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初中数学竞赛 数论试题水平检测（二）
(考试时间：90分钟 满分：140分)
一， 填空题：（60分）
1. 满足的整数对的组数是__________.
2. 方程组的正整数解为 .
3. 已知，并且，则等于 .（其中表示不超过的最大整数）
4. 连续的n个自然数，在每个数写成标准的质因数分解式后，每个质因数都是奇数次幂，这样的n个连续自然数称为一个“连n奇异组”，如n＝3时，22＝21×111，23＝231，24＝23×31，则22,23,24就是一个“连3奇异组”. 那么连n奇异组中n的最大可能值是 .
5. 设N=23x+92y为完全平方数，且不超过2392，则满足上述条件的一切正整数对（x，y）共有 对。
6. 已知正整数a、b之差为120，它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么a、b中较大的数是
二，解答题：（80分）
7，能否将2010写成k个互不相等的质数的平方和? 如果能, 试求k的最大值; 如果不能, 请简述理由.

8.关于m和n的方程是否存在整数解？如果存在，请写出一组解来；如果不存在，请说明理由.

9.求关于a，b，c，d的方程组    的所有正整数解.

10.求所有正整数n，使得存在正整数，满足，且.

11.求证：
（1）一个自然数的平方被7除的余数只能是0,1,4,2.
（2）对任意的正整数，[]不被7整除，其中表示不超过的最大整数。

答案：
1.0 2.（1,3,6） 3.6 4.7 5.27 6.225
7. 解：（1）设为质数，若2010能写成k个质数的平方和，则当时,取最小的10个互不相等的质数的平方和, 则有
4+9+25+49+121+169+289+361+529+841=2397>2010，因此
（2）因为只有一个偶质数2，其余质数都是奇数，而奇数的平方仍是奇数，并且被8除余1.
当k=9时，若2010=，其中必有一个偶质数的平方，8个奇质数的平方.左边被8除余2，右边被8除余4，等式不能成立.所以2010不能表示为9个不同质数的平方和，即
当若时，若2010=，这8个加项都是奇质数的平方.左边被8除余2，右边被8除余0，等式不能成立.所以2010不能表示为8个不同质数的平方和，即
当k=7时，2010=，左边被8除余2，右边被8除余2，等式可能成立.也就是2010有可能表示为7个不同质数的平方和，
我们试算可知，.
综上可得2010可以写成k个互不相等的质数的平方和，k的最大值等于7.
比如 就是将2010写成7个互不相等的质数的平方和的一个例子.
说明：2010表为7个互不相等的质数的平方和共有如下4种形式：答出一种即可. （没有推理，只给出一种表示法可得2分）

.
事实上，我们还可以证明所以2010只能表示为7个互不相等的质数的平方和.
8.不存在
9. 解：将abc=d 代入10ab+10bc+10ca=9d得
10ab+10bc+10ca=9abc.
因为abc≠0，所以，.
不妨设a≤b≤c，则
≥≥＞0.
于是，                ＜≤，
即                          ＜≤，
＜a≤.
从而，a=2，或3.
若a=2，则.
因为＜≤，所以，＜≤，＜b≤5.
 从而，b=3，4，5. 相应地，可得 c=15，(舍去)，5.
当a=2，b=3，c=15时，d=90；
当a=2，b=5，c=5时，d=50.
若a=3，则.
因为＜≤，所以，＜≤，＜b≤.
从而，b=2（舍去），3.
当b=3时，c=(舍去).
因此，所有正整数解为
(a，b，c，d)=(2，3，15，90)，(2，15，3，90)，(3，2，15，90)，
(3，15，2，90)，(15，2，3，90)，(15，3，2，90)，
(2，5，5，50)，(5，2，5，50)，(5，5，2，50).
10. 解：由于都是正整数，且，所以
≥1，≥2，…，≥2012．
于是 ≤．
…………（5分）
当时，令，则
.
…………（10分）
当时，其中≤≤，令
，则
．
综上，满足条件的所有正整数n为．
11.（1）设m=7k+r分类
(2)令M=n（n+2）（n+4）（n+6）=（n²+6n）(n²+6n+8)
令k=n²+6n，所以M=K（k+8）。可得整数部分为k+3，即（n+3）²—6，此式不能被7整除.