完全平方公式——初中数学第三册教案.docx

完全平方公式初中数学第三册教案 （一）教材的地位与作用 本节内容主要讨论的是完全平方公式的推导和公式在整式乘法中的应用。它是在学生学习了代数式的概念、整式的加减法、幂的运算和整式的乘法后进展学习的，其地位和作用主要表达在以下几方面： （1）整式是初中代数讨论范围内的一块重要内容，整式的运算又是整式中一大主干，乘法公式则是在学习了单项式乘法、多项式乘法之后来进展学习的；一方面是对多项式乘法中消失的较为特别的算式的一种归纳、总结；另一方面，乘法公式的推导是初中代数中运用推理方法进展代数式恒等变形的开端，通过乘法公式的学习对简化某些整式的运算、培育学生的求简意识有较大好处。 （2）乘法公式是后续学习的必备根底，不仅对学生提高运算速度、精确率有较大作用，更是以后学习因式分解、分式运算的重要根底，同时也具有培育学生渐渐养成严密的规律推理力量的功能。 （3）公式的发觉与验证给学生体验规律发觉的根本方法和根本过程供应了很好模式。 （二）教学目标确实定 在素养背景下的数学教学应以学生的进展为本，学生的力量培育为重，尤其是创新、制造力量，以及培育学生良好的共性品质等。依据以上指导思想，同时参照义务教育阶段数学课程标准的要求，确定本节课的教学目标如下： 1、学问目标： 理解公式的推导过程，了解公式的几何背景，会应用公式进展简洁的计算。 2、力量目标： 渗透建模、化归、换元、数形结合等思想方法，培育学生的发觉力量、求简意识、应用意识、解决问题的力量和创新力量。 3、情感目标： 培育学生敢于挑战，勇于探究的精神和蔼于观看，大胆创新的思维品质。 （三）教学重点与难点 完全平方公式和平方差公式一样是主要的乘法公式，其本质是多项式乘法，是学生今后用于计算的一种重要依据，因此，本节教学的重点与难点如下： 本节的重点是体会公式的发觉和推导过程，理解公式的本质，并会运用公式进展简洁的计算。 本节的难点是从广泛意义上理解公式中的字母含义，判明要计算的代数式是哪两数的和（差）的平方。 （一）教学方法： 针对初一学生的形象思维大于抽象思维，留意力不能长久等年龄特点，及本节课实际，采纳自主探究，启发引导，合作沟通绽开教学，引导学生主动地进展观看、猜想、验证和沟通。同时考虑到学生的认知方式、思维水平和学习力量的差异进展分层次教学，让不同层次的学生都能主动参加并都能得到充分的进展。边启发，边探究边归纳，突出以学生为主体的探究性学习活动和因材施教原则，教师努力为学生的探究性学习制造学问环境和气氛，遵循学问产生过程，从特别一般特别，将所学的学问用于实践中。 采纳小组争论，大组竞赛等多种形式激发学习兴趣。 （二）教学手段： 利用投影仪帮助教学，突破教学难点，公式的推导变成生动、形象、直观，提高教学效率。 （三）学法指导： 在学法上，教师应引导学生积极思维，鼓舞学生进展合作学习，让每个学生都动口、动手、动脑，自己归纳出运算法则，培育学生学习的主动性和积极性。 依据本节内容特点，本着循序渐进的原则，我将以“边长为(a+b)的正方形面积是多少？”这个实际问题引入新课，关于两数和的平方公式通过实例、推导、验证几个步骤完成。关于两数差的平方公式，我将为学生供应三种不同的思路，由学生自己选择学习、理解，然后再归纳的方法进展，再通过分层次练习，加以稳固。 教 学 过 程 设计意图 一、 如图，有一个边长为a米的正方形广场，则这个广场的面积是多少？ a 若在这个广场的相邻两边铺一条宽为10米的道路，则面积是多少？ a 10 引导学生利用图形分割求面积。 另一方面：正方形 10 10a 102 面积为(a+10)2, 所以： (a+10)2=a2+20a+102 a a2 10a a 10 b ab b2 把10替换为b, (a+b)2=a2+2ab+b2 a a2 ab 提出课题 a b 通过较为简洁的几何图形面积计算和较熟识的整式乖法计算。引入本节学习内容(a+b)(a+b) （依据初一学生年龄特点，采纳图形变化来激发学生学习兴趣） 问题是学问、力量的生长点，通过富有实际意义的问题能激活学生原有认知，促使学生主动地进展探究和思索。 