数论班100题手册.doc

数论短期班100题手册
知识框架体系
一、奇偶性质
1． 奇数和偶数的表示方法：
因为偶数是的倍数，所以通常用这个式子来表示偶数(这里是整数)；
因为任何奇数除以其余数总是，所以通常用式子来表示奇数(这里是整数)．
特别注意，因为能被整除，所以是偶数．最小的奇数是，最小的偶数是．

2． 奇数与偶数的运算性质：
性质一：偶数偶数=偶数(偶数偶数=偶数)
奇数奇数=偶数(奇数奇数=偶数)
偶数奇数=奇数(偶数奇数=奇数)
可以看出：一个数加上(或减去)偶数，不改变这个数的奇偶性；
　　　　　一个数加上(或减去)奇数，它的奇偶性会发生变化．
(也可以这样记：奇偶性相同的数加减得偶数，奇偶性不同的数加减得奇数．)

性质二：偶数奇数=偶数(推广开来还可以得到：偶数个奇数相加得偶数)
偶数偶数=偶数(推广开就是：偶数个偶数相加得偶数)
奇数奇数=奇数(推广开就是：奇数个奇数相加得奇数)
可以看出：一个数乘以偶数时，乘积必为偶数；几个数的积为奇数时，每个乘数都是奇数．
(也可以这样简记：对于乘法，见偶(数)就得偶(数))．

性质三：任何一个奇数一定不等于任何一个偶数．

二、整除
1． 整除的定义
所谓“一个自然数a能被另一个自然数b整除”就是说“商是一个整数”；或者换句话说：存在着第三个自然数c，使得．这是我们就说“b整除a”或者“a被b整除”，其中b叫a的约数，a是b的倍数，记作：“”．

2． 整除性质：
⑴ 传递性 若，，则．
⑵ 可加性 若，，则．
⑶ 可乘性 若，，则．

3． 整除的特征
⑴的整除特征
能否被和整除是看末两位；能否被和整除是看末三位；能否被和整除是看末四位
(,,,)

⑵ 的整除特征
能否被整除是看数字之和是否是的倍数，并且这个数除以的余数和这个数数字之和除以的余数相同，因此判断一个数除以九余几就可以先把和是的倍数的数划掉，剩下的数是几就代表这个数除以九余几

⑶的整除特征
①能否被，，整除规律是把数从末三位开始，三位为一段断开，只需看奇数段的和与偶数段的和的差是否为，，的倍数，并且奇数段的和减去偶数段的和的差被除余几就代表 这个数除以余几
②能否被整除规律是从右开始数奇数位数字之和与偶数位数字之和的差是否为的倍数，并且算出的差除以余几就代表这个数除以余几

⑷其他一些数的整除规律是拆成一些熟悉的数的整除特征
如，，，
（这样我们就知道至所有整数的整除特征）

三、约数和倍数
1． 约数和倍数定义
⑴约数和倍数的定义：如果一个自然数能被自然数整除，那么称为的倍数，为的约数．
⑵最大公约数的定义：如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数．在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数．例如：，．
⑶最小公倍数的定义：如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数．在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数．例如：，．

2． 约数和倍数
⑴最大公约数的性质：
①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；
②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；
③几个数都乘以一个自然数，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以．
⑵最小公倍数的性质：
①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．
②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．
③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．
⑶最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：
①，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；
②最大公约数是、、、及最小公倍数的约数．

3． 求一组分数的最大公约数与最小公倍数
⑴求一组分数的最大公约数：
先将各个分数化为假分数；求出各个分数的分母的最小公倍数；求出各个分数的分子的最大公约数；即为所求．
⑵求一组分数的最小公倍数方法步骤：
先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数；求出各个分数分母的最大公约数；即为所求．
例如：

四、质数、合数
1． 相关定义
质数：一个数除了和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).
合数：一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.要特别记住：和不是质数，也不是合数.
质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.
互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.
分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.

常用的以内的质数：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共计个；除了其余的质数都是奇数；除了和，其余的质数个位数字只能是，，或.
考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数的特殊性为考点.
⑵ 除了和，其余质数个位数字只能是，，或.这也是很多题解题思路，需要大家注意.

部分特殊数的质因数分解：；；；；；；；；.

2． 判断一个数是否为质数的方法
根据定义如果能够找到一个小于的质数(均为整数)，使得能够整除，那么就不是质数，所以我们只要拿所有小于的质数去除就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的，我们可以先找一个大于且接近的平方数，再列出所有不大于的质数，用这些质数去除，如没有能够除尽的那么就为质数.
例如：很接近，根据整除的性质不能被、、、、整除，所以是质数.

