七年级数学上册——线段上的动点问题四种考法全梳理.docx

线段上的动点问题的四种考法全梳理目录【考法一、线段定值问题】1【考法二、求点的运动时间】10【考法三、线段之间数量关系】16【考法四、求线段】21【课后练习】28【考法一、线段定值问题】例1如图，已知数轴上点 A 表示的数为 8，B 是数轴上一点，且 动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒(1)写出数轴上点 B 表示的数_，点P表示的数_（用含t的代数式表示）；(2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？(3)若 M为的中点，N为的中点：点P在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长例2如图，点是定长线段上一点，、两点分别从点、出发以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上）（1）若点、运动到任一时刻时，总有，请说明点在线段上的位置；（2）在（1）的条件下，点是直线上一点，且，求的值；（3）在（1）的条件下，若点、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），点、分别是、的中点，下列结论：的值不变；的值不变可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值变式1【感悟体验】如图，三点在同一直线上，点在线段的延长线上，且，请仅用一把圆规在图中确定点的位置【认识概念】在同一直线上依次有四点，且，那么称与互为“对称线段”，其中为的“对称线段”，亦为的“对称线段”如图，下列情形中与互为“对称线段”的是 （直接填序号）；【运用概念】如图，与互为“对称线段”，点为的中点，点为的中点，且（1）若，求的长；（2）若，求的长；【拓展提升】如图，在同一直线上依次有四点，且（为常数），点为的中点，点在上且是否存在的值使得的长为定值？若存在，请求出的值以及这个定值（用含的代数式表示）；若不存在，请说明理由变式2已知，和分别为线段，的中点（1）若重合，在线段上，如图1，求的长度；（2）如果将图1的线段沿着向右平移个单位，求的长度与的数量关系；当为多少的时，的长度为9；（3）如果保持长度和位置不变，点保持图1的位置不变，改变的长度，将点沿着直线向右移动个单位，其余条件不变，请问以上两个式子哪一个式子的值是定值，定值是多少？变式3已知：如图，一条直线上依次有A、B、C三点（1）若BC60，AC3AB，求AB的长；（2）若点D是射线CB上一点，点M为BD的中点，点N为CD的中点，求的值；（3）当点P在线段BC的延长线上运动时，点E是AP中点，点F是BC中点，下列结论中：是定值；是定值其中只有一个结论是正确的，请选择正确结论并求出其值【考法二、求点的运动时间】例定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点，如图1，点C在线段上，且，则点C是线段的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个，依此类推，一条线段的四等分点有三个 (1)已知：如图2，点P是的三等分点，直接写出_；(2)已知，线段，如图3，点P从点A出发以每秒的速度在射线上向点B方向运动；点Q从点B出发，先向点A方向运动，当与点P重合后立马改变方向与点P同向而行且速度始终为每秒，设运动时间为t秒若点P、点Q同时出发，且当时，求t的值；若点P、点Q同时出发，且当点P是线段的四等分点时，直接写出t的值为_变式1已知线段，点、点都是线段上的点(1)如图1，若点为的中点，点为的中点，求线段的长；(2)若，点是线段的中点，点是线段的中点，请自己作图并求的长；(3)如图3，若，点，分别从、出发向点运动，运动速度分别为每秒移动1个单位和每秒移动4个单位，设运动时间为秒，点为的中点，点为的中点，若，求的值【答案】(1)线段的长为30；(2)的长为25或35；(3)或【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及线段中点的性质（1）由即可求出答案；（2）分两种情况讨论，点在点的左侧或点在点的右侧，结合图形，列式可求出答案；（3）可得，则或，由可得方程，解方程即可得出答案【详解】（1）解：M为的中点，N为的中点，；（2）解：如图，点在点的左侧，点是线段的中点，点是线段的中点，；如图，点在点的右侧，点是线段的中点，点是线段的中点，；综上，的长为25或35；（3）解：运动t秒后，E为的中点，F为的中点，又，或，由得：或，解得：或变式2【新知理解】如图，点C在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”（1）线段的中点_这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）（2）若，点C是线段的“巧点”，则_；【解决问题】（3）如图，已知动点P从点A出发，以的速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为ts当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“巧点”？