流向磁场下球形气泡绕流的线性稳定性分析.pdf

magnetic field.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2023,55(7):1407-1416Zheng Xiaolin,Pan Junhua,Ni Mingjiu.The linear stability analysis of flow past a spherical bubble under the effect of streamwise引用格式：郑晓琳，潘君华，倪明玖.流向磁场下球形气泡绕流的线性稳定性分析报,2 0 2 3,5 5(7）：:1 4 0 7-1 4 1 6流体力学Jul.,2023Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics2023年7 月Vol.55,No.7力第5 5 卷第7 期报学学流向磁场下球形气泡绕流的线性稳定性分析郑晓琳潘君华2)倪明玖（中国科学院大学工程科学学院，北京1 0 0 0 4 9)摘要电磁冶金中氩气通常作为动力和载体将脱硫剂、脱氧剂吹入到液态金属中，因此存在磁场环境下气泡在液态金属中自由运动的问题，而绕流作为自由运动的特殊形态，是研究自由运动问题的第一步.本文通过有限元方法研究流向磁场作用下球形气泡绕流的全局线性稳定性，讨论Re1000,N60参数范围内稳态轴对称基本流对时间-方位角模态小扰动的响应，发现了8 个不稳定的驻定模态，并绘制它们在Re-N参数平面与Re-Ha参数平面的中性曲线.结果显示方位角波数m=1的驻定模态首先导致第一次常规分岔，该模态已被广泛证实为轴对称绕流中最不稳定的模态，使轴对称尾迹转变为由一对反向旋转涡组成的单平面对称尾迹.同时第一次分岔的中性曲线展示磁场对球形气泡绕流先失稳后致稳的作用.后续分岔依次由m=2,3，8 的不稳定模态导致.这些分岔为认识磁场环境下气泡绕流的尾迹结构提供重要的参考价值.关键词球形气泡绕流，线性稳定性分析，磁场中图分类号：0 35文献标识码：Adoi:10.6052/0459-1879-23-101THELINEARSTABILITYANALYSISOFFLOW PAST A SPHERICALBUBBLE UNDERTHEEFFECTOF STREAMWISEMAGNETICFIELDI)Zheng XiaolinPan Junhuaa2)Ni Mingjiu(School of Engineering Science,University of Chinese Academy of Science,Beijing 100049,China)AbstractIn electromagnetic metallurgy,argon is usually used as a power and carrier to blow desulfurizer anddeoxidizer into liquid metal,so there is a problem of free movement of bubbles in liquid metal under a magnetic fieldenvironment.Flow past a fixed bubble as a special form of free movement,is the first step to study the problem of freemovement.In this paper,the global linear stability analysis of the flow past a spherical bubble under the effect of astreamwise magnetic field is simulated by the finite element method.The response of the steady axisymmetric basic flowto the small perturbation of the independent time-azimuthal mode in the range of Re 1000,N 60 is discussed.Eightunstable stationary modes are found,and their neutral curves in the Re-N parameter plane or Re-Ha parameter planeare displayed.The results show that the stationary mode with azimuthal wave number m=1 leads to the first regularbifurcation,this mode has been widely confirmed as the most unstable mode in the flow past