资源描述
《整式》教学设计
【教学目标】
1．知识与能力
理解并掌握整式的有关概念，能够对一些整式进行分析．
2．过程与方法
能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，使学生经历对具体问题的探索过程，培养符号感．
3．情感、态度与价值观
通过丰富有趣的现实情境，使学生经历从具体问题中抽象出数量关系的过程，在解决问题中了解数学的价值，增强学生“用数学”的信心．
【重点难点】
1．教学重点：单项式的系数、次数，多项式的项数、次数等概念．
2．教学难点：对整式有关概念的理解．
【教学方法】
创设情境——主体探究——合作交流——应用提高．
【教学过程】
一、创设情境，激发学生的兴趣，引出本节课所要研究的内容
活动 1：填空，观察所填式子的特点．
（1）边长为 x 的正方形的周长是__________；
（2）一辆汽车的速度是 v 千米/时，行驶 t 小时所走的路程是_______千米；
（3）若一个正方体的边长是 a，则它的表面积是_______，体积是________；
（4）设 n 是一个数，则它的相反数是________．
学生活动设计：
学生自己解决上述问题，然后观察所填式子，归纳其特点，进而初步理解单项式的概念．所填式子是 4x、vt、6a2、a3、-n，特点是它们都是数字或字母的乘积．
教师活动设计：
引导学生在观察的基础上归纳单项式的定义：
由数字或字母的乘积组成的式子是单项式．
分析式子 4x、vt、6a2、a3、-n 得出：
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数（4x、vt、6a2、a3、-n 的系数分别是 4、1、6、1、-1）；单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数（4x、vt、6a2、a3、-n 的次数分别是 1、2、2、3、1）．
活动 2：根据对单项式的理解，解决下列问题：
（1）小明房间的窗户如图（1）所示，其中上方的装饰物由两个四分之一圆和一个半圆组成（它们的半径相同）．
图（1）
装饰物所占的面积是多少？
（2）某校学生总数为 x，其中男生人数占总数的，男生人数为________；
（3）一个长方体的底面是边长为 a 的正方形，高是 h，体积是________．
学生活动设计：
学生独立思考，分析问题（1）中装饰物是由两个四分之一圆和一个半圆组成，它们的半径相同，由图中的已知条件可知半径为，所以装饰物所占的面积恰好是半径为的一个圆的面积，即b2；问题（2）中男生人数为x；问题（3）中这个长方体的体积是 a2h．
教师活动设计：
引导学生在解决问题后，分析各个单项式的系数和次数，并进行交流，在交流中纠正一些不正确的想法．
二、问题引申、探索多项式的有关概念
活动 3：填空，然后分析所填式子的特点．
（1）温度由 t℃ 下降 5℃ 后是________℃；
（2）买一个篮球需要 x 元，买一个排球需要 y 元，买一个足球需要 z 元，买 3 个篮球、5 个排球、2 个足球共需要________元；
（3）如图（2），三角尺的面积是________；
图（2） 图（3）
（4）如图（3）是一所住宅的建筑平面图，这所住宅的建筑面积是_______平方米．
学生活动设计：
学生自己解决上述问题，然后观察所填式子，归纳其特点，进而初步理解多项式的概念．所填式子是
t - 5、3x + 5y + 2z、ab - mn、x2 + 2x + 38，特点是都可以看成是单项式的和组成的式子．
教师活动设计：
引导学生在观察的基础上归纳多项式的定义及相关概念：
几个单项式的和叫做多项式．
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中，不含字母的项叫做常数项．一般地，多项式里次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数．
单项式与多项式统称为整式．
让学生分析上述多项式中的项、次数等．
t - 5 的项是 t 和 -5，次数是 1；3x + 5y + 2z 的项是 3x、5y、2z，次数是 1；ab - mn 的项是 ab 和 -mn，次数是 2；x2 + 2x + 38 的项是 x2、2x、38，次数是 2．
