第二讲填空题的技法指导word.doc

第二讲 填空题的技法指导
填空题是高考三大题型之一，试题大多能在课本中找到原型和背景，故可以化归为熟知的题目或基本题型．浙江省高考填空题共36分，有四个两空和三个单空组成，且一般由易到难的顺序排列。填空题与选择题有质的区别：①填空题没有备选项，因此，解答时不受诱误的干扰，但同时也缺乏提示；②填空题的结构往往是在正确的命题或断言中，抽出其中的一些内容留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活；③从填写内容看，主要有两类：一类是定量填写型；要求考生填写数值、数集合、或数量关系；比如:方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度和角度大小等．由于填空题和选择题相比，缺少可选择的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现．另一类是定性填写型：要求填写的是具有某种性质的对象或填写给定的数学对象的某种性质，如命题真假的判断、给定二次曲线的焦点坐标、离心率等．
解数学填空题的原则
解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，故对正确性的要求比解答题更高、更严格．《考试说明》中对解答填空题提出的基本要求是“正确、合理、迅速”．为此在解填空题时要做到：快——运算要快，力戒小题大做；稳——变形要稳，不可操之过急；全——答案要全，力避残缺不齐；活——解题要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不能粗心大意．
填空题常用的方法有直接法与定义法、特殊化法、数形结合法、构造法。
方法1 直接法与定义法
数学填空题，绝大都数能直接利用有关定义、性质、定理、公式和一些规律性的结论，经过变形、计算得出结论，使用直接法和定义法解填空题，要善于透过现象抓本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的变换.解题时，对概念要有合理的分析和判断；计算式，要求推理、运算的每一步骤都应正确无误，还要求将答案书写准确、完整.少算多思是快速准确地解答填空题的基本要求.
例1.（宁波市2015学年度第一学期期末考试）
若函数为奇函数，则__▲__， __▲__.
解析：为奇函数， ，则，.

, ,为奇函数,
, .
第6题图
例2. (2016嵊州市高三期末试题)已知点在以为焦点的双曲线上，过作轴的垂线，垂足为，若四边形为菱形，则该双曲线的离心率为
解析：四边形为菱形，则.在直角三角形中，,则可计算得到由双曲线的定义，代入得，

例3.正实数数列满足，且，则
解析：，，整理可得
化分式为整式可得，由等比中项的定义可得数列为等比数列，由等比数列的性质得到，解得，所以.
方法2特殊值法
当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当的特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程和特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论．为保证答案的正确性，在运用此方法时，一般应多取几个特例．
例4.在中，角所对的边分别为，若成等差数列，则 .
解析：成等差数列，不妨取ABC为等边三角形，则,则
例5.【浙江省2015届高三第二次考试五校联考13】直角的三个顶点都在给定的抛物线上，且斜边和轴平行，则斜边上的高的长度为 ．
解析：特殊值法：不妨将C设为原点，则有对称性可得直线AC的斜率为1，所以只需化简 ,则，所以斜边上的高的长度为2
解法2：由题意知，斜边垂直于轴，设点，点，则点
由于,,代入得
，则斜边上的高为点C到直线AB的距离
运用特殊值法的注意事项
求值或比较大小关系等问题均可运用特殊值法求解，但要注意此种方法仅限于所求值只有一种的填空题，对于开放性的问题或者多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解．

方法3 数形结合法
对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果．这类问题的几何意义一般比较明显，如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间的距离等，求解的关键是明确几何含义，准确规范地作出相应的图形，虽然作图要花费一些时间，但只要认真将图形作完，解答过程就会简便很多．
（第14题）
例6．(2016丽水市高三上学期期末试题)如图，已知点为圆：与圆：在第一象限内的交点，过的直线被圆和圆所截得的弦分别为，（，不重合），若，则直线的方程是 ．
解析：如图：过O,C分别,
，,取OC的中点为B，
可知AB为梯形OPQC的中位线，
,可得
,,
则,,则直线的方程是化简得
例7.(2016金华十校高三期末测试)实数满足不等式组，
则的取值范围
解析：将实数满足不等式组如图所示，
，
令则k的几何意义为阴影部分中的点与点（-1,1）组成的斜率的取值范围，可得与点C组成的斜率最小为-2，与点A组成的斜率最大为4，

例8.（2016年嵊州市高三期末试题）已知为实数，函数在区间和上单调递增，则的取值范围为 ▲ ．
解析：设的方程的根为，
由求根公式可得
则 如图：
且在区间和上单调递增，只需满足不等式
，
则的取值范围为
方法4构造法
用构造法解填空题的关键是由条件和结论的特殊性构造出数学模型，从而简化推导与运算过程．构造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的，首先应观察题目，观察已知(例如代数式)形式上的特点，然后积极调动思维，联想、类比已学过的知识及各种数学结构、数学模型，深刻地了解问题及问题的背景(几何背景、代数背景)，从而构造几何、函数、向量等具体的数学模型，达到快速解题的目的．
例9.三棱锥中，，，，则的取值范围是______
解析：将三棱锥放置于一个长方体中，长方体的长、宽、高分别为，则由题意可知
由 由(1)和(4)解得，则
则的取值范围是.
例10. (2014浙江六校3月联考)设x,y∈R,则(3-4y-cos x)2+(4+3y+sin x)2的最小值为　　　　　.
解析:此题构造的是两点间距离公式：
设点P(3-4y,4+3y),Q(cosx,-sinx),则点P在直线上,点Q在圆x2+y2=1上,故|PQ|的最小值为圆心到直线的距离减去半径.即：d-r=,即所求最小值为16.
例11.如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，，且，将△ABC沿BC的边翻折，设点A在平面BCD上的射影为点M，若点M在△BCD内部（含边界），则点M的轨迹的最大长度等于____________；在翻折过程中，当点M位于线段BD上时，直线AB和CD所成的角的余弦值等于______________.
解析：设分别为线段的中点，则 ，将△ABC沿BC的边翻折，设点A在平面BCD上的射影为点M一定是落在线段EF上，则点M的轨迹的最大长度等于，

在翻折过程中，当点M位于线段BD上时,M点为BD的中点，可以将三棱锥，构造成四棱锥,且四条侧棱长相等.
则直线AB和CD所成的角等于直线AB和BN所成的角.
,

则异面直线AB和CD所成的角的余弦值为

构造法的应用
构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向．一般通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型将问题转化为自己熟悉的问题．在立体几何中，补形构造是最为常用的解题技巧．通过补形能将一般几何体的有关问题在特殊的几何体中求解，如将三棱锥补成特殊的长方体等．