资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．若，则的值为（ ）
A．0 B．5 C．-5 D．-10
2．如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是的中点，则下列结论：①OC∥AE；②EC＝BC；③∠DAE＝∠ABE；④AC⊥OE，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．关于的一元二次方程有一个根是﹣1，若二次函数的图象的顶点在第一象限，设，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在△ABC中，点D在AB上、点E在AC上，若∠A=60°，∠B=68°，AD·AB=AE·AC，则∠ADE等于
A．52° B．62° C．68° D．72°
5．关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
6．下列图像中，当时，函数与的图象时（ ）
A． B． C． D．
7．一元二次方程的解的情况是（ ）
A．无解 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．只有一个解
8．把两条宽度都为的纸条交叉重叠放在一起，且它们的交角为，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为（ ）．
A． B．
C． D．
9．x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax﹣2b＝0的解，则2a﹣4b的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
10．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD＝∠BDC＝90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F，若BC＝4，∠CBD＝30°，则AE的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．若A（-2，a），B（1，b），C（2，c）为二次函数的图象上的三点，则a，b，c的大小关系是__________________．(用“<”连接)
12．如图，把置于平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P是内切圆的圆心．将沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为，…，依此规律，第2019次滚动后，内切圆的圆心的坐标是________．
13．如图，在中，，若，则__________．
14．经过点（1，﹣4）的反比例函数的解析式是_____．
15．已知二次函数（为常数），当取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当取四个不同数值时此二次函数的图象．发现它们的顶点在同一条直线上，那么这条直线的表达式是_________．
16．如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为6cm，则该莱洛三角形的周长为_____cm．
17．已知二次函数y=-x2+2x+5，当x________时，y随x的增大而增大
18．如果抛物线y＝（k﹣2）x2+k的开口向上，那么k的取值范围是_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，AB=3AC，BD=3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．求证：△ABD∽△CAE
20．（6分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)．
（1）请画出关于原点对称的；
（2）在轴上求作一点，使的周长最小，请画出，并直接写出的坐标．
21．（6分）如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A（－1，0），与y轴交于点B（0，2），直线y＝x－1与y轴交于点C，与x轴交于点D，点P是线段CD上方的抛物线上一动点，过点P作PF垂直x轴于点F，交直线CD于点E，
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P的横坐标为m，当线段PE的长取最大值时，解答以下问题．
①求此时m的值．
②设Q是平面直角坐标系内一点，是否存在以P、Q、C、D为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（8分）数学兴趣小组想利用所学的知识了解某广告牌的高度，已知CD＝2m．经测量，得到其它数据如图所示．其中∠CAH＝37°，∠DBH＝67°，AB＝10m，请你根据以上数据计算GH的长．（参考数据，，）
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线与函数的图象交于，两点，且点的坐标为．
（1）求的值；
（2）已知点，过点作平行于轴的直线，交直线于点，交函数的图象于点．
①当时，求线段的长；
②若，结合函数的图象，直接写出的取值范围．
24．（8分）如图，二次函数的图像经过，两点.
（1）求该函数的解析式；
（2）若该二次函数图像与轴交于、两点，求的面积；
（3）若点在二次函数图像的对称轴上，当周长最短时，求点的坐标.