3． 约数个数定理
设自然数的质因子分解式如.
那么的约数个数为
自然数的约数和为

五、余数问题
1． 余数的定义
一般地，如果是整数，是整数,若有，或者,；
当时，我们称能被整除；
当时，我们称不能被整除，为除以的余数，为除以的商．

2． 余数的性质
①被除数除数商余数；除数(被除数余数)商；商(被除数余数)除数；
②余数小于除数．
③如果除以的余数相同，就称对于除数来说是同余的，且有与的差能被整除．(均为自然数)
例如：与除以的余数都是，所以能被整除．

④如果与的和除以的余数，等于分别除以的余数之和(或这个和除以的余数)．
例如：除以的余数分别是和，所以除以的余数等于．
注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以的余数．
例如：除以的余数分别是和，所以除以的余数等于除以的余数．
⑤如果与的乘积除以的余数，等于分别除以的余数之积(或这个积除以的余数)．
例如：除以的余数分别是和，所以除以的余数等于．
注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以的余数．
例如：除以的余数分别是和，所以除以的余数等于除以的余数．

六、中国剩余定理
在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以余，除以余，除以余，求这个数．这样的问题，有人称为“韩信点兵”．它形成了一类问题，解这类问题的方法是由中国人首先提出的，所以被称为“中国剩余定理”．
我们在解决类似“物不知其数”题，也就是出现一个数除以余,除以余,除以余这一类问题的时候，我们有“四大绝招”把余数问题转化为“整除问题”:
绝招一：减同余。
例如,则有,且,,而的最小值就是;
绝招二：加同补。
例如：;则有，而的最小值是;
绝招三：中国剩余定理。
绝招四：逐级满足法。

七、最大与最小
两个数的和一定，差越小，积越大．(另外一层含义就是：和一定，差越大，积越小)
两个数的积一定，差越小，和越小．(另外一层含义就是：积一定，差越大，和越大)

八、平方数
1． 定义
我们把一个自然数平方所得到的数叫做完全平方数或叫做平方数。如.，，，…，，，…其中，，，…，，，…都叫做完全平方数。平方数分解质因数后，它的质因数必定会成对出现。

2． 完全平方数的有关性质
性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9。
性质2：完全平方数被3，4，5，8，12，16除的余数一定是完全平方数。
性质3：完全平方数的约数一定有奇数个，反之亦然。因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次.
性质4：如果一个完全平方数的个位是6，则十位是奇数，反之亦然。
性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数。如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个。
性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数。
性质7：平方差公式:
性质8：偶数的完全平方是4的倍数，奇数的完全平方被4除一定余1，任何自然数的平方数不可能被4除余2

3． 完全平方数的判别方法：
(1)两个连续自然数的乘积不是完全平方数．
(2)两个连续自然数的平方数之间不再有平方数．
(3)一个整数如果除以4余2或者除以4余3，那么这个整数肯定不是完全平方数．
(4)一个整数如果除以3余2，那么这个整数肯定不是完全平方数．
(5)完全平方数的个位数字是奇数时，其十位上的数字必为偶数；若个位数字是6时，其十位上的数字必为奇数．

九、 整数的拆分
若干个整数的和已知，使这些整数的积最大的方法：
拆分原则：多拆3，最多拆两个2，不拆1，这样拆分后乘积最大。

冲刺练习
兴趣篇
1. 有多少个四位数满足以下条件：
①它的各位数都是互不相同的奇数；
②它的每个数字都能整除它本身.

2. 一个三位数的各位数字之和是17.其中十位数字比个位数字大1.如果把这个三位数的百位数字与个位数字对调,得到一个新的三位数,则新的三位数比原三位数大198,求原数.

3. 一个两位数,在它的前面写上3,所组成的三位数比原两位数的7倍多24,求原来的两位数.

4. 把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数,它与原数相加,和恰好是某自然数的平方,这个和是多少?

5. 有一个两位数,如果用它去除以个位数字,商为9余数6,如果用这个两位数除以个位数字与十位数字之和,则商为5余数为3,求这个两位数.

6. 如果现在是上午的10点21分,那么在经过28799...99(一共有20个9)分钟之后的时间将是几点几分?