并说明理由【答案】（1）是；（2）8或12或16；（3）t为或或，理由见详解【分析】（1）由“巧点”的定义进行判断即可求解；（2）由“巧点”的定义，按的位置进行分类讨论，即可求解；（3）当是、的“巧点”，() 由“巧点”的定义得，列方程即可求解； () 由“巧点”的定义得，当是、的“巧点”，() 由“巧点”的定义得， () 由“巧点”的定义得，即可求解【详解】（1）解：C是线段的中点， C是线段的“巧点”；故答案：是；（2）解：如图，点C是线段的“巧点”，；如图，点C是线段的“巧点”，；如图，点C是线段的“巧点”，；故答案：或或；（3）解：t为或或，理由如下：当是、的“巧点”，()如图，解得：，()如图，解得：；当是、的“巧点”，()如图，解得：；()如图，同理可得：，解得：；此种情况不合题意，舍去；综上所示：当t为或或时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“巧点”【点睛】本题考查了新定义，线段的和差，一元一次方程的应用，理解新定义，将为题转化为一元一次方程进行求解是解题关键【考法三、线段之间数量关系】例如图，在直线上，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度在直线上运动，M为的中点，N为的中点，设点P的运动时间为t秒(1)若点P在线段上运动，当时，_；(2)若点P在射线上运动，当时，求点P的运动时间t的值；(3)当点P在线段的反向延长线上运动时，线段有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由【答案】(1)3(2)当时，点的运动时间的值为或20(3)【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，线段中点的含义，线段的和差运算，理解题意，清晰地分类讨论是解本题的关键（1）由中点的含义先求解，证明，再求解，从而可得答案；（2）当点在线段上，当点在线段的延长线上，再建立方程求解即可；（3）先证明，可得，从而可得结论【详解】（1）解：为的中点，为的中点，线段，故答案为：3（2）当点在线段上，如图，为的中点，解得，当点在线段的延长线上，如图，同理：解得，综上所述，当时，点的运动时间的值为或20；（3）当点在线段的反向延长线上时，理由如下：如图，为的中点，为的中点，变式1如图，已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为8，点B在A点的左边，且若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动设点P的运动时间为t秒(1)解决问题：当时，写出数轴上点B，P所表示的数；若点P，Q分别从A，B两点同时出发，问点P运动多少秒与点Q相距3个单位长度？(2)探索问题：若M为AQ的中点，N为BP的中点当点P在A，B两点之间运动时，探索线段MN与线段PQ的数量关系（写出过程）【答案】(1)点B表示-4，点P表示5；1.8秒或3秒(2)2MN+PQ=12或2MN-PQ=12，过程见解析【分析】（1）根据已知可得B点表示的数为8-12；点P表示的数为8-3t；点P运动x秒时，与Q相距2个单位长度，则AP=3x，BQ=2x，根据AP+BQ=AB-3，或AP+BQ=AB+3，列出方程求解即可；（2）根据点P在点A、B两点之间运动，故MN=MQ+NP-PQ，由此可得出结论【详解】（1）解：点A表示的数为8，B在A点左边，AB=12，点B表示的数是8-12=-4，动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点P表示的数是8-31=5设点P运动x秒时，与Q相距3个单位长度，则AP=3x，BQ=2x，AP+BQ=AB-3，3x+2x=9，解得：x=1.8，AP+BQ=AB+3，3x+2x=15解得：x=3点P运动1.8秒或3秒时与点Q相距3个单位长度（2）2MN+PQ=12或2MN-PQ=12；理由如下：P在Q右侧时有：MN=MQ+NP-PQ=AQ+BP-PQ=（AQ+BP-PQ）-PQ=AB-PQ=（12-PQ），即2MN+PQ=12同理P在Q左侧时有：2MN-PQ=12【点睛】本题考查了数轴和一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