axisymmetric objects,whichtransforms the axisymmetric wake into a plane symmetric wake composed of a pair of opposite vortices.In addition,theresults of the neutral curve show the effect of the magnetic field on the instability of the flow past the spherical bubble.The subsequent bifurcations are successively caused by the unstable modes of m=2,3,.,8,these bifurcations provide an2023-03-20收稿，2 0 2 3-0 5-0 5 录用，2 0 2 3-0 5-0 6 网络版发表.1)国家自然科学基金(5 2 0 0 6 2 1 2)，中国科学院基础前沿科学研究计划(ZDBS-LY-JSC033)和中国科协青年人才托举工程（2 0 2 2 QNRC001)资助项目.2）通讯作者：潘君华助理研究员，主要研究方向为磁流体动力学、计算流体力学和颗粒两相流.E-mail:paniunhuauca.c力1408报2023年第5 5 卷学学important reference value for understanding the wake structure of the flow past a bubble in the magnetic fieldenvironment.Keywordsflow past a spherical bubble,linear stability analysis,magnetic field引言电磁冶金工业中为去除杂质硫、磷等需要加入脱硫剂和脱氧剂，氩气作为动力和载体将脱硫剂和脱氧剂吹入到液态金属中 1-3,存在磁场环境下气泡在液态金属中的输运问题.绕流可以看作是自由运动的特殊形态，它限制了气泡平移和旋转的6 个自由度 4 .解除气泡和流体的耦合作用，是研究自由运动问题的第一步.研究绕流的尾迹不稳定，将其与气泡自由运动的结果进行比较，有助于我们了解物体运动的自由度对其尾流结构演化的作用.Mougin等 5 对无磁场下气泡自由运动的研究发现尾流结构和气泡路径轨迹之间存在一一对应关系，这清楚地表明尾迹不稳定与路径不稳定存在紧密的关联.此外，Magnaudet等 6 的研究认为气泡的路径不稳定是由尾迹不稳定驱动的.因此，研究气泡的绕流问题对阐明自由运动的路径不稳定有一定的指导意义.在不考虑磁场作用时，前人对气泡绕流展开了丰富的研究.Leal7探讨尾流中涡量的生产机制和回流区的形成.他认为气泡表面由于边界弯曲且要满足切应变速率为零，所以流体单元发生局部旋转，从而生成涡量，且气泡表面涡量是曲率和切向速度的两倍.此外，他认为回流区的形成是涡量积累的结果.涡量通过对流和扩散在流体中传播，当Re较小时，涡量生成有限，不足以形成回流区；当Re较大时，涡量生产有所增加，虽然涡量对流的效率也有所提高，但气泡表面仍然有足够高的涡量积累，即对流和扩散的作用不能有效对其进行疏散，因此形成回流区；随着Re的进一步增大，对流项占主导，下游处涡量的对流效率逐渐增强，而表面最大涡量随Re逐渐趋近于一个渐进值，因此涡量积累有所下降，从而在循环区域消失.Blanco等 8 和Magnaudet等 6 的研究同样支持该观点，文献 6,9-1 0 通过直接数值模拟和稳定性分析研究气泡绕流的尾迹结构之间的转变.结果发现，对于球形气泡，不论Re多大，尾迹始终保持稳态轴对称状态，没有不稳定发生.当气泡的变形比增大到2.21，R e 约为4 0 0，气泡表面最大涡量达到1 3.4时，才发生第一次常规分岔.轴对称尾流变得不稳定并分裂成方向相反的流向涡对，且尾流存在一个对称平面.进一步增大变形比,第一次分岔在更小的Re出现，但随着Re的继续增加，尾流重新回到轴对称结构.这说明对于固定的变形比，不稳定只存在于合适的Re范围内.继续增大变形比，在合适的Re范围内出现第二次Hopf分岔，此时尾流转变为周期性涡脱落结构，对称平面依然存在.Tchoufag等 1 0 通过线性稳定性分析得到前两次分岔较完整的x-Re相图.考虑磁场环境时，导电流体切割磁场的运动会产生电流，电流与磁场相互作用产生的洛伦兹力将会极大地影响原来的流动配置.对于磁流体动力学(magneto hydro dynamics,MHD）中的圆柱绕流，Lahjomri 等 1 和Josserand等 1 2 通过实验发现磁场作用下，展向涡分布变窄，当磁场强度达到一定程度时，涡脱落被抑制，流动转变为二维稳态情况.同时Mutschke等 1 3-1 4 的数值结果表明，磁场提高了流动向非稳态转变的Re阈值，这揭示了磁场对流动的致稳作用.