7. 甲、乙两数之和加上甲数是220，加上乙数是170，甲、乙两数之和是多少？

8. 小明做两个整数的加法，他把万位上的8看成了3，百位上的7看成了9，个位上的5看成了6，算得的结果是49920。问：正确的结果是多少？

9. 被除数比除数的3倍多1，并且已知被除数、除数、商和余数的和是81，求被除数和除数。

10. 一个整数除以15余2，被除数、商和余数的和是100，求被除数和商。

11. 如果四位数6□□8能被73整除，那么商是多少？

12. 如果四位数5□□6能被34整除，那么可以有多少个不同的商？

13. 个位数是6，且能被3整除的四位数有多少个？

14. 三个数的和是555，这三个数分别能被3，5，7整除，而且商都相同，求这三个数。

15. 有一个两位数，如果把数码1加写在它的前面，那么可得到一个三位数，如果把1加写在它的后面，那么也可以得到一个三位数，而且这两个三位数相差414，求原来的两位数。

16. 有一个三位数，如果把数码6加写在它的前面，则可得到一个四位数，如果把6加写在它的后面，则也可以得到一个四位数，且这两个四位数之和是9999，求原来的三位数。

17. 有11张卡片，分别写有1～11这11个自然数。现在要将这11张卡片分为两堆，使得一堆所有卡片上的数字之和是奇数，另一堆所有卡片上的数字之和是偶数。能否做到？

18. 任意交换某个三位数的数字顺序得到一个新的三位数，原三位数与新三位数之和能否等于999？

19. “任何不小于4的偶数都可以表示为两个质数之和”，这就是著名的哥德巴赫猜想。例如8=3+5，但是8只有这一种表示形式，而22却有3+19和5+17两种表示成两个不同质数之和的形式。那么，能有两种表示成不同质数之和形式的最小自然数是几？

20. 两个质数的和是39，求这两个质数的积。

21. ，，为三个质数，，，且，求这三个质数。

22. 将四个不同的合数分成两组，要求每组的两个合数之和都相等，而且每组的两个合数互质。这四个合数之和最小可以是多少？

23. 把40，44，45，63，65，78，99，105这八个数平分成两组，使每组四个数的乘积相等。

24. ，这个乘积的末尾共有多少个0？将这个乘积再乘上一个个位不是0的数，使得最后的结果的末尾有尽量多的0，此时，末尾将有多少个0？

25. 求下列各式所得结果的个位数字：
⑴； ⑵；　⑶.

26. 用108除一个数余100，如果改用36除这个数，那么余数是几？

27. 1111除以一个两位数，余数是66，求这个两位数。

28. 老师在黑板上写下三个数：108，396，A，让同学们求它们的最小公倍数。小马虎误将108当做180进行计算，结果竟然与正确答案一致。A最小等于几？

29. 两数相除，商是499，余数是3，被除数最小是几？

30. 求这样的三位数，它除以9所得的余数等于组成它的三个数字的平方和。

提高篇
31. 如果四个两位质数两两不同，并且满足，等式．那么，
⑴的最小可能值是多少?
⑵的最大可能值是多少?

32. 把1至2005这2005个自然数依次写下来得到一个多位数123456789.....2005,这个多位数除以9余数是多少?

33. 和是小于100的两个非零的不同自然数。求的最小值

34. 已知都是非0自然数,的近似值是,那么它的准确值是多少?

35. 一个六位数的末位数字是2,如果把2移到首位,原数就是新数的3倍,求原数.

36. 有一个四位数,个位数字与百位数字的和是12,十位数字与千位数字的和是9,如果个位数字与百位数字互换,千位数字与十位数字互换,新数就比原数增加2376,求原数.

37. 有一个两位数，如果把数码3加写在它的前面，则可得到一个三位数，如果把3加写在它的后面，则也可也以得到一个三位数，如果在它前后各加写一个数码3，则可得到一个四位数。将这两个三位数和一个四位数相加等于3600。求原来的两位数。

38. 为质数，仍为质数，是不是质数？

39. 下图是一张9行9列的方格纸，在每个方格内填入所在行数与列数之和，例如。在填入的81个数中，偶数有多少个？

40. 有两堆石子，第一堆有1234枚，第二堆有4321枚，每次允许要么从两堆中拿走相同数量的石子(每次拿的数可以不同)，要么从一堆中拿若干枚放入另一堆。问：能否经过若干次操作把两堆石子同时拿光？为什么？

41. 两个连续奇数的乘积是111555，这两个奇数之和是多少？

42. 46305乘以一个自然数，乘积是一个整数的平方。求最小的和这个整数。

43. 将16分解成若干个质数(可以相同)相加的形式，如果这些质数的乘积正好是平方数，那么这个平方数可能是几？

44. ，其中都是自然数，求的最大值。

45. 李老师带领同学们去种树，学生们按人数恰好等分成三组。已知他们共种了312棵树，老师与学生每人种的树一样多，并且不超过10棵。问：一共有多少个学生？每人种了几棵树？

