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第三章 行列式
教学目的 熟练应用行列式的性质计算行列式；正确理解余子式和代数余

子式概念；利用克拉默规则讨论和求解线性方程组

教学内容及学时分配 线性方程组与行列式（1 学时）；排列（2 学时）；n

阶行列式（6 学时）；行列式的展开（6 学时）；克拉默规则（3 学时）；习题课（2

学时）;。

教学重点 熟练应用行列式的性质计算行列式

教学难点 证明和讨论行列式的性质

教学方法与手段 讲授、问答、讨论、辅以多媒体教学
3.1 线性方程组与行列式
教学目的 了解引入二阶行列式和三阶行列式在解线性方程组中的应用
教学重点 知道引入二阶行列式和三阶行列式的意义

教学难点 二阶行列式和三阶行列式的概念

教学过程

在中学代数中学过，对于二元线性方程组

,

当二阶行列式

时，该方程组有唯一解，即

，
对于三元线性方程组
，
，

当

时，该方程组有唯一解，即

， ， ，
在这一章我们把这个结论推广到n元线性方程组

……

的情形。为此，我们首先给出级行列式的定义并讨论它的性质。

3.2 排列
教学目的 理解掌握排列、反序、反序数的求法

教学重点 反序数的求法

教学难点 理解反序数的概念

教学过程

定义 1 由1,2,......, n 组成的一个有序数组称为一个级排列

例 2431是一个 4 级排列，45321 是一个 5 级排列

显然， n 级排列的总数是 n(n -1)(n - 2).......21

我们记 1⋅ 2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅(n -1)n = n!

读为" n 阶乘"。

定义 2 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的

数大于后面的数，那么它们就称为一个反序。一个排列中反序的个数称为这个排

列的反序数。

例 2431 中，21，43，41，31 是反序，2431 的反序数是 4。45321 的反序

数为 9。

排列 的反序数记为。

定义 3 反序数为偶数的排列称为偶排列，反序数为奇数的排列称为奇排列

例如 2431 为偶排列，45321 为奇排列。

定义 把一个排列中两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排

列。这样的一个变换称为对换。

定理 3.2.1 对换改变排列的奇偶性。

推论 奇数次对换改变排列的奇偶性，偶数次不改变排列的奇偶性

定理 3.2.2 任意一个 n 级排列与排列 12¼¼n 都可以经过一系列的对换互

变，并且所做的对换的个数与这个排列有相同的奇偶性。
作业 P 110 1.(3) 2
3.3 n 阶行列式
教学目的 理解掌握行列式的定义与简单性质,熟练计算行列式

教学重点 理解掌握行列式的定义与性质

教学难点 n 阶行列式的定义，行列式性质的证明

教学过程

在给出 n 级行列式的定义之前，先看一下二级行列式与三级行列式的定义

它们都是一些乘积的和，而每一个乘积都是由行列式中位于不同的行和不同的列的元素构

成的，并且展开式恰恰就是由所有这种可能的乘积组成。

定义 4 n 级行列式

⑷
等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积
⑸
的代数和，这里是的一个排列，每一项⑸都下列规则带符号，当时偶排列时，⑸带正号，当是奇排列时，⑸带负号，这一定义可以写成

这里，表示对所有打的n级排列求和。
显然，n级行列式是有由n﹗项组成。

例1 计算行列式

解 由定义知

引理3.3.1 从n阶行列式的第行和第列取出元素作乘积
,
这里和都是这n个数码的排列.那么这一项在行列式中的符号是， ， .
命题3.3.1 行列互换，行列式不变，即

命题3.3.2
,
命题3.3.3

命题3.3.4 如果行列式有两行相同，那么行列式为零。所谓两行相同就是说两行对应的元素相同。
命题3.3.5 如果行列式中两行成比例，那么行列式为零。
命题3.3.6 把一行的倍数加到另一行，行列式不变。
命题3.3.7 对换行列式中两行的位置，行列式变号。
例3 计算行列式

解 经过一些列初等行变化换可得

作业 5.7.8
3.4 子式和代数余子式 行列式的依行依列展开
教学目的 理解掌握余子式，代数余子式概念，利用行列式按一行展开求

行列式

教学重点 行列式按一行展开求行列式

教学难点 行列式按一行展开的证明

教学过程

定义 1 在行列式

中划去元素 a ij 所在的第 i 行和第 j 列，剩下的 (n -1) 个元素按原来的排法构成一

个 n -1阶的行列式

称为元素的余子式，记为
可以证明
定义 2 上面的 A ij 称为元素 a ij 的代数余子式。

定义 2 上面的称为元素的代数余子式。则，反过来，如果令第行的元素等于第行的元素，也就是

也就是说，在行列式中，一行的元素与另一行相应元素的代数余子式的乘积之和为零。
定理3.4.1 设

定义 2 上面的 A ij 称为元素 a ij 的代数余子式。

表示元素的代数余子式，
例1 计算行列式

解 先按第5例，再按第1例展开可得

例2 行列式

称为n阶范德蒙(Vandermonde)行列式，我们来证明，对任意的n阶范德蒙等于，这n个数的所有可能的差的乘积。
用连乘号，这个结果可以写成为

作业 P 134 2.(4),(5) 3
3.5 克拉默规则
教学目的 理解掌握克拉默规则， 利用克拉默规则解线性方程组

教学重点 利用克拉默规则解线性方程组

教学难点 利用克拉默规则解线性方程组

教学过程

定理 3.5.1 如果线性方程组

⑴
……

的系数行列式

那么线性方程组⑴有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为
, , … ,
其中D是把矩阵D的第j列换成方程组的常数项所成矩阵的行列式，即
，
定理中包含着三个结论
1. 方程组有解
2. 解是唯一的
3. 解由上述公式给出
定理 3.5.1 通常称为克拉默规则

例 1 解方程组

解 方程组有唯一解，

作业 P 140 1. 3.