25．（10分）如图所示，在中，，，，点由点出发沿方向向点匀速运动，同时点由点出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动时间为．
（1）当为何值时，？
（2）设的面积为，求与的函数关系式，并求出当为何值时，取得最大值？的最大值是多少？
26．（10分）已知：反比例函数和一次函数，且一次函数的图象经过点．
（1）试求反比例函数的解析式；
（2）若点在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点的坐标．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】将转换成的形式，再代入求解即可．
【详解】
将代入原式中
原式
故答案为：C．
【点睛】
本题考查了代数式的运算问题，掌握代入法是解题的关键．
2、C
【分析】由C为弧EB中点，利用垂径定理的逆定理得到OC垂直于BE，根据等弧对等弦得到BC=EC，再由AB为直角，利用圆周角定理得到AE垂直于BE，进而得到一对直角相等，利用同位角相等两直线平行得到OC与AE平行，由AD为圆的切线，利用切线的性质得到AB与DA垂直，利用同角的余角相等得到∠DAE=∠ABE，根据E不一定为弧AC中点，可得出AC与OE不一定垂直，即可确定出结论成立的序号．
【详解】解：∵C为的中点，即，
∴OC⊥BE，BC＝EC，选项②正确；
设AE与CO交于F，∴∠BFO＝90°，
∵AB为圆O的直径，
∴AE⊥BE，即∠BEA＝90°，
∴∠BFO＝∠BEA，
∴OC∥AE，选项①正确；
∵AD为圆的切线，
∴∠DAB＝90°，即∠DAE+∠EAB＝90°，
∵∠EAB+∠ABE＝90°，
∴∠DAE＝∠ABE，选项③正确；
点E不一定为中点，故E不一定是中点，选项④错误，
则结论成立的是①②③，
故选：C．
【点睛】
此题考查了切线的性质，圆周角定理，平行线的判定，以及垂径定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
3、D
【分析】二次函数的图象过点，则，而，则，，二次函数的图象的顶点在第一象限，则，，即可求解．
【详解】∵关于的一元二次方程有一个根是﹣1，
∴二次函数的图象过点，
∴，
∴，，
则，，
∵二次函数的图象的顶点在第一象限，
∴，，
将，代入上式得：
，解得：，
，解得：或，
故：，
故选D．
【点睛】
主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用
4、A
【分析】先证明△ADE∽△ACB，根据对应角相等即可求解.
【详解】∵AD·AB=AE·AC，
∴,又∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴∠ADE=∠C=180°-∠A-∠B=52°，
故选A.
【点睛】
此题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理.
5、A
【解析】计算出方程的判别式为△＝m2+4，可知其大于0，可判断出方程根的情况．
【详解】方程x2+mx﹣1＝0的判别式为△＝m2+4＞0，所以该方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查根的判别式，解题的关键是求出方程根的判别式进行判断.
6、D
【分析】根据直线直线y=ax+b经过的象限得到a＞0，b＜0，与ab＞0矛盾，则可对A进行判断；根据抛物线y=ax2开口向上得到a＞0，而由直线y=ax+b经过第二、四象限得到a＜0，由此可对B进行判断；根据抛物线y=ax2开口向下得到a＜0，而由直线y=ax+b经过第一、三象限得到a＞0，由此可对C进行判断；根据抛物线y=ax2开口向下得到a＜0，则直线y=ax+b经过第二、四象限，并且b＜0，得到直线与y轴的交点在x轴下方，由此可对D进行判断．
【详解】解：A、对于直线y=ax+b，得a＞0，b＜0，与ab＞0矛盾，所以A选项错误；
B、由抛物线y=ax2开口向上得到a＞0，而由直线y=ax+b经过第二、四象限得到a＜0，所以B选项错误；
C、由抛物线y=ax2开口向下得到a＜0，而由直线y=ax+b经过第一、三象限得到a＞0，所以C选项错误；
D、由抛物线y=ax2开口向下得到a＜0，则直线y=ax+b经过第二、四象限，由于ab＞0，则b＜0，所以直线与y轴的交点在x轴下方，所以D选项正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一次函数和二次函数的图像与性质，掌握函数的性质，从而判断图像是解题的基础．
7、B
【分析】求出判别式的值即可得到答案.
【详解】∵2-4ac=9-（-4）=13，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：B.
【点睛】
此题考查一元二次方程的根的判别式，熟记判别式的计算方法及结果的三种情况是解题的关键.