46. 小于2000又与2000互质的数有800个，这800个数相加的和是多少？

47. 无论多少个末两位数是25的数相乘，它们的乘积的末两位数仍是25。我们称25是“变不掉的两位数尾巴”。“变不掉的两位数尾巴”还有76。试求出所有“变不掉的三位数尾巴”

48. 形如(是质数)的质数称为梅森质数，截止到1998年1月，人们已知的最大的梅森质数是，求它的个位数。

49. 用1～ 9这九个数码组成一个没有重复数字的能被11整除的九位数，这样的九位数有31680个，求出其中最大的和最小的。

50. 一个数如果等于除它本身以外的所有约数之和，则称此数为完全数。已知30以内有两个完全数，请将它们找出来。

51. 两数的最大公约数是12，已知有8个约数，有9个约数，求和。

52. 两数的最大公约数是19，最小公倍数是266。求证：这两个数的和或者差能被9整除，或者能被15整除。

53. 某年级150名同学准备选一名同学在庆祝教师节大会上给老师献花。选举的方法是：让150名同学排成一排，由第一名开始报数，报奇数的同学落选退出队列，报偶数的同学站在原位置不动，然后再从头报数，如此继续下去，最后剩下的一名当选。小胖非常想去，他在第一次排队时应该站在队列的什么位置上才能被选中？

54. 分别求满足下列条件的最小自然数：
　　(1)用3除余2，用5除余1，用7除余1；
　　(2)用3除余1，用5除余2，用7除余2；
(3)用3除余2，用7除余4，用11除余1。

55. 有一类自然数，其中每一个数与5的和都是9的倍数，与5的差都是7的倍数。请按从小到大的顺序写出这类自然数中的前三个。

56. 甲、乙、丙、丁四人分扑克牌，先给甲3张，再给乙2张，再给丙1张，最后给丁2张，然后再按照甲3张、乙2张，……的顺序发牌。问：最后一张(第54张)牌发给了谁？

57. 某个自然数除以512余83，除以513也余83。这个自然数除以38余几？

58. 一个自然数被7，8，9除的余数分别为1，2，3，并且三个商数的和是570，求这个自然数。

59. 在一个圆圈上有几十个孔(见下图)，小明像玩跳棋那样，从孔出发沿逆时针方向每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跳回孔。他先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到孔，他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到孔，最后他每隔6孔跳一步，正好跳回孔。问：这个圆上共有多少个孔？

60. 有四个不同的自然数，其中任意两个数的和是2的倍数，任意三个数的和是3的倍数。为使这四个数的和尽可能小，这四个数应分别是几？

拓展篇
61. 如果把任意个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两种可能，那么是多少?

62. 任意选取9个连续的正整数，即它们的乘积为，最小公倍数为．我们知道，除以所得到的商必定是自然数，那么这个商的最大可能值是多少?

63. 现在要制作一些代表三个数字的卡片（例如016、123等），由于数字0、1、8倒过来读时没有任何变化，数字6和9倒过来读时变为9和6，因此有些卡片可以用两次。那么至少要制作多少张卡片即可表达所有的三位数字？

64. 沿江有1，2，3，4，5，6号六个码头，相邻两码头间的距离都相等。早晨有甲、乙两船从1号码头出发，各自在这些码头间多次往返运送货物。傍晚，甲船停泊在6号码头，乙船停泊在1号码头。请说明甲、乙两船的航程不相等。

65. 走廊里有10盏电灯，从1到10编号，开始时电灯全部关闭。有10个学生依次通过走廊，第1个学生把所有的灯绳都拉了一下，第2个学生把2的倍数号的灯绳都拉了一下，第3个学生把3的倍数号的灯绳都拉了一下……第10个学生把第10号灯的灯绳拉了一下。假定每拉动一次灯绳，该灯的亮与不亮就改变一次。试判定：当这10个学生通过走廊后，走廊里哪些号数的灯是亮的？

66. 写出10个连续的自然数，它们个个都是合数。

67. 求不能用三个不相等的合数之和来表示的最大奇数。

68. 把质数373拆开(不改变各数字间的顺序)，所有的可能只有3，7，37，73这四个数，它们都是质数。请找出所有具有这种性质的两位和两位以上的质数。

69. 已知自然数的各个数位上的数码之和与的各个数位上的数码之和相等，证明必能被9整除。

70. 1—9九个数字按右图所示的次序排成一个圆圈，请你在某两个数字之间剪开，分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数。如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被396整除，那么应在何处剪开？

