资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°.将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C，点A在边B′C上，则∠B′的大小为( )
A．42° B．48°
C．52° D．58°
2．已知是单位向量，且，那么下列说法错误的是（ ）
A． ∥ B．||=2 C．||=﹣2|| D． =﹣
3．如图，将小正方形AEFG绕大正方形ABCD的顶点A顺时针旋转一定的角度α（其中0°≤α≤90°），连接BG、DE相交于点O，再连接AO、BE、DG．王凯同学在探究该图形的变化时，提出了四个结论：
①BG＝DE；②BG⊥DE；③∠DOA＝∠GOA；④S△ADG＝S△ABE，其中结论正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图是由4个大小相同的小正方体摆成的几何体，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
5．抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下，顶点坐标 B．开口向上，顶点坐标
C．开口向下，顶点坐标 D．开口向上，顶点坐标
6．如图，空心圆柱的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
7．我们定义一种新函数：形如（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是（ ）
①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；
②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；
③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；
④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；
⑤当x＝1时，函数的最大值是4，
A．4 B．3 C．2 D．1
8．若点，，在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
9．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在菱形ABCD中，点E,F分别在AB,CD上，且，连接EF交BD于点O连接AO.若,，则的度数为（ ）
A．50° B．55° C．65° D．75°
11．如图，在直角坐标系中，⊙A的半径为2，圆心坐标为（4，0），y轴上有点B（0，3），点C是⊙A上的动点，点P是BC的中点，则OP的范围是（ ）
A． B．2≤OP≤4 C．≤OP≤ D．3≤OP≤4
12．把抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，即得到抛物线（ ）
A．y=-(x+2) 2+3 B．y=-(x-2) 2+3 C．y=-(x+2) 2-3 D．y=-(x-2) 2-3
二、填空题（每题4分，共24分）
13．庆“元旦”，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，求这次有多少队参加比赛？若设这次有x队参加比赛，则根据题意可列方程为_____．
14．若＝，则＝__________.
15．已知反比例函数y＝的图象经过点（3，﹣4），则k＝_____．
16．如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8，AC⊥CD，若sin∠ACB＝，则cos∠ADC＝______．
17．已知是方程的根，则代数式的值为__________.
18．如图，为的弦，的半径为5，于点，交于点，且，则弦的长是_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）将一副直角三角板按右图叠放．
(1)证明：△AOB∽△COD；
(2)求△AOB与△DOC的面积之比．
20．（8分）我国互联网发展走到了世界的前列，尤其是电子商务，据市场调查，天猫超市在销售一种进价为每件40元的护眼台灯中发现：每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示：
（1）当销售单价定为50元时，求每月的销售件数；
（2）设每月获得的利润为W（元），求利润的最大值；
（3）由于市场竞争激烈，这种护眼灯的销售单价不得高于75元，如果要每月获得的利润不低于8000元，那么每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，将一个图形绕原点顺时针方向旋转称为一次“直角旋转，已知的三个顶点的坐标分别为，，，完成下列任务：
（1）画出经过一次直角旋转后得到的；
（2）若点是内部的任意一点，将连续做次“直角旋转”（为正整数），点的对应点的坐标为，则的最小值为 ；此时，与的位置关系为 ．
(3)求出点旋转到点所经过的路径长．
22．（10分）如图，四边形内接于，是的直径，点在的延长线上，延长交的延长线于点，点是的中点，．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：是等腰三角形；
（3）若，，求的值及的长．
23．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD⊥AC，垂足为D点，直线OD与⊙O相交于E，F两点，P是⊙O外一点，P在直线OD上，连接PA，PB，PC，且满足∠PCA＝∠ABC
（1）求证：PA＝PC；
（2）求证：PA是⊙O的切线；
（3）若BC＝8，，求DE的长．
24．（10分）如图，已知点A（a，3）是一次函数y1＝x+1与反比例函数y2＝的图象的交点．（1）求反比例函数的解析式；（2）在y轴的右侧，当y1＞y2时，直接写出x的取值范围；（3）求点A与两坐标轴围成的矩形OBAC的面积．
25．（12分）汕头国际马拉松赛事设有“马拉松（公里）”，“半程马拉松（公里）”，“迷你马拉松（公里）”三个项目，小红和小青参加了该赛事的志愿者服务工作，组委会将志愿者随机分配到三个项目组.