据题意画出图形，注意分两种情况进行讨论变式2如图，是数轴上一条动线段，满足，“点在数轴上对应的数为24”表示为(1)若线段在线段上，且满足_；点E是线段上一点，满足，_；(2)如图，设（且），P是数轴上一点，若，猜想与的关系，并说明理由；(3)若点C是的中点，点D是的中点，以、分别为直径的圆的周长为a、b、c，请直接写出的a、b、c关系【答案】(1)22；18(2)，理由见解析(3)当时，；当时，；当时，【分析】（1）先求解，结合，从而可得答案；设，则，而，再利用建立方程即可；（2）分别表示，从而可得答案；（3）当时，如图，可得，可得，当时，如图，可得：，可得，可得；当时，如图，可得：，可得，则有【详解】（1）解：，故答案为：22；设，则，而，解得：，故答案为：18；（2）解：猜想：，理由如下：如图，；（3）解：设，当时，如图，点C是的中点，点D是的中点，当时，如图，同理可得：，；当时，如图，同理可得：，【点睛】本题考查的是数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，整式的加减运算的应用，理解题意，清晰的分类讨论是解本题的关键【考法四、求线段】例（1）如图1，点，为直线上从左到右顺次的四个点直线上以，为端点的射线共有_条；若，点为直线上一点，则的最大值为_；（2）从图1的位置开始，点在直线上向左运动，点，在直线上向右与点同时开始运动，运动过程中的长度保持不变，分别为，的中点（如图2）在此过程中，请指出三条线段，之间的数量关系（用一个等式表示）并说明理由；（3）如图3，点，为数轴上从左到右顺次的三个点，点，表示的数分别为，为中点若，且，求线段的长【答案】（1）8；9；（2）；（3）5【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，数轴上两点的距离计算，射线的条数问题：（1）根据射线的定义进行求解即可；分点P在点A左侧，点P在A、B之间，点P在点D右侧三种情况讨论求解即可；（2）如图所示，当点B在点C左边时，由线段中点的定义得到，根据，推出，则；如图所示，当点B在点C右侧时，由线段中点的定义得到，根据推出则；（3）由中点的定义得到，求出，则，再由，推出，则【详解】解：（1）由题意得，图中的射线有射线，共8条射线，故答案为：8；，如图所示，当点P在点A左侧时（包括A），如图所示，当点P在A、D之间时，如图所示，当点P在点D右侧时（包括B），；综上所述，的最大值为9；故答案为：9；（2），理由如下：如图所示，当点B在点C左边时，分别为，的中点，；如图所示，当点B在点C右侧时，分别为，的中点，；综上所述，；（3）为中点，变式1点在线段上，(1) 如图1，两点同时从，出发，分别以，的速度沿直线向左运动；在还未到达点时，的值为 ；当在右侧时(点与不重合)，取中点，的中点是，求的值；(2) 若是直线上一点，且则的值为 【答案】（1）；;（2）或或或【分析】（1）由线段的和差关系，以及QB=2PC，BC=2AC，即可求解；（2）设AC=x，则BC=2x，AB=3x，D点分四种位置进行讨论，当D在A点左侧时，当D在AC之间时，当D在BC之间时，当D在B的右侧时求解即可【详解】解：（1）AP=AC-PC，CQ=CB-QB，BC=2AC，P、Q速度分别为1cm/s、2cm/s，QB=2PC，CQ=2AC-2PC=2AP，设运动秒，分两种情况A:在右侧，分别是，的中点，B:在左侧，分别是，的中点，（2）BC=2AC设AC=x，则BC=2x，AB=3x，当D在A点左侧时，|AD-BD|=BD-AD=AB=CD，CD=6x， ；当D在AC之间时，|AD-BD|=BD-AD=CD，2x+CD-x+CD=CD，x=-CD（不成立），当D在BC之间时，|AD-BD|=AD-BD=CD，x+CD-2x+CD=CD，CD=x，；|AD-BD|=BD-AD=CD，2x-CD-x-CD=CD，CD=；当D在B的右侧时，|AD-BD|=BD-AD=CD，2x-CD-x-CD=CD，CD=6x，综上所述，的值为或或或【点睛】题考查线段的和差问题，距离与绝对值的关系，动点问题画好线段图，分类讨论是解决本题的关键变式2数轴上有A，B，C三点，A，B表示的数分别为m，n，点C在B的右侧，(1)如图1，若多项式是关于x的二次三项式，请直接写出m，n的值：(2)如图2，在（1）的条件下，长度为1的线段（E在F的左侧）在A，B之间沿数轴水平滑动（不与A，B重合），点M是的中点，N是的中点，在滑动过程中，线段的长度是否发生变化，请判断并说明理由；(3)若点D是的中点直接写出点D表示的数_（用含m，n的式子表示）；若，试求线段的长【答案】(1)，(2)不变化，理由见解析(3)；【分析】（1）由题可知，n-1=0，7+m=2，求出m，n；（2）设点E表示的数为x，则 ， ， ，再由中点的定义，得，由，得出MN的定值；（3）根据两点间距离公式以及中点公式进行推导即可；由题意，依次表示出AD，BD的长，代入求解即可.