对公式(a+b)2=a2+2ab+b2的形式进展初步熟悉，接触 教 学 过 程 设计意图 1、推导两数和的完全平方公式 计算(a+b)2 解：(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2 2、理解公式特征 算式：两数和的平方 积：两个数的平方和加上这两个数积的2倍 3、语言表达 (a+b)2=a2+2ab+b2用语言如何表达 4、公式(a-b)2=a2-2ab+b2教学 利用多项式乘法 (a-b)2=(a-b)(a-b) 利用换元思想 (a-b)2=a+(-b)2 利用图形 b a (a-b) b a 5、学生总结、归纳： (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 这两个公式叫做完全平方公式，两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和，加上（或减去）这两数积的2倍。 6、公式中的字母含义的理解。（学生答复） (x+2y)2是哪两个数的和的平方？ (x+2y)2=( )2+2( )( )+( )2 (2x-5y)2是哪两个数的差的平方？ (2x+5y)2=( )2+2( )( )+( )2 变式 (2x-5y)2可以看成是哪两个数的和的平方？ 利用多项式乘法推导公式，使学生了解公式的来源以及理解乘法公式的本质。 组织学生小组争论，使学生明确公式特征，加深对公式表象的理解。 由学生对公式 (a+b)2=a2+2ab+b2进展口头语言表达。 (1)说明：教师供应三种模式，由学生选择一种去解决。培育学生学习的主动性，开阔学生的思路。(2)同时对渗透数形结合思想、换元思想，也是分散、分步突破本节的难点的第一个层次；(3)体会辩证统一的唯物主义观点；(4)正确引导学生学习时学问的正迁移。 使学生学会对公式的正确表述，有利于学生正确用于计算之中，此时也可以让学生对两个公式特点进展争论归纳，适当总结肯定的口诀：“头平方，尾平方，两倍的乘积中间放。” 加深学生对公式中的字母含义的理解，明确字母意义的广泛性 教 学 过 程 设计意图 三、整理新知形成构造 1、完全平方公式并分析公式左右的特征。 2、换元的根本想法 四、应用新知，体验胜利 1、例1教学：用完全平方公式计算 (1)(a+3)2 (2)(y- 学生直接运用公式计算，教师板演，讲评时边口述理由,针对第(4)题(-3x-4y)2可以看成是-3x与4y差的平方，也可以看成-3x与-4y和的平方 提出以下问题： （1）可否看成两数和的平方，运用两数和的平方公式来计算？ （2）可否看成两数差的平方，运用两数差的平方公式来计算？ （3）能不能进展符号转化？如(-3x-4y)2=(3x+4y)2 2、公式稳固 （1）同桌同学相互编一道用完全平方公式计算题目，然后解答。 （2）以下各式的计算，错在哪里？应怎样改正？ (a+b)2=a2+b2 (a-b)2=a2-b2 (a-2b)2=a2+2ab+2b2 3、练习：运用完全平方公式计算：(学生板演) (a+5)2 (3+x)2 (y-2)2 (7-y)2 (2x+3y)2(-2x-3y)2 (3- 4、例2，运用完全平方公式计算：(1)1012 (2)982 5、练习：运用完全平方公式计算 (1)912 (2)7982 (3)(10 6、争论：(1-2x)(-1-2x), (x-2y)(-2y+1)如何计算 五、公式拓展，鼓舞探究 1、a2+b2=(a+b)2-_ a2+b2+ _=(a+b)2 a2+b2+ _ =(a-b)2 2、(a+b)2-(a-b)2=_ 3、(a+b+c)2=_ 4、提出思索题：(a+b)3=? (a+b)4=? 5、已知 (1)遵循准时稳固原则。(2)针对初一学生留意力不能长久的特点。(3)形成学问网络，有利于学生进一步学习公式的运用 (1)直接运用公式进展计算。