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1、第三章 行列式 教学目的 熟练应用行列式的性质计算行列式；正确理解余子式和代数余 子式概念；利用克拉默规则讨论和求解线性方程组 教学内容及学时分配 线性方程组与行列式（1 学时）；排列（2 学时）；n 阶行列式（6 学时）；行列式的展开（6 学时）；克拉默规则（3 学时）；习题课（2 学时）;。 教学重点 熟练应用行列式的性质计算行列式 教学难点 证明和讨论行列式的性质 教学方法与手段 讲授、问答、讨论、辅以多媒体教学 3.1 线性方程组与行列式 教学目的 了解引入二阶行列式和三阶行列式
2、在解线性方程组中的应用 教学重点 知道引入二阶行列式和三阶行列式的意义 教学难点 二阶行列式和三阶行列式的概念 教学过程 在中学代数中学过，对于二元线性方程组 , 当二阶行列式 时，该方程组有唯一解，即 ， 对于三元线性方程组 ， ， 当
3、 时，该方程组有唯一解，即 ， ， ， 在这一章我们把这个结论推广到n元线性方程组 …… 的情形。为此，我们首先给出级行列式的定义并讨论它的性质。 3.2 排列 教学目的 理解掌握排列、反序、反序数的求法 教学重点 反序数的求法 教学难点 理解反序数的概念 教学过程
4、 定义 1 由1,2,......, n 组成的一个有序数组称为一个级排列 例 2431是一个 4 级排列，45321 是一个 5 级排列 显然， n 级排列的总数是 n(n -1)(n - 2).......21 我们记 1⋅ 2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅(n -1)n = n! 读为" n 阶乘"。 定义 2 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的 数大于后面的数，那么它们就称为一个反序。一个排列中反序的个数称为这个排 列的反序数。 例 2431 中，21，43，41，31 是
5、反序，2431 的反序数是 4。45321 的反序 数为 9。 排列 的反序数记为。 定义 3 反序数为偶数的排列称为偶排列，反序数为奇数的排列称为奇排列 例如 2431 为偶排列，45321 为奇排列。 定义 把一个排列中两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排 列。这样的一个变换称为对换。 定理 3.2.1 对换改变排列的奇偶性。 推论 奇数次对换改变排列的奇偶性，偶数次不改变排列的奇偶性 定理 3.2.2 任意一个 n 级排列与排列 12¼¼n 都可以经过一系列的对换互
6、 变，并且所做的对换的个数与这个排列有相同的奇偶性。 作业 P 110 1.(3) 2 3.3 n 阶行列式 教学目的 理解掌握行列式的定义与简单性质,熟练计算行列式 教学重点 理解掌握行列式的定义与性质 教学难点 n 阶行列式的定义，行列式性质的证明 教学过程 在给出 n 级行列式的定义之前，先看一下二级行列式与三级行列式的定义 它们都是一些乘积的和，而每一个乘积都是由行列式中位于不同的行和不同的列的元素构 成的，并且展开式恰恰就
7、是由所有这种可能的乘积组成。 定义 4 n 级行列式 ⑷ 等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积 ⑸ 的代数和，这里是的一个排列，每一项⑸都下列规则带符号，当时偶排列时，⑸带正号，当是奇排列时，⑸带负号，这一定义可以写成 这里，表示对所有打的n级排列求和。 显然，n级行列式是有由n﹗项组成。 例1 计算行列式 解
8、 由定义知 引理3.3.1 从n阶行列式的第行和第列取出元素作乘积 , 这里和都是这n个数码的排列.那么这一项在行列式中的符号是， ， . 命题3.3.1 行列互换，行列式不变，即 命题3.3.2 , 命题3.3.3 命题3.3.4 如果行列式有两行相同，那么行列式为零。所谓两行相同就是说两行对应的元素相同。 命题3.3.5 如果行列式中两行成比例，那么行列式为零。 命题3.3.6 把一行的倍数加到另
9、一行，行列式不变。 命题3.3.7 对换行列式中两行的位置，行列式变号。 例3 计算行列式 解 经过一些列初等行变化换可得 作业 5.7.8 3.4 子式和代数余子式 行列式的依行依列展开 教学目的 理解掌握余子式，代数余子式概念，利用行列式按一行展开求 行列式 教学重点 行列式按一行展开求行列式 教学难点 行列式按一行展开的证明 教学过程 定义 1 在行列式 中
10、划去元素 a ij 所在的第 i 行和第 j 列，剩下的 (n -1) 个元素按原来的排法构成一 个 n -1阶的行列式 称为元素的余子式，记为 可以证明 定义 2 上面的 A ij 称为元素 a ij 的代数余子式。 定义 2 上面的称为元素的代数余子式。则，反过来，如果令第行的元素等于第行的元素，也就是 也就是说，在行列式中，一行的元素与另一行相应元素的代数余子式的乘积之和
11、为零。 定理3.4.1 设 定义 2 上面的 A ij 称为元素 a ij 的代数余子式。 表示元素的代数余子式， 例1 计算行列式 解 先按第5例，再按第1例展开可得 例2 行列式 称为n阶范德蒙(Vandermonde)行列式，我们来证明，对任意的n阶范德蒙等于，这n个数的所有可能的差的乘积。 用连乘号，这个结果可以写成为
12、 作业 P 134 2.(4),(5) 3 3.5 克拉默规则 教学目的 理解掌握克拉默规则， 利用克拉默规则解线性方程组 教学重点 利用克拉默规则解线性方程组 教学难点 利用克拉默规则解线性方程组 教学过程 定理 3.5.1 如果线性方程组 ⑴ ……
13、 的系数行列式 那么线性方程组⑴有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为 , , … , 其中D是把矩阵D的第j列换成方程组的常数项所成矩阵的行列式，即 ， 定理中包含着三个结论 1. 方程组有解 2. 解是唯一的 3. 解由上述公式给出 定理 3.5.1 通常称为克拉默规则 例 1 解方程组 解 方程组有唯一解， 作业 P 140 1. 3.
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