行时，从1/4波片出射的光是振动方向与光轴同方向的线偏振光，不能通过第二个偏振片，故产生消光现象；
b)当1/4波片转至其光轴与第一个偏振片的透振方向有一夹角a时，从1/4波片出射的光是以其光轴为主轴的椭圆偏振光，当a角很小时，通过第二个偏振片的光强也很小；
c)随着a的增大，通过第二个偏振片的光强增加，当a= 45°时，从1/4波片出射的光是圆偏振光，通过第二个偏振片的光强达到最大值；
d)随着a的继续增大，通过第二个偏振片的光强又逐渐减小；
e)当1/4波片转至其光轴与第二个偏振片的透振方向相平行时，从1/4波片出射的光为垂直于光轴的线偏振光，则不能通过第二个偏振片，所以再次出现消光现象。
f)以后继续转动1/4波片所出现的现象，重复上面的过程。
(2)光强极大对应于1/4波片的光轴与两个偏振片的透振方向都成45°的位置，这时从1/4波片射出的光是圆偏振光。
出现消光现象时，1/4波片的光轴应处在两个位置上，即分别平行于两个偏振片的透振方向。当1/4波片的光轴与第一个偏振片的透振方向相平行时，从1/4波片射出的光是线偏振光，其振动方向平行于1/4波片的光轴，而与第二个偏振片的透振方向相垂直；当1/4波片的光轴与第二个偏振片的透振方向相平行时，即1/4波片的光轴与第一个偏振片的透振方向相垂直，从1/4波片射出的光是线偏振光，其振动方向垂直于1/4波片的光轴，也与第二个偏振片的透振方向相垂直。
13-31　椭圆偏振光通过1/4波片，在一般情况下仍然为椭圆偏振光，对此应如何解释？
解　椭圆偏振光可以看成是两个互相垂直的线偏振光的合成，这两个互相垂直的线偏振光可以表示为
,
式中f是不为0和 ±p的任意角。当椭圆偏振光通过1/4波片后，这两个互相垂直的线偏振光都要分解为平行于光轴和垂直于光轴的两个线偏振光，并且这两个线偏振光存在p /2的相位差。于是就得到了四个线偏振光，其中两个平行于光轴方向振动，它们之间存在f的相位差，另外两光垂直于光轴方向振动，它们之间也存在f的相位差。无论平行于光轴方向的两个振动的合成，还是垂直于光轴方向的两个振动的合成，都属于同一直线上的两个同频率振动的合成。最后仍然得到振动方向分别平行于光轴和垂直于光轴的两个线偏振光，不过它们之间的相位差一般不再是p /2，还与每个方向的合成结果有关，一般情况下是不为0和 ±p的任意角，故仍为椭圆偏振光。
若光轴平行于椭圆偏振光

的主轴，则两个互相垂直的线偏振光相位差变为p /2，通过1/4波片后成为线偏振光。
13-32　将石英晶片放置在透振方向互相平行的两偏振片之间，波长为435.8 nm的蓝光正好不能通过。已知石英对此波长蓝光的旋光率为41.5°mm-1 ，求石英片的厚度。
解　根据题意，石英晶片使光的偏振面旋转了q = 90°，代入公式
,
即可求得石英片的厚度，为
.
13-33　某种物质的吸收系数为a = 3.1´10-3 m-1 ，求透射光强分别为入射光强的0.2、0.4、0.6和0.8时物质的厚度。
解　根据朗伯定律
,
可以推得
,
.
当透射光强之比为0.2时，代入上式可求得物质的厚度为
.
同样可以求得
;
 ;
 .
13-34　某光学玻璃在可见光范围内为正常色散，对波长为435.8 nm的蓝光和波长为546.1 nm的绿光的折射率分别为1.65250和1.62450。试确定科希公式中的常数A和B，并计算此光学玻璃对波长为589.3 nm的钠黄光的折射率和色散率。
解　科希公式可以表示为
 ,
将蓝光和绿光的波长及相应的折射率代入上式，可得到两个方程式
;
.
两式联立可以解得
 ,
 .
将A、B和钠黄光的波长代入科希公式，可求得此光学玻璃对钠黄光的折射率，为
;
色散率为
 .
13-36　在一根长为32 cm的玻璃管内盛有含烟雾的气体，某波长的光通过后强度为入射光的56%，若将烟雾除去，透射光的强度为入射光的88%。如果烟雾对该波长的光只散射无吸收，而气体却只吸收无散射，试计算含烟雾气体的吸收系数和散射系数。
解　设入射光的强度为I0，该光通过含烟雾的气体后的光强为I，该光通过无烟雾气体后的光强为I¢。根据散射和吸收的规律可以列出下面的两个方程式
; (1)
.(2)
两式联立可解得气体的吸收系数，为
;
气体的散射系数为
.