对于MHD小球绕流，Yonas15通过实验发现磁场可以完全抑制在其相应的水动力学情况下存在的主导脱涡频率，这同样体现了磁场的致稳作用，Pan等 4 通过直接数值模拟方法，系统地研究了Re300,N 0，那么流动将是线性时间不稳定的.;=0 和 i0分别表示驻定模态和振荡模态 2 5 ,每个时间-方位角模态都是具有特定空间特征的传播波.将总流动的MHD控制方程减去基本流的控制方程，并忽略二次高阶项，可以获得全局线性稳定方程.将式（8)代入线性稳定方程，得到以下全局线性稳定特征方程Au+VuUo+VUou=1-Vp+-V?u+N(-Vp+uxex)xex(9)ReVu=0(10)V?-V.(uxex)=0(11)边界条件设置为：入口边界u=(0,0,0)；出口边界-pn+Re-1Vun=0；外边界ur=Orux=rue=0;气泡表面n(Vu+VuT)n=0且un=O；对称轴的边界条件需要根据方位角波数确定 1 0,m=0时ur=Qrux=rp=0,(m|=1时Qrur=0rug=ux=p=0,ml2时ur=ug=ux=p=0；电势在所有的边界满足anb=(uxex)n26.此外,对于特定的波数m,如果入和 u,P,d是特征值方程(9)式(1 1)的解，那么它们的共轭量*和 u*,p*,*1是特征方程关于-m的解.2验证本文采用基于有限元方法的偏微分方程求解器FreeFem+(http:/www.freefem.org)求解基本流和特征值方程.速度和压强采用满足inf-sup条件的Taylor-Hood有限元进行空间离散，即速度用P2有限元，压强用P1有限元，此外电势采用P2有限元进行离散 2 7-30 .首先写出所有控制方程在柱坐标系下的变分公式，并在由Delanunay-Voronoi算法生成的三角形单元组成的网格上进行空间离散.然后用FreeFem+构建由变分公式投影到有限元单元上产生的稀疏矩阵.最后，使用Newton迭代法计算基本流的矩阵，用SLEPc库中的Arnoldi或者simpleshift-invert方法求解特征值问题.三角形网格以气泡边界为起始，最小网格尺寸设为0.0 0 2 并按照1.0 2 的倍率向外增长，当网格尺寸达到0.5 时停止增长，如图1 所示.该局部细化的网格能够很好地捕捉气泡附近及其尾流的动力学信息.同时对于气泡绕流这样的开式流，为了消除边界条件的影响，足够大的计算域是必要的，因此入口长度1 设为1 5 0，出口长度1 2 设为2 0 0，高度h设为30.为了验证本文程序的可靠性，将无磁场环境下不同纵横比x的前两次分岔对应的临界Re与文献进行对比，如图2 所示.本文计算的结果在第一次常规分岔和第二次Hopf分岔与Tchoufag等 1 0 线性稳定分析的结果吻合很好，但在中性曲线的上部与Magnaudet等 6 直接数值模拟的结果存在偏差.由于气泡绕流的第一次分岔是超临界的，非线性的因素被排除，Tchoufag等 1 0 认为这是由于两种方法在考虑流动随时间演化的不同导致的.同时图2 的结果直观地反映了尾迹的分岔，对于某个固定的变形比xE(2.21,2.42)存在一段不稳定区间，即随着Re的增加流动从稳态轴对称到平面对称再到轴对称.对于某个固定的变形比 2.4 2，随着Re的增加，稳态轴1411郑晓琳等：流向磁场下球形生稳定性分析第7 期4000o-TchoufagLSAo-Magnaudet DNS3000present LSA2000100002.22.42.62.8X图2 无磁场环境下不同纵横比的气泡第一次常规分岔和第二次Hopf分岔对应的临界Re与文献结果的对比Fig.2 The comparison of the critical Reynolds number at the firstregular bifurcation and the second Hopf bifurcations with results fromliteratures at different aspect ratios x without magnetic fields对称流动在常规分岔的时候转变为稳态平面对称结构,在Hopf分岔的时候转变为周期性涡脱落结构，随着Re的进一步增大，周期性涡脱落结构依次转变为稳态平面对称和轴对称结构.这表明Re对流动稳定性有非单调的影响，而变形比促进流动的失稳，本文关注球形气泡的研究，对比之前小球稳定性的结果，讨论边界条件对绕流稳定性的影响.3结果分析和讨论3.1稳态轴对称基本流对于球形气泡，不考虑磁场作用时，流动始终保持稳态轴对称状态，因此本文研究稳态轴对称基本流对三维小扰动的响应.这里首先展示了Re=600在无磁场N=0以及有磁场N=20的基本流，如图32.01.52.6-1.301.00.50-2-101234X(a)N=02.01.5-4201.00.5-2-101234X(b)N=20图3定常轴对称基本流的流线和涡量分布Fig.3Streamlines and vorticity of steady axisymmetric base flow所示.根据图3中所示流线可以看到，磁场的施加使流线沿磁场方向变直.