【详解】（1）解：由题可知，n-1=0，7+m=2，故答案为：，（2）解：MN的长不发生变化，理由如下：由题意，得点C表示的数为3，设点E表示的数为x，则点F表示的数为 ， ， ， ， ， 点M是的中点，N是的中点，即（3）解：A，B表示的数分别为m，n又点C在B的右侧AB=n-mAC= n-m+2点D是的中点AD=AC= （n-m+2）D表示的数为：m+ （n-m+2）=依题意，点C表示的数分别为，即当时不符合题意，舍去当时综上所述，线段的长为.【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，以及两点间距离公式和中点公式的考查，利用数形结合思想表示出线段长是解决问题的关键.【课后练习】1如图，数轴上点A表示的数为-2，点B表示的数为8点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒（）（1）填空：A、B两点间的距离_，线段AB的中点表示的数为_；用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为_；点Q表示的数为_；（2）求当t为何值时，；（3）当点P运动到点B的右侧时，线段PA的中点为M，N为线段PB的三等分点且靠近于P点，求的值【答案】（1）10；3；点P表示的数为-2+3t，点Q表示的数为8-2t；（2）1或3；（3）5【分析】（1）根据点A表示的数为-2，点B表示的数为8，即可得到A、B两点间的距离以及线段AB的中点表示的数；依据点P，Q的运动速度以及方向，即可得到结论；（2）由t秒后，点P表示的数-2+3t，点Q表示的数为8-2t，于是得到|PQ|=|（-2+3t）-（8-2t）|=|5t-10|，列方程即可得到结论；（3）依据PA的中点为M，N为PB的三等分点且靠近于P点，运用线段的和差关系进行计算，即可得到的值【详解】解：（1）8-（-2）=10，-2+10=3，故答案为：10，3；由题可得，点P表示的数为-2+3t，点Q表示的数为8-2t；故答案为：-2+3t，8-2t；（2）t秒后，点P表示的数-2+3t，点Q表示的数为8-2t，|PQ|=|（-2+3t）-（8-2t）|=|5t-10|，又=10=5，|5t-10|=5，解得：t=1或3，当t=1或3时，；（3）PA的中点为M，N为PB的三等分点且靠近于P点，|MP|=|AP|=3t=t，|BN|=|BP|=（|AP|-|AB|）=（3t-10）=2t-，=t-（2t-）=5【点睛】本题考查了实数和数轴以及一元一次方程的应用，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程求解2如图1所示，已知线段，点为线段上一点（不与、重合），两点分别从、同时出发沿射线向右运动，点的运动速度为/秒，点运动速度为/秒，设运动时间为秒（1）若，时，则的长为_；点、在移动过程中，线段、之间是否存在某种确定的的数量关系，判断并说明理由；（2）如图2所示，点、在射线上移动，若，直接写出的值【答案】（1）；，理由见解析；（2），【分析】（1）根据题意画出图形，分别求出时，AM，PN的长，进而求出AN，即可求解；分和两种情况，分别表示出AM，PN，BM，MN的长，即可求解；（2）分和两种情况，每种情况再分点N在点M左边，点N在点M右边，分别表示出AM，PN，AP，PB的长，即可求解【详解】解：（1）如图：时，AM=，PN=，=；，当时点、同时到达点当时，如图：；当时，如图：；（2），点N在点M左边时，如图：，；，点N在点M右边时，如图：，；，点N在点M左边时，如图：，；，点N在点M右边时，如图：，的值为，【点睛】本题考查两点之间距离，线段和差的计算，一元一次方程，行程问题中的路程=速度时间解题时注意分类讨论的运用3如图，线段AB和CD数轴上运动，A开始时与原点重合，且.(1)若AB=10，且B为线段AC的中点，求线段AD的长.(2)在(1)的条件下，线段AB和CD同时开始向右运动，线段AB的速度为5个单位/秒，线段CD的速度为3个单位/秒，经过t秒恰好有，求t的值.(3)若线段AB和CD同时开始向左运动，且线段AB的速度大于线段CD的速度，在点A和C之间有一点P(不与点B重合)，且有，此时线段BP为定值吗？若是请求出这个定值，若不是请说明理由.【答案】（1）52；（2）t=6或25；（3）BP=1为定值，理由见解析.【分析】（1）根据，AB=10，求出CD长，再由B为线段AC的中点，求出AC长，即可求出AD；（2）由题知A：5t，B：10+5t，C：20+3t，D：52+3t，再写出AC和BD长，代入中解出t即可；（3）由，在点A和C之间有一点P，得到，化简即可证明BP为定值.