8、A
【分析】如图，过A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，垂足为E，F，证明△ABE≌△ADF，从而证明四边形ABCD是菱形，再利用三角函数算出BC的长，最后根据菱形的面积公式算出重叠部分的面积即可．
【详解】解：如图所示：过A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，垂足为E，F，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
∵AD∥CB，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵纸条宽度都为1，
∴AE=AF=1，
在△ABE和△ADF中
，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形．
∴BC=AB，
∵=sinα，
∴BC=AB=，
∴重叠部分（图中阴影部分）的面积为：BC×AE=1×=．
故选：A．
【点睛】
本题考查菱形的判定与性质，以及三角函数的应用，关键是证明四边形ABCD是菱形，利用三角函数求出BC的长．
9、A
【分析】先把x=1代入方程x2+ax-2b=0得a-2b=-1，然后利用整体代入的方法计算2a-4b的值即可．
【详解】将x＝1代入原方程可得：1+a﹣2b＝0，
∴a﹣2b＝﹣1，
∴原式＝2（a﹣2b）＝﹣2，
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
10、D
【分析】如图，作EH⊥AB于H，利用∠CBD的余弦可求出BD的长，利用∠ABD的余弦可求出AB的长，利用∠EBH的正弦和余弦可求出BH、HE的长，即可求出AH的长，利用勾股定理求出AE的长即可．
【详解】如图，作EH⊥AB于H，
在Rt△BDC中，BC＝4，∠CBD＝30°，
∴BD＝BC·cos30°=2，
∵BD平分∠ABC，∠CBD＝30°，
∴∠ABD=30°，∠EBH=60°，
在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，BD＝2，
∴AB＝BD·cos30°=3，
∵点E为BC中点，
∴BE＝EC＝2，
在Rt△BEH中，BH＝BE·cos∠EBH＝1，HE＝EH·sin∠EBH＝，
∴AH=AB-BH=2，
在Rt△AEH中，AE＝＝，
故选：D．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，正确作出辅助线构建直角三角形并熟记三角函数的定义是解题关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、a＜b＜c
【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据点到对称轴的距离远近即可解答.
【详解】由二次函数的解析式可知，对称轴为直线x=-1，且图象开口向上，
∴点离对称轴距离越远函数值越大，
∵-1-（-2）=1，
1-（-1）=2，
2-（-1）=3，
∴a＜b＜c，
故答案为：a＜b＜c.
【点睛】
此题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的顶点式以及图象上点的坐标特征是解答的关键.
12、
【分析】由勾股定理得出AB＝，求出Rt△OAB内切圆的半径＝1，因此P的坐标为（1，1），由题意得出P3的坐标（3＋5＋4＋1，1），得出规律：每滚动3次为一个循环，由2019÷3＝673，即可得出结果．
【详解】解：∵点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（3，0），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝，
∴Rt△OAB内切圆的半径＝，
∴P的坐标为（1，1），
∵将Rt△OAB沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后圆心为P1，第二次滚动后圆心为P2，…，
∴P3（3＋5＋4＋1，1），即（13，1），每滚动3次为一个循环，
∵2019÷3＝673，
∴第2019次滚动后，Rt△OAB内切圆的圆心P2019的横坐标是673×（3＋5＋4）＋1，即P2019的横坐标是8077，
∴P2019的坐标是（8077，1）；
故答案为：（8077，1）．
【点睛】
本题考查了三角形的内切圆与内心、勾股定理、坐标类规律探索等知识；根据题意得出规律是解题的关键．
13、6
【分析】先根据平行四边形的性质证得△BEG∽△FAG，从而可得相似比，然后根据同高的两个三角形的面积等于底边之比可求得，根据相似三角形的性质可求得，进而可得答案.
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴△BEG∽△FAG，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴.
故答案为：6.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及三角形的面积等知识，属于常考题型，熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键.
14、﹣
【分析】直接利用反比例函数的性质得出解析式．
【详解】∵反比例函数经过点（1，﹣4），
∴xy＝﹣4，
∴反比例函数的解析式是：y＝﹣．
故答案为：y＝﹣．
【点睛】
本题考查的是反比例函数的性质，是近几年中考的热点问题，要熟练掌握.