(2)进一步帮忙学生把握换元法。(3)进展符号转化的变换，加深学生对公式理解的深度，也为进一步学习其它学问打好根底。 对这几个式子的辨析目的在于防止学生对以前学过的如(ab)2=a2b2的公式的负迁移作用 讲练结合 (1)合作学习，四人小组争论（教师逐步引导到运用完全平方公式计算）学生讲自己解题的想法和步骤，培育语言表达力量。(2)体会公式实际运用作用，增加学习兴趣 进一步辨析完全平方公式与平方差公式的区分 公式变形利于各种计算 提出一个问题，引导学生用学习讨论完全平方公式的方法去讨论公式的拓展变形问题。如：三项式的平方，两项式的立方、四次方等，培育学生的严谨的治学态度和钻研精神。 教 学 过 程 设计意图 六、小结提高，学问升华 1、两个公式 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 2、两种推导方法：多项式乘法导出；图形面积导出 3、换元法与转化 七、作业布置，分层落实 1、阅读教材 6.17内容 2、见省编作业本 6.17 3、对(a+b)2,(a+b)3 的绽开式从项数、系数方面进展讨论 由学生自己小结本节所学学问、方法等。教师依据学生答复状况作出补充。 (1)作业1主要以培育学习良好的学习习惯为目的。(2)结合学生实际状况，贯彻面对全体学生，因材施教原则。作业2要求全体学都能完成。作业3为选做题，局部学有余力的学生可选做。在减轻学生的课业负担同时，注意人本思想，以学生的力量进展为重。 也能满意不同层次学生的不同要求。 附：板书设计与时间大致安排 屏 幕 课题 公式例题 学生板演 本课时的时间大致安排： 引入课题3分钟左右，探求新知15分钟左右，整理新知2分钟左右，应用新知15分钟左右，公式拓展5分钟左右，小结作业布置约5分钟。 本节课的教学设计注意表达以教师为主导、学生为主体，以进展学生为本的思想。遵循初一学生的心理特点（形象思维大于抽象思维）和认知规律（从特别到一般）。结合学生实际学习状况（已较娴熟把握多项式乘法，并且本节之前也已经学习了平方差公式）进展本课设计的。下面就设计作几点简洁说明： 1、完全平方公式的本质是多项式乘法，它的推导方法与平方差公式推导方法是一样的，依据乘方的意义与多项式乘法法则，就可以推导出完全平方公式。因此在两数和的平方公式推导中，实行先由学生自己计算(a+b)2，然后教师点题的方式，再加上引课时已经由几何图形面积的计算得出的结论(a+b)2=a2+2ab+b2，学生是简单承受的。在两数差的平方公式推导中，更进一步，由学生自主选择一种模式解决、验证，增加了数学课堂的开放性。 2、充分发挥学生自主学习、探究的力量。从引入时图形变换的教师启发引导，到公式验证、推导时的学生自主探究，再到学生与学生之间的合作沟通学习，都突出了学生是探究性学习活动的主体。在公式拓展中还提出了思索题(a+b)3=？(a+b)4=？(a+b+c)2=？培育学生严谨的治学态度和钻研探究的精神。同时让学生明确本节课不仅要学会完全平方公式，更加要学会完全平方公式的推导方法，即授学生以渔，让学生学会学习。 3、在练习设计与作业布置中都表达了分层次教学的要求，让不同层次的学生都能主动的参加并都能得到充分的进展。同时也遵循了面对全体与因材施教相结合的教学原则。 4、充分挖掘本课时教材中的隐含的各种数学思想，在教学中渗透如建模思想、数形结合思想、换元思想、化归思想，注意培育学生的发觉问题、解决问题的力量、求简意识、应用意识、创新力量等各方面力量。 5、公式(a-b)2=a2-2ab+b2可以作为(a+b)2=a2+2ab+b2的一个应用，这样两个公式便统一为一个公式，这样做有助于学生的记忆和理解，但作为应用，实践说明还是把它们分开来用的好。因此，教学中在公式(a-b)2=a2-2ab+b2的推导过程就有意识的安排与(a+b)2=a2-2ab+b2统一，但又它与(a+b)2=a2+2ab+b2同等的对待。