这是因为液态金属的运动与磁场相互作用产生径向洛伦兹力，径向洛伦兹力抑制不平行于磁场方向的流动，因此使得流线沿磁场方向变直.此外，磁场的施加使气泡下游的流动出现回流，形成分离泡分离泡可以通过回流区长度和分离角大小来表征，图4 展示了Re=600时回流区长度和分离角随相互作用数N的连续性变化.随着磁场强度的增加，分离泡在N=3的时候出现，之后回流区长度单调增大，分离角单调减小，这说明分离泡随磁场强度增加单调增大，但增大的趋势逐渐变缓.Leal7认为回流区的形成是涡量积累的结果，当流动的对流和扩散作用不足以有效地对涡量进行疏散，则积累的涡量倾向于促使流体发生局部旋转，从而形成回流.图3同时展现了涡量的分布，没有磁场的时候，涡量主要分布在气泡表面.当磁场N=20时，主要涡量分布不再附着在气泡表面，而是沿上游和下游有明显的延伸.显然沿上下游的延伸与磁场抑制不平行于磁场方向的流动使流线沿着磁场方向拉伸密切相关.且在气泡顶点附近，上下游的主要涡量分布不连续.此时涡量有相当一部分脱离气泡表面，这是气泡的滑移边界条件导致的，切向速度不为零有效地减弱了由于边界弯曲导致的速度剪切，因此形成图3(b)这种脱离气泡表面沿剪切层（位于分离泡和外流区之间)的涡量分布.对比图3(a)和图3(b)中涡量的幅值发现，磁场的施加增大了涡量的幅值.图5提供了Re=600涡量最大值随N的连续性变化，其先减小后增加，在N5的时候达到最小值.通过图4和图5 中回流区与最大涡量随磁场强度的发展演7170recirculationlength6separation angle160515043140213001200102030405060N图4 Re=600时回流区长度和分离角随相互作用数N的变化Fig.4 The variations of recirculation length and separation anglewith Nat Re=600力14122023年第5 5 卷报学学864200102030405060N图5 Re=600时最大涡量随相互作用数N的变化Fig.5The variations of the maximum vorticity with N at Re=600化，可以发现在涡量单调增加的范围内，分离泡也是单调增大的.3.2线性稳定性分析通过求解扰动特征方程，可以探究不同Re和N工况下流动的稳定特性.由于小扰动表示为一系列独立的时间-方位角模态，特征根的分布不仅与无量纲参数Re和N有关，也与方位角波数m有关系.根据前人对水动力学中气泡绕流 9-1 0 、小球绕流 2 4,31-32 、自由运动圆盘和圆柱 33 的稳定性分析，发现最不稳定的模态总是m=1的非轴对称定常模态.但Yang等 9 在对气泡绕流的线性稳定性分析中发现当纵横比=2.5,Re=660时，不仅存在m=1的驻定、振荡不稳定模态，还存在m=2的振荡不稳定模态.考虑磁场作用后，我们在小球绕流中发现在强磁场和高Re下存在m2的驻定不稳定模态.因此这里首先计算了Re=600,N=20不同方位角波数m的特征值谱，如图6 所示.此时强磁场下洛伦兹力远大于惯性力，共出现了m=1,2,.,6这6 种驻定不稳定模态.比较这6 种不稳定模态的增长率，其随m的增大呈现非1.0m=0口m=10.8m=2m=3m=44m=50.6m=6Dom=70.4unstable modes0.20D中-0.200.20.4图6 Re=600,N=20时特征值谱在m=0,1,2,7的分布Fig.6The eigenvalue spectra for m=0,1,2,7 at Re=600,N=20单调的变化，其中m=3模态的增长率最大，即此时m=3模态的幅值随时间发展增长地最快.此外，我们注意到图6 没有振荡不稳定模态出现.根据之前对磁场作用下小球绕流的研究，发现磁场对振荡模态的抑制作用远大于对驻定模态的抑制作用，且磁场对振荡模态表现为单调致稳的作用.气泡绕流不稳定和小球绕流不稳定有高度的相似性，而不考虑磁场作用的球形气泡绕流无论Re多大都不存在振荡不稳定模态，因此可以推断振荡不稳定模态不会出现在本文研究的磁场作用下球形气泡绕流中.为了探究不稳定模态的结构，图7 展示了以上6种不稳定模态的流向扰动速度的空间分布.磁场比较强时，6 种不稳定模态的扰动速度主要分布在分离泡和外流区之间的剪切层内，且随着方位角波数m的增加，扰动速度的尾流长度逐渐变短.考虑到2-10-500-20246810X(a)m=12-10-500-20246810X(b)m=22-10-500-20246810X(c)m=32-10-500-20246810X(d)m=42-10.-500-20246810X(e)m=521-10-500-20246810X(f)m=6图7 不稳定模态的流向扰动速度ux的空间分布Fig.7 The spatial distributions of streamwise perturbation velocity uxforunstablemodes1413郑晓琳等：流向磁场下球形性稳定性分析期第m越大，反向旋转的流向涡对越多，此时尾流太长不利于多涡对结构的稳定，因此当m较大时，对应的不稳定模态的尾流长度倾向于变短.