15、
【分析】已知抛物线的顶点式，写出顶点坐标，用x、y代表顶点的横坐标、纵坐标，消去a得出x、y的关系式．
【详解】解：二次函数中，顶点坐标为：，
设顶点坐标为（x，y），
∴①，②，
由①2+②，得，
∴；
故答案为：.
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，根据顶点式求顶点坐标的方法是解题的关键，注意运用消元的思想解题．
16、6π
【分析】直接利用弧长公式计算即可.
【详解】利用弧长公式计算：该莱洛三角形的周长（cm）
故答案为6π
【点睛】
本题考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题关键.
17、x<1
【分析】把二次函数解析式化为顶点式，可求得其开口方向及对称轴，利用二次函数的增减性可求得答案．
【详解】解：∵y=-x2+2x+5=-（x-1）2+6，
∴抛物线开口向下，对称轴为x=1，
∴当x＜1时，y随x的增大而增大，
故答案为：＜1．
【点睛】
此题考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．
18、k＞2
【解析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向上时，二次项系数k﹣2＞1．
【详解】因为抛物线y＝（k﹣2）x2＋k的开口向上，
所以k﹣2＞1，即k＞2，
故答案为k＞2.
【点睛】
本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．
三、解答题(共66分)
19、见解析
【分析】根据已知条件，易证得AB：AC和BD：AE的值相等，由BD∥AC，得∠EAC=∠B；由此可根据SAS判定两个三角形相似．
【详解】证明：∵，
∴
∵
∴
∴．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
20、（1）答案见解析；（2）作图见解析，P坐标为(2，0)
【分析】（1）根据网格结构找出点、、关于原点的对称点、、的位置，然后顺次连接即可；
（2）找出点关于轴的对称点，连接与轴相交于一点，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的点的位置，然后连接、并根据图象写出点的坐标即可．
【详解】解：（1）△如图所示；
（2）作点A(1，1)关于x轴的对应点，连接交x轴于点P，则点P为所求的点，连接△APB，则△APB为所求的三角形．
此时点P坐标为(2，0)
【点睛】
本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，轴对称确定最短路线问题，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
21、（1）y＝﹣x1+x+1；（1）①m＝；②存在以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为
【分析】（1）由题意利用待定系数法，即可求出抛物线的解析式；
（1）①由题意分别用含m的代数式表示出点P，E的纵坐标，再用含m的代数式表示出PE的长，运用函数的思想即可求出其最大值；
②根据题意对以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形分三种情况进行讨论与分析求解.
【详解】解：（1）将A（﹣1，0），B（0，1）代入y＝﹣x1+bx+c，得：
，解得：b=1,c=1
∴抛物线的解析式为y＝﹣x1+x+1．
（1）①∵直线y＝ x-1与y轴交于点C，与x轴交于点D，
∴点C的坐标为（0，-1），点D的坐标为（1，0），
∴0＜m＜1．
∵点P的横坐标为m，
∴点P的坐标为（m，﹣m1+m+1），点E的坐标为（m， m+3），
∴PE＝﹣m1+m+1﹣（ m+3）＝﹣m1+m+3＝﹣（m﹣）1+．
∵﹣1＜0，0＜＜1，
∴当m＝时，PE最长．
②由①可知，点P的坐标为（，）．
以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形分三种情况（如图所示）：
①以PD为对角线，点Q的坐标为；
②以PC为对角线，点Q的坐标为；
③以CD为对角线，点Q的坐标为．
综上所述：在（1）的情况下，存在以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为.