最终在小结时，对于两者的联系再加以说明，让学生领悟到数学中的辩证统一思想。 （一）教材的地位与作用 本节内容主要讨论的是完全平方公式的推导和公式在整式乘法中的应用。它是在学生学习了代数式的概念、整式的加减法、幂的运算和整式的乘法后进展学习的，其地位和作用主要表达在以下几方面： （1）整式是初中代数讨论范围内的一块重要内容，整式的运算又是整式中一大主干，乘法公式则是在学习了单项式乘法、多项式乘法之后来进展学习的；一方面是对多项式乘法中消失的较为特别的算式的一种归纳、总结；另一方面，乘法公式的推导是初中代数中运用推理方法进展代数式恒等变形的开端，通过乘法公式的学习对简化某些整式的运算、培育学生的求简意识有较大好处。 （2）乘法公式是后续学习的必备根底，不仅对学生提高运算速度、精确率有较大作用，更是以后学习因式分解、分式运算的重要根底，同时也具有培育学生渐渐养成严密的规律推理力量的功能。 （3）公式的发觉与验证给学生体验规律发觉的根本方法和根本过程供应了很好模式。 （二）教学目标确实定 在素养背景下的数学教学应以学生的进展为本，学生的力量培育为重，尤其是创新、制造力量，以及培育学生良好的共性品质等。依据以上指导思想，同时参照义务教育阶段数学课程标准的要求，确定本节课的教学目标如下： 1、学问目标： 理解公式的推导过程，了解公式的几何背景，会应用公式进展简洁的计算。 2、力量目标： 渗透建模、化归、换元、数形结合等思想方法，培育学生的发觉力量、求简意识、应用意识、解决问题的力量和创新力量。 3、情感目标： 培育学生敢于挑战，勇于探究的精神和蔼于观看，大胆创新的思维品质。 （三）教学重点与难点 完全平方公式和平方差公式一样是主要的乘法公式，其本质是多项式乘法，是学生今后用于计算的一种重要依据，因此，本节教学的重点与难点如下： 本节的重点是体会公式的发觉和推导过程，理解公式的本质，并会运用公式进展简洁的计算。 本节的难点是从广泛意义上理解公式中的字母含义，判明要计算的代数式是哪两数的和（差）的平方。 （一）教学方法： 针对初一学生的形象思维大于抽象思维，留意力不能长久等年龄特点，及本节课实际，采纳自主探究，启发引导，合作沟通绽开教学，引导学生主动地进展观看、猜想、验证和沟通。同时考虑到学生的认知方式、思维水平和学习力量的差异进展分层次教学，让不同层次的学生都能主动参加并都能得到充分的进展。边启发，边探究边归纳，突出以学生为主体的探究性学习活动和因材施教原则，教师努力为学生的探究性学习制造学问环境和气氛，遵循学问产生过程，从特别一般特别，将所学的学问用于实践中。 采纳小组争论，大组竞赛等多种形式激发学习兴趣。 （二）教学手段： 利用投影仪帮助教学，突破教学难点，公式的推导变成生动、形象、直观，提高教学效率。 （三）学法指导： 在学法上，教师应引导学生积极思维，鼓舞学生进展合作学习，让每个学生都动口、动手、动脑，自己归纳出运算法则，培育学生学习的主动性和积极性。 依据本节内容特点，本着循序渐进的原则，我将以“边长为(a+b)的正方形面积是多少？”这个实际问题引入新课，关于两数和的平方公式通过实例、推导、验证几个步骤完成。关于两数差的平方公式，我将为学生供应三种不同的思路，由学生自己选择学习、理解，然后再归纳的方法进展，再通过分层次练习，加以稳固。 教 学 过 程 设计意图 一、 如图，有一个边长为a米的正方形广场，则这个广场的面积是多少？ a 若在这个广场的相邻两边铺一条宽为10米的道路，则面积是多少？ a 10 引导学生利用图形分割求面积。 另一方面：正方形 10 10a 102 面积为(a+10)2, 所以： (a+10)2=a2+20a+102 a a2 10a a 10 b ab b2 把10替换为b, (a+b)2=a2+2ab+b2 a a2 ab 提出课题 a b 通过较为简洁的几何图形面积计算和较熟识的整式乖法计算。引入本节学习内容(a+b)(a+b) （依据初一学生年龄特点，采纳图形变化来激发学生学习兴趣） 问题是学问、力量的生长点，通过富有实际意义的问题能激活学生原有认知，促使学生主动地进展探究和思索。 