此外，图7 所示的扰动速度与Tchoufag等 1 0 提供的无磁场时扰动速度存在明显的不同,后者主要分布在回流区内.而图7的结果由于强磁场的作用有效地削弱了基本流中回流区的流动，因此扰动速度的分布转移到分离泡外的剪切层中。为了进一步探究磁场对以上6 种不稳定模态的影响，图8 绘制了Re=600，方位角波数m=0,1,2,8的驻定模态的增长率随相互作用数N的连续性变化.结果表明，随着磁场强度的增强，率先在N2.2的位置出现m=1模态的不稳定，之后依次在N3.1,5.05,6.2,10.2,16.3,27.4,52.8的位置出现m=2,3,4,5,6,7,8模态的不稳定.对于率先出现的m=1不稳定模态，增长率先显著增加后缓慢增加，在N=24时增长率达到最大值，然后缓慢减小.m=2不稳定模态的增长率在N=50达到最大值.其余不稳定模态的增长率在研究参数范围内均是单调增加的.此外，在N5的范围内，m=1模态的增长率相较于其他模态最大；在5 N14的范围内，m=2模态的增长率最大；在1 4 N56时，m=4模态的增长率最大.以上结果表明，磁场强度越强，越容易出现高阶不稳定模态，且增长率最大的模态也是高阶的.以上不管是特征根谱图还是增长率曲线都说明磁场对不稳定模态的作用是复杂的.接下来通过计算不同相互作用数N对应的临界Rec得到各个不稳定模态对应的中性曲线，如图9(a)所示.由于Ha也0.5-0-m=0-m=4-m=7m=14m=5 m=80.4-m=2-m=6-m=30.30.20.14-4-4-4-4-408:0-0-0-0-0-0-0-0-00-0-0-8:00-OOO0204060N图8 Re=600时m=0,1,2,8的驻定模态的增长率随N的连续性变化Fig.8The variations of growth rate with N for m=0,1,2,.,8stationary modes at Re=60060m=150m=2m=340-m=4m=5之30m=6m=720m=810002004006008001000Re(a)Re-N中性曲线(a)Re-N neutral curves200m=1m=2160m=3m=4120m580mm840002004006008001000Re(b)Re-Ha中性曲线(b)Re-Ha neutral curves图9 m=1,2,8的定常不稳定模态的中性曲线，Re=600不同颜色的实线表示不同模态占优对应的N和Ha的范围Fig.9 The neutral curves of m=1,2,.,8 stationary unstable modes,solid lines of different colors indicate the range of N and Hacorresponding to different dominant modes at Re=600是一个重要的无量纲参数,图9(b)也给出了Re-Ha参数平面上的中性曲线.其中m=1不稳定模态导致第一次分岔，m=2,3，8 不稳定模态依次导致后续第2 8 次分岔.对于Re-N平面上的第一次分岔，当N=2.47时，在Re=1000处出现不稳定，随着N的增加，Rec的值急剧减小，在6.5 N200时，较小的相互作用数N可以使流动失稳.在对稳态轴对称基本流的分析中发现，磁场的施加使气泡后分离泡随磁场强度的增强而增大，这使得分离泡与外流区之间的剪切变得显著，如图3(b)所示，相应的剪切层中的最大涡量也有所增加.而图7 所示不稳定模态的扰动速度也主要分布在剪切层中，这充分说明剪切层是三维扰动失稳的主要能量来源此外图9 的8 条中性曲线将Re-N平面或Re-Ha平面分为9 个区域，这些区域涉及到尾迹结构的转变.众所周知，不考虑磁场作用时，气泡绕流的稳态轴对称尾流经历由m=1驻定不稳定模态导致的常规分岔转变为稳态平面对称结构，然后经历由m=1振荡不稳定模态导致的Hopf分岔转变为伴随周期性涡脱落的平面对称结构.这里m=1的驻定或振荡不稳定模态很好地反映了分岔后的尾迹结构，可以推断当发生由m2的驻定不稳定模态导致的分岔时，尾迹结构会出现2 对或2 对以上的反向旋转漩涡.目前对流向磁场作用下小球绕流的线性稳定性分析的研究发现，在较大的Re和相互作用数N范围内存在m=2和m=3的驻定不稳定模态，且用DNS证实了两对反向旋转涡结构的存在.因此有理由相信，2 对或2 对以上的反向旋转涡结构可能会存在于强磁场作用下的气泡绕流中.需要注意的是，图9尽管有8 个不稳定模态，不代表在相应的参数范围内会出现与不稳定模态结构一致的尾涡结构.因为本文的线性稳定性分析基于轴对称基本流假设，并且没有考虑不稳定模态之间的相互作用，因此稳定性分析预测的尾迹分岔与真实工况存在一定偏差.事实上，小扰动表示为一系列独立的时间-方位角模态，其在基本流中随时间演化的渐进行为取决于增长率最大的模态，增长率最大则它的幅值随时间增长最快，相应地它的结构特征会覆盖其他模态的结构特征.