【点睛】
本题考查二次函数图像的综合问题，解题关键是熟练掌握待定系数法求解析式、函数的思想求最大值以及平行四边形的性质及平移规律等知识．
22、GH的长为10m
【分析】首先构造直角三角形，设DE=xm，则CE=（x+2）m，由三角函数得出AE和BE，由AE=BE=AB得出方程，解方程求出DE，即可得出GH的长
【详解】解：延长CD交AH于点E，则CE⊥AH，如图所示．
设DE＝xm，则CE＝（x+2）m，
在Rt△AEC和Rt△BED中，tan37°＝ ，tan67°＝，
∴AE＝ ，BE＝．
∵AE﹣BE＝AB，
∴﹣＝10，即＝10，
解得：x＝8，
∴DE＝8m，
∴GH＝CE＝CD+DE＝2m+8m＝10m．
答：GH的长为10m．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，解题关键在于作出点E
23、（1）；（2）①；②或
【分析】（1）先把点A代入一次函数得到a的值，再把点A代入反比例函数，即可求出k；
（2）①根据题意，先求出m的值，然后求出点C、D的坐标，即可求出CD的长度；
②根据题意，当PC=PD时，点C、D恰好与点A、B重合，然后求出点B的坐标，结合函数图像，即可得到m的取值范围.
【详解】解：（1）把代入，得，
∴点A为（1，3），
把代入，得；
（2）当时，点P为（2，0），如图：
把代入直线，得：，
∴点C坐标为（2，4），
把代入，得：，
∴；
②根据题意，当PC=PD时，点C、D恰好与点A、B重合，如图，
∵，解得：或（即点A），
∴点B的坐标为（），
由图像可知，当时，有
点P在的左边，或点P在的右边取到，
∴或.
【点睛】
本题考查了反比例函数的图像和性质，一次函数的图像和性质，解题的关键是掌握反比例函数与一次函数的联系，熟练利用数形结合的思想进行解题.
24、（1）；（2）6；（3）
【解析】（1）将M,N两点代入求出b,c值，即可确定表达式；
（2）令y=0求x的值，即可确定A、B两点的坐标，求线段AB长，由三角形面积公式求解.
（3）求出抛物线的对称轴，确定M关于对称轴的对称点G的坐标，直线NG与对称轴的交点即为所求P点，利用一次函数求出P点坐标.
【详解】解：将点，代入中得，
，
解得，，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）如图，当y=0时，，
∴x1=3,x2= -1,
∴A(-1,0),B(3,0),
∴AB=4,
∴S△ABM= .
即的面积是6.
（3）如图，抛物线的对称轴为直线 ，
点关于直线x=1的对称点坐标为G(2，3),
∴PM=PG,
连MG交抛物线对称轴于点P，此时NP+PM=NP+PG最小，即周长最短.
设直线NG的表达式为y=mx+n,
将N(-2,-5),G(2,3)代入得，
，
解得， ，
∴y=2m-1,
∴P点坐标为(1,1).
【点睛】
本题考查抛物线与图形的综合题，涉及待定系数法求解析式，图象的交点问题，利用对称性解决线段和的最小值问题，利用函数观点解决图形问题是解答此题的关键.
如图，二次函数y=-x²+bx+c的图像经过M(0,3)，N(-2,-5)两点.
25、（1）（2）S＝−（t−）2＋， t＝，S有最大值，最大值为．
【分析】（1）利用分线段成比例定理构建方程即可解决问题．
（2）构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．
【详解】（1）∵PQ⊥AC，
∴∠AQP＝∠C＝90°，
∴PQ∥BC，
∴，
在Rt△ACB中，AB＝
∴，
解得t＝，
∴t为时，PQ⊥AC．
（2）如图，作PH⊥AC于H．
∵PH∥BC，
∴，
∴，
∴PH＝（5−t），
∴S＝•AQ•PH＝×t×（5−t）＝−t2＋t＝−（t−）2＋，
∵−＜0，
∴t＝，S有最大值，最大值为．
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例定理，二次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
26、（1）；（2）．
【分析】（1）将点代入中即可求出k的值，求得反比例函数的解析式；
（2）根据题意列出方程组，根据点在第一象限解出方程组即可．
【详解】（1）一次函数的图象经过点
反比例函数的解析式为
（2）由已知可得方程组
，
解得或
经检验，当或时，，所以方程组的解为或
∵点在第一象限
∴
【点睛】
本题考查了一次函数和反比例函数的问题，掌握一次函数和反比例函数的性质、解二元一次方程组的方法是解题的关键．
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