对公式(a+b)2=a2+2ab+b2的形式进展初步熟悉，接触 教 学 过 程 设计意图 1、推导两数和的完全平方公式 计算(a+b)2 解：(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2 2、理解公式特征 算式：两数和的平方 积：两个数的平方和加上这两个数积的2倍 3、语言表达 (a+b)2=a2+2ab+b2用语言如何表达 4、公式(a-b)2=a2-2ab+b2教学 利用多项式乘法 (a-b)2=(a-b)(a-b) 利用换元思想 (a-b)2=a+(-b)2 利用图形 b a (a-b) b a 5、学生总结、归纳： (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 这两个公式叫做完全平方公式，两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和，加上（或减去）这两数积的2倍。 6、公式中的字母含义的理解。（学生答复） (x+2y)2是哪两个数的和的平方？ (x+2y)2=( )2+2( )( )+( )2 (2x-5y)2是哪两个数的差的平方？ (2x+5y)2=( )2+2( )( )+( )2 变式 (2x-5y)2可以看成是哪两个数的和的平方？ 利用多项式乘法推导公式，使学生了解公式的来源以及理解乘法公式的本质。 组织学生小组争论，使学生明确公式特征，加深对公式表象的理解。 由学生对公式 (a+b)2=a2+2ab+b2进展口头语言表达。 (1)说明：教师供应三种模式，由学生选择一种去解决。培育学生学习的主动性，开阔学生的思路。(2)同时对渗透数形结合思想、换元思想，也是分散、分步突破本节的难点的第一个层次；(3)体会辩证统一的唯物主义观点；(4)正确引导学生学习时学问的正迁移。 使学生学会对公式的正确表述，有利于学生正确用于计算之中，此时也可以让学生对两个公式特点进展争论归纳，适当总结肯定的口诀：“头平方，尾平方，两倍的乘积中间放。” 加深学生对公式中的字母含义的理解，明确字母意义的广泛性 教 学 过 程 设计意图 三、整理新知形成构造 1、完全平方公式并分析公式左右的特征。 2、换元的根本想法 四、应用新知，体验胜利 1、例1教学：用完全平方公式计算 (1)(a+3)2 (2)(y- 学生直接运用公式计算，教师板演，讲评时边口述理由,针对第(4)题(-3x-4y)2可以看成是-3x与4y差的平方，也可以看成-3x与-4y和的平方 提出以下问题： （1）可否看成两数和的平方，运用两数和的平方公式来计算？ （2）可否看成两数差的平方，运用两数差的平方公式来计算？ （3）能不能进展符号转化？如(-3x-4y)2=(3x+4y)2 2、公式稳固 （1）同桌同学相互编一道用完全平方公式计算题目，然后解答。 （2）以下各式的计算，错在哪里？应怎样改正？ (a+b)2=a2+b2 (a-b)2=a2-b2 (a-2b)2=a2+2ab+2b2 3、练习：运用完全平方公式计算：(学生板演) (a+5)2 (3+x)2 (y-2)2 (7-y)2 (2x+3y)2(-2x-3y)2 (3- 4、例2，运用完全平方公式计算：(1)1012 (2)982 5、练习：运用完全平方公式计算 (1)912 (2)7982 (3)(10 6、争论：(1-2x)(-1-2x), (x-2y)(-2y+1)如何计算 五、公式拓展，鼓舞探究 1、a2+b2=(a+b)2-_ a2+b2+ _=(a+b)2 a2+b2+ _ =(a-b)2 2、(a+b)2-(a-b)2=_ 3、(a+b+c)2=_ 4、提出思索题：(a+b)3=? (a+b)4=? 5、已知 (1)遵循准时稳固原则。(2)针对初一学生留意力不能长久的特点。(3)形成学问网络，有利于学生进一步学习公式的运用 (1)直接运用公式进展计算。