此外，DNS直接求解非线性MHD方程,DNS的结果包括线性特征方程中可能存在的具有不同方位角波数的多个模态，并反映它们相互作用的结果.因此DNS结果可能表征为线性稳定分析中的某个占主导地位的模态，这由不稳定模态之间的相互竞争决定.Szaltys等 34 通过无磁场下小球绕流的实验得到Re=300的流向涡，它有一对反向旋转流向涡，对其进行模态分解，观测到m=1，m=2 和m=3模态的流向涡.这充分说明该涡结构虽然表现为m=1模态的结构特征，但它同时包含m=2和m=3的模态.根据图8 各个不稳定模态的增长率曲线,Re=600时,在2.2 N5(36.33Ha54.77)的范围内，m=1不稳定模态占主导；在5 N14（5 4.7 7 H a 9 1.6 5）的范围内，m=2不稳定模态占主导；在1 4 N56(91.65Ha183.3）的范围内，m=3不稳定模态占主导；在5 6 N60(183.3Ha189.74）的范围内，m=4不稳定模态占主导.这些范围在图9 用不同颜色的实线进行了标记，根据线性稳定分析的结果，可预测在这些参数范围内，尾迹结构依次为由一对反向旋转涡构成的单平面对称结构，由两对反向旋转涡构成的双平面对称结构，由3对反向旋转涡构成的三平面对称结构，以及由4对反向旋转涡构成的四平面对称结构.与流向磁场作用下小球绕流的结果相比，最小临界Re=107.2远小于小球的1 7 9.2，这说明强磁场1415郑晓琳等：流向磁场下球形气泡绕的线性稳定性分析第7 期作用下，滑移边界的绕流更容易失稳，它对应的临界Re更小.此外，小球绕流在Re400，N 4 0 的研究范围内只检测到m=1,m=2和m=3的不稳定模态，而气泡绕流在同样的研究范围内可以检测到m=5的不稳定模态，这说明在滑移边界绕流中磁场的作用倾向于激发高阶不稳定模态.4结论本文采用有限元的方法计算二维稳态轴对称基本流和三维扰动特征方程，对流向磁场作用下气泡绕流的三维整体稳定性进行分析.在Re1000,N107.2时，随着磁场的增强有两个临界相互作用数N。或两个临界哈德曼数Hac，流动在小的N。或Hac处变得不稳定，在大的N或Hc处再次回到稳定状态，体现了磁场对流动先失稳后致稳的作用.对于由m=2,3，,8的驻定模态引起的后续分岔，Rec随磁场强度的增强单调增大，体现了磁场的失稳作用.但由于惯性效应是引起不稳定的核心，因此可以判定磁场强度足够强，惯性力相较于电磁力可以忽略时，磁场对流动的作用最终表现为致稳，即对于后续分岔，随着磁场强度的继续增强，磁场对流动最终会转变为致稳的作用.基本流中分离泡随磁场增强变大,相应的剪切层中最大涡量有所增加，而不稳定模态的扰动速度主要分布在剪切层中，说明剪切层是三维扰动失稳的主要能量来源.此外，根据增长率随相互作用数N的连续性变化曲线，Re=600时，m=1，m=2，m=3和m=4不稳定模态分别在2.2 N5(36.33Ha54.77）5 N 14(54.77 Ha91.65),14 N 56(91.65 Ha183.3)和5 6 N 60(183.3Ha189.74)的范围内占主导.这可以预测，在这些参数范围内，尾迹结构依次为由一对、两对、三对和四对反向旋转流向涡构成单、双、三和四平面对称结构.以上结果对流向磁场作用下球形气泡绕流的尾迹转变有一定的指导意义，但由于线性分析的限制，对尾迹结构转变的预测需要进一步地研究.参考文献1高翱.新型电磁出钢系统的研发及其效果分析.【博士论文.沈阳：东北大学,2 0 1 0 (Gao Xiang.Research and development of newelectromagnetic tapping system and its effect analysis.PhD Thesis.Shenyang:Northeast University,2010(in Chinese)2成钢.氩气在炼钢生产中的应用.深冷技术，1 9 8 1,4:7 8-8 0(ChengGang.Application of argon in steelmaking production.CryogenicTechnology,1981,4:78-80(in Chinese)3丰文祥，陈伟庆，赵继增.中间包吹氩去除钢水夹杂物.北京科技大学报，2 0 1 0,32(4):4 2 5-4 31 (FengWenxiang,Chen Weiqing,Zhao Jizeng.Removal of inclusions in molten steel by argon blow-ing in tundish.Beijing University of Science and Technology,2010,32(4):425-431(in Chinese)4 Pan JH,Zhang NM,Ni MJ.The wake structure and transition pro-cess of a flow past a sphere affected by a streamwise magnetic field.Journal