71. 少年宫游乐厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。这200个灯泡按1～200编号，它们的亮暗规则是：
　　第一秒，全部灯泡变亮；
　　第二秒，凡编号为2的倍数的灯泡由亮变暗；
　　第三秒，凡编号为3的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态，即亮的变暗，暗的变亮；
　　一般地，第秒凡编号为的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态。
这样继续下去，每4分钟一个周期。问：第200秒时，明亮的灯泡有多少个？

72. 对于任意的大于2的自然数，所有小于且与互质的自然数的个数是奇数还是偶数，还是不能肯定？

73. 两个自然数的和是72，它们的最大公约数与最小公倍数的和是216，这两个数分别是几？

74. 已知a与b，a与c，b与c的最小公倍数分别是60，90和36。问：满足此条件的a，b，c有多少组？

75. 求的余数

76. 将一批货物共 千克装入纸箱，每箱13千克，最后余多少千克？

77. 70个数排成一排，除了两头的两个数外，每个数的3倍恰好等于它两边两个数的和。已知最左边的几个数是：0，1，3，8，21，…问：最右边的一个数除以6的余数是几？

78. 一个自然数，分别除以3，4，6，7，12，42后，得到的余数分别为2，1，5，6，5，41。又知这六个商的和为877，求这个自然数。

79. 两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人，两代表团坐满若干辆车后，第一个代表团余下的13人与第二个代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，第一个代表团的每个成员与第二个代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？

80. 一个三位数的各位数字都不是0，这个三位数与组成它的各位数字之积的比是M(如三位数432，)，求 M的最大值。

竞赛篇
81. (第六届走进美妙数学花园试题)
自然数N有45个正约数．N的最小值为　 　．

82. （第一届“学而思杯”五年级试题）
已知，问：除以所得余数是 。

83. (第六届走进美妙数学花园试题)
n除以2余1，除以3余2，除以4余3，除以5余4，……，除以16余15．n最小为　　　　　．

84. （13届华杯赛）
若，则整数的所有数位上的数字和等于（ ）。
（） （） （C） （）

85. (12届华杯赛)
一个自然数，它的最大的约数和次大的约数的和是111，这个自然数是________.

86. (09年迎春杯)
有一批图书的总数在1000本以内,若按24本包成一捆,则最后一捆差两本.若按28本包成一捆,最后一本还是差两本,若按32本包一捆,最后一捆是30本书.那么这批图书共有多少本?

87. (2008年解题能力展示)
一个五位数恰好等于它各位数字和的倍，则这个五位数是 ．

88. (2007年解题能力展示)
甲、乙两个三位数的乘积是一个五位数，这个五位数的后四位为1031．如果甲数的数字和为10，乙数的数字和为8，那么甲乙两数之和是_________．

89. (2007年解题能力展示)
对于每个不小于1的整数，令表示的个位数字．例如，，，，则 ．

90. (第十三届华杯赛)
设六位数满足=×，请写出所有这样的六位数。

91. (2005年迎春杯复赛试题)
一个六位数，如果满足，则称为“迎春数”(如，则就是“迎春数”).请你求出所有“迎春数”的总和.

92. (08年希望杯)
若位数□能够被整除，则□里的数是 。

93. (08年希望杯)
如果都是质数，并且，则的最小值是 。

94. (08年希望杯)
有一列数：、、、、、、、…其中第一个数是，第二个数是，从
第三个起，每个数恰好是前面两个数之和的倍再加上，那么这列数中的第个数除以，得到的余数是 。

95. (08年走进美妙数学花园)
有一群猴子正要分个桃子，每只猴子可以分到同样个数的桃子。这时，又窜来只猴子，只好重新分配，但要使每只猴子分到同样个数的桃子，必须扔掉一个桃子，则最后每只猴子分到桃子 个。

96. (08年走进美妙数学花园)
的约数有 个。

97. (08年走进美妙数学花园)
个自然数，和为，分别除以。若用去尾法，个商的和为；若用四舍五入法，个商的和为。个数中被除余的数有 个。(

98. (08年走进美妙数学花园)
为自然数，且、、、与都有大于的公约数。的最小值为 。

99. （第一届学而思杯）
已知，、、、、这个质数互不相同，并且符合下面的算式：，那么，这个数当中最大的数至多是 。

100. （第一届学而思杯）
三位数满足：它的所有质因数之和是。这样的三位数有 个。

21