(2)进一步帮忙学生把握换元法。(3)进展符号转化的变换，加深学生对公式理解的深度，也为进一步学习其它学问打好根底。 对这几个式子的辨析目的在于防止学生对以前学过的如(ab)2=a2b2的公式的负迁移作用 讲练结合 (1)合作学习，四人小组争论（教师逐步引导到运用完全平方公式计算）学生讲自己解题的想法和步骤，培育语言表达力量。(2)体会公式实际运用作用，增加学习兴趣 进一步辨析完全平方公式与平方差公式的区分 公式变形利于各种计算 提出一个问题，引导学生用学习讨论完全平方公式的方法去讨论公式的拓展变形问题。如：三项式的平方，两项式的立方、四次方等，培育学生的严谨的治学态度和钻研精神。 教 学 过 程 设计意图 六、小结提高，学问升华 1、两个公式 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 2、两种推导方法：多项式乘法导出；图形面积导出 3、换元法与转化 七、作业布置，分层落实 1、阅读教材 6.17内容 2、见省编作业本 6.17 3、对(a+b)2,(a+b)3 的绽开式从项数、系数方面进展讨论 由学生自己小结本节所学学问、方法等。教师依据学生答复状况作出补充。 (1)作业1主要以培育学习良好的学习习惯为目的。(2)结合学生实际状况，贯彻面对全体学生，因材施教原则。作业2要求全体学都能完成。作业3为选做题，局部学有余力的学生可选做。在减轻学生的课业负担同时，注意人本思想，以学生的力量进展为重。 也能满意不同层次学生的不同要求。 附：板书设计与时间大致安排 屏 幕 课题 公式例题 学生板演 本课时的时间大致安排： 引入课题3分钟左右，探求新知15分钟左右，整理新知2分钟左右，应用新知15分钟左右，公式拓展5分钟左右，小结作业布置约5分钟。 本节课的教学设计注意表达以教师为主导、学生为主体，以进展学生为本的思想。遵循初一学生的心理特点（形象思维大于抽象思维）和认知规律（从特别到一般）。结合学生实际学习状况（已较娴熟把握多项式乘法，并且本节之前也已经学习了平方差公式）进展本课设计的。下面就设计作几点简洁说明： 1、完全平方公式的本质是多项式乘法，它的推导方法与平方差公式推导方法是一样的，依据乘方的意义与多项式乘法法则，就可以推导出完全平方公式。因此在两数和的平方公式推导中，实行先由学生自己计算(a+b)2，然后教师点题的方式，再加上引课时已经由几何图形面积的计算得出的结论(a+b)2=a2+2ab+b2，学生是简单承受的。在两数差的平方公式推导中，更进一步，由学生自主选择一种模式解决、验证，增加了数学课堂的开放性。 2、充分发挥学生自主学习、探究的力量。从引入时图形变换的教师启发引导，到公式验证、推导时的学生自主探究，再到学生与学生之间的合作沟通学习，都突出了学生是探究性学习活动的主体。在公式拓展中还提出了思索题(a+b)3=？(a+b)4=？(a+b+c)2=？培育学生严谨的治学态度和钻研探究的精神。同时让学生明确本节课不仅要学会完全平方公式，更加要学会完全平方公式的推导方法，即授学生以渔，让学生学会学习。 3、在练习设计与作业布置中都表达了分层次教学的要求，让不同层次的学生都能主动的参加并都能得到充分的进展。同时也遵循了面对全体与因材施教相结合的教学原则。 4、充分挖掘本课时教材中的隐含的各种数学思想，在教学中渗透如建模思想、数形结合思想、换元思想、化归思想，注意培育学生的发觉问题、解决问题的力量、求简意识、应用意识、创新力量等各方面力量。 5、公式(a-b)2=a2-2ab+b2可以作为(a+b)2=a2+2ab+b2的一个应用，这样两个公式便统一为一个公式，这样做有助于学生的记忆和理解，但作为应用，实践说明还是把它们分开来用的好。因此，教学中在公式(a-b)2=a2-2ab+b2的推导过程就有意识的安排与(a+b)2=a2-2ab+b2统一，但又它与(a+b)2=a2+2ab+b2同等的对待。最终在小结时，对于两者的联系再加以说明，让学生领悟到数学中的辩证统一思想。