of Fluid Mechanics,2018,842:248-2725 Mougin G,Magnaudet J.Path instability of a rising bubble.Physic-al Review Letters,2001,88(1):01450265Magnaudet J,Mougin G.Wake instability of a fixed spheroidalbubble.Journal of Fluid Mechanics,2007,572:311-3377 Leal LG.Vorticity transport and wake structure for bluff bodies at fi-nite Reynolds number.Physics of Fluids A:Fluid Dynamics,1989,1(1):124-1318 Blanco A,Magnaudet J.The structure of the axisymmetric high-Reynolds number flow around an ellipsoidal bubble of fixed shape.Physics of Fluids,1995,7(6):1265-12749 Yang B,Prosperetti A.Linear stability of the flow past a spheroidalbubble.Journal of Fluid Mechanics,2007,582:53-7810 Tchoufag J,Magnaudet J,Fabre D.Linear stability and sensitivity ofthe flow past a fixed oblate spheroidal bubble.Physics of Fluids,2013,25(5):05410811 Lahjomri J,Caperan P,Alemany A.The cylinder wake in a magnet-ic field aligned with the velocity.Journal of Fluid Mechanics,1993,253:421-44812 Josserand J,Marty P,Alemany A.Pressure and drag measurementson a cylinder in a liquid metal flow with an aligned magnetic field.Fluid Dynamics Research,1993,11(3):10713 Mutschke G,Gerbeth G,Shatrov V,et al.Two-and three-dimension-al instabilities of the cylinder wake in an aligned magnetic field.Physics of Fluids,1997,9(11):3114-311614 Mutschke G,Shatrov V,Gerbeth G.Cylinder wake control by mag-netic fields in liquid metal flows.Experimental Thermal and FluidScience,1998,16(1-2):92-9915 Yonas G.Measurements of drag in a conducting fluid with analigned field and large interaction parameter.Journal of Fluid Mech-anics,1967,30(4):813-82116 Zhang J,Ni MJ.Direct simulation of single bubble motion undervertical magnetic field:Paths and wakes.Physics of Fluids,2014,26(10):10210217 Richter T,Keplinger O,Shevchenko N,et al.Single bubble rise inGalnSn in a horizontal magnetic field.International Journal of Mul-tiphase Flow,2018,104:32-41力1416学2023年第5 5 卷报学18刘德华，黎一错.竖直振动无黏液滴的法拉第不稳定性分析.力学学报,2 0 2 2,5 4(2):36 9-37 8 (Liu Dehua,Li Yikai.Instability analys-is of inviscid droplet subject to vertical vibration.Chinese Journal ofTheoretical and Applied Mechanics,2022,54(2):3