同时让学生辨别多项式是单项式的和，因此多项式的项包含它前面的符号．例如多项式 3x - 4y 的第二项是 -4y，而不是 4y．
三、应用提高、拓展创新
问题 1：用单项式填空，并指出它们的系数和次数：
（1）每包书有 12 册，n 包书有_______册；
（2）底边长为 a，高为 h的三角形的面积是________；
（3）一个长方体的长、宽都是 a，高是 h，它的体积是_________；
（4）一台电视机原价 a 元，现按原价的 9 折出售，则这台电视机现在售价为________；
（5）一个方长形的长是 0.9，宽是 a，这个长方形的面积是________．
解：（1）n 包书有 12 n 册，单项式 12 n 的系数是 12，次数是 1；
（2）三角形的面积是 ah，单项式 ah 的系数是 ，次数是 2；
（3）长方体的体积是 a2h，单项式 a2h 的系数是 1，次数是 3；
（4）电视机的售价是 0.9a 元，单项式 0.9a 的系数是 0.9，次数是 1；
（5）长方形的面积是 0.9a，单项式 0.9a 的系数是 0.9，次数是 1．
问题 2：用多项式填空，并指出它们的项和次数：
（1）温度由 t ℃ 下降 5 ℃ 后是_______℃；
（2）甲数 x 的 与乙数 y 的 的差可以表示为_______；
（3）如图（4），圆环的面积为_______；
图 （4） 图 （5）
（4）如图（5），钢管的体积是_______．
解：（1）（t - 5），多项式 t - 5 的项是 t 和 -5，次数是 1；
（2）x - y，多项式 x - y 的项是 x 和 -y，次数是 1；
（3）pR2 - pr2，多项式 pR2 - pr2 的项是 pR2 和 -pr2，次数是 2；
（4）pR2a，多项式 pR2a 的项是 pR2a，次数是 3．
问题 3：一条河流的水流速度为 2.5 千米/时，如果已知船在静水中的速度，那么船在这条河流中顺水行驶和逆水行驶的速度分别怎样表示？如果甲、乙两条船在静水中的速度分别是 20 千米/时和 35 千米/时，则它们在这条河流中顺水行驶和逆水行驶的速度各是多少？
分析：我们知道船在河流中行驶时，船的速度需要分两种情况讨论：
顺水行驶：船的速度 = 船在静水中的速度 + 水流速度；
逆水行驶：船的速度 = 船在静水中的速度 - 水流速度．
在上面的两个关系式中，如果用字母表示船在静水中的速度，那么船的速度就可以用含字母的式子表示出来．
解：设船在静水中的速度为 v千米/时．
当船顺水行驶时，船的速度为（v + 2.5）千米/时：
当船逆水行驶时，船的速度为（v - 2.5）千米/时．
若甲船在静水中的速度是 20 千米/时，即 v = 20，则
v + 2.5 = 20 + 2.5 = 22.5，
v - 2.5 = 20 - 2.5 = 17.5；
若乙船在静水中的速度是 35 千米/时，即 v = 35，则
v + 2.5 = 35 + 2.5 = 37.5，
v - 2.5 = 35 - 2.5 = 32.5．
由上可知，甲船顺水行驶的速度是 22.5 千米/时，逆水行驶的速度是 17.5 千米/时；乙船顺水行驶的速度是 37.5 千米/时，逆水行驶的速度是 32.5 千米/时．
问题 4：小红和小兰房间窗户的装饰物如图（6）、图（7）所示，它们分别由两个四分之一圆和四个半圆组成（半径分别相同）．
图（6） 图（7）
（1）窗户中能射进阳光的部分的面积分别是多少？（窗框面积忽略不计．）
（2）你能指出其中的单项式或多项式吗？它们的次数分别是多少？指出多项式中的各项．
学生独立分析：
左图小红房间的装饰物所占的面积相当于半径为的圆的面积的一半，即b2．窗户中能射进阳光的部分的面积为 ab-b2；
右图小兰房间的装饰物所占的面积是半径为的两个小圆的面积，即 2×b2 = b2．窗户中能射进阳光的部分的面积是 ab -b2．
ab - b2 和 ab - b2 都是多项式，且次数都是 2． ab - b2 的项是 ab 和 -b2；ab - b2 的项是 ab 和 -b2．
教师活动设计：
引导学生作以上分析，在寻找多项式中的项时进一步理解项的含义．
〔解答〕略．
四、归纳小结、布置作业
小结：
整式的概念，单项式、多项式及其相关概念．
作业：
第 164 页练习，习题 15.1 第 1、5、8 题．
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