【详解】解：（1），AB=10，B为线段AC的中点，；（2）由题知A：5t，B：10+5t，C：20+3t，D：52+3t，当0t10时，解得：，0610，成立；当10t21时，方程无解；当21t时，解得：，2125，成立；t=6或25；（3），在点A和C之间有一点P ，BP=1，为定值.【点睛】本题是对线段动点问题的考查，熟练掌握直线动点知识点及解一元一次方程是解决本题的关键，属于压轴题.4已知数轴上两点所表示的数分别为和，且满足，为原点（1）试求和的值；（2）点从点出发向右运动，经过3秒后点到点的距离是点到点距离的3倍，求点的运动速度？（3）点以一个单位每秒的速度从点向右运动，同时点从点出发以5个单位每秒的速度向左运动，点从点出发，以20个单位每秒的速度向右运动在运动过程中，分别为的中点，问的值是否发生变化，请说明理由【答案】（1）；（2）2个单位/秒或5个单位/秒；（3）的值不发生变化，其值为2，理由见解析【分析】（1）利用非负数的性质求解；（2）设点运动的速度为v个单位/秒，则3s后点表示的数为3v，AC=3v+3，再分点C在点B的左侧或右侧两种情况，列方程即可求解；（3）设运动的时间为，根据题意用t表示出PQ，OD，MN的长，进而求出答案【详解】解：（1）|a+3|+（b-9）2020=0，a+3=0且b-9=0，a=-3，b=9；（2）设点运动的速度为v个单位/秒，则3s后点表示的数为3v，又由（1）知，点A表示的数为-3，点B表示的数为9，当点C在点B左侧时，BC=9-3v，则，解得v=2;当点C在点B右侧时，BC=3v-9，则，解得v=5，故点C的运动速度为2个单位/秒或5个单位/秒；（3）的值不发生变化，理由如下：设运动的时间为，则表示的数为，表示的数为，表示的数为，又、分别为、的中点，表示的数为，表示的数为，即的值不发生变化，其值为2【点睛】此题主要考查了数轴上的点表示的数，数轴上两点间的距离的求法，一元一次方程的应用以及代数式的化简等知识，根据题意用代数式表示出数轴上两点间的距离是解题关键5如图，点C是线段 上的一点，线段，点D为线段的中点(1)直接写出线段和的长；(2)若动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿直线向右运动，动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度沿直线 向左运动，当点Q到达点A时立即掉头沿直线向右运动，当点Q再次回到点B时，动点P，Q同时停止运动设运动时间为t秒当t为何值时，点 P与点Q 重合？当t为何值时，点P与点Q之间的距离【答案】(1)；(2)或；或或或【分析】本题考查了线段中点相关的计算，列一元一次方程解几何动点问题，恰当分类并建立方程是解题的关键（1）利用，结合已知条件计算线段的长度，根据中点的定义计算线段的长度，再利用计算线段的长；（2）点与点重合有两种情况：点从到向左运动时、点到达点后掉头向右运动时，分别列方程求解即可；分四种情况：动点相遇前，动点第一次相遇后反向运动，动点第一次相遇后同向运动，动点第二次相遇后同向运动，分别根据列方程求解即可【详解】（1）解：，点D为线段的中点，（2）解：由题意可知，点与点重合有两种情况：点从到向左运动时、点到达点后掉头向右运动时，当点向左运动时，解得当点向右运动时，解得答：当或时，点与点重合当动点没有相遇时，两点相距4时，有，解得；当动点第一次相遇后，向右运动，向左运动，两点相距4时，有，解得；当动点第一次相遇后，向右运动，向右运动两点相距4时，有，解得；当动点第二次相遇后，向右运动，向右运动两点相距4时，有，解得综上所述，满足条件的有：或或或6已知，点为线段的三等分点（），点在点左侧，点在点左侧(1)若线段在线段上运动 如图，当点为线段的中点时， ；（直接写出结果） 为线段上一点，且，求线段的长；(2)若线段在射线上运动，且，求线段的长【答案】(1)；线段的长为或；(2)线段的长为或【分析】（）利用三等分点的定义求出，利用中点定义求出，再根据线段的和差关系即可求出；分当点在点的右侧和点在点的右侧，点在点的左侧两种情况，画出图形解答即可求解；（）分当线段在线段上、点在的延长线上，点在线段上和线段在线段的延长线上三种情况画出图形解答即可求解；本题考查了中点定义，三等分点定义，线段的和差，一元一次方程的应用，根据题意，画出图形，运用分类讨论思想进行解答是解题的关键【详解】（1）解：如图，点为线段的三等分点（），点为线段的中点，故答案为：；如图，当点在点的右侧时，设，则，解得，；如图，当点在点的右侧，点在点的左侧时，设，则，解得，；线段的长为或；（2）解：如图，当线段在线段上时，设，则，解得，；如图，当点在的延长线上，点在线段上时，设，则，解得，不合，舍去；如图，当线段在线段的延长线上时，设，则，解得，；综上，线段的长为或学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司