（1）小红被分配到“马拉松（公里）”项目组的概率为___________.
（2）用树状图或列表法求小红和小青被分到同一个项目组进行志愿服务的概率.
26．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与反比例函数的图象交于.
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）设是直线上一点，过作轴，交反比例函数的图象于点，若为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标.
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【解析】试题分析：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C′，∴∠A′=∠BAC=90°，∠ACA′=48°，∴∠B′=90°﹣∠ACA′=42°．故选A．
考点：旋转的性质．
2、C
【详解】解：∵是单位向量，且，，
∴，， ， ，
故C选项错误，
故选C.
3、D
【分析】由“SAS”可证△DAE≌△BAG，可得BG＝DE，即可判断①；设点DE与AB交于点P， 由∠ADE＝∠ABG，∠DPA＝∠BPO，即可判断②；过点A作AM⊥DE，AN⊥BG，易证DE×AM＝×BG×AN，从而得AM＝AN，进而即可判断③；过点G作GH⊥AD，过点E作EQ⊥AD，由“AAS”可证△AEQ≌△GAH，可得AQ＝GH，可得S△ADG＝S△ABE，即可判断④．
【详解】∵∠DAB＝∠EAG＝90°，
∴∠DAE＝∠BAG，
又∵AD＝AB，AG＝AE，
∴△DAE≌△BAG（SAS），
∴BG＝DE，∠ADE＝∠ABG，
故①符合题意，
如图1，设点DE与AB交于点P，
∵∠ADE＝∠ABG，∠DPA＝∠BPO，
∴∠DAP＝∠BOP＝90°，
∴BG⊥DE，
故②符合题意，
如图1，过点A作AM⊥DE，AN⊥BG，
∵△DAE≌△BAG，
∴S△DAE＝S△BAG，
∴DE×AM＝×BG×AN，
又∵DE＝BG，
∴AM＝AN，且AM⊥DE，AN⊥BG，
∴AO平分∠DOG，
∴∠AOD＝∠AOG，
故③符合题意，
如图2，过点G作GH⊥AD交DA的延长线于点H，过点E作EQ⊥AD交DA的延长线于点Q，
∴∠EAQ+∠AEQ＝90°，∠EAQ+∠GAQ＝90°，
∴∠AEQ＝∠GAQ，
又∵AE＝AG，∠EQA＝∠AHG＝90°，
∴△AEQ≌△GAH（AAS）
∴AQ＝GH，
∴AD×GH＝AB×AQ，
∴S△ADG＝S△ABE，
故④符合题意，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质和三角形全等的判定和性质的综合，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键.
4、C
【分析】根据左视图即从物体的左面观察得得到的视图，进而得出答案．
【详解】如图所示，该几何体的左视图是：
．
故选C．
【点睛】
此题主要考查了几何体的三视图；掌握左视图是从几何体左面看得到的平面图形是解决本题的关键．
5、C
【分析】直接根据顶点式即可得出顶点坐标，根据a的正负即可判断开口方向．
【详解】∵，
∴抛物线开口向下，
由顶点式的表达式可知抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线开口向下，顶点坐标
故选：C．
【点睛】
本题主要考查顶点式的抛物线的表达式，掌握a对开口方向的影响和顶点坐标的确定方法是解题的关键．
6、D
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】解：从上边看是三个水平边较短的矩形，中间矩形的左右两边是虚线，
故选：D．
【点睛】
本题考查了三视图，俯视图是指从上往下看得到的图形。注意：看的见的线画实线，看不见的线画虚线．
7、A
【分析】由（-1,0），（3,0）和（0,3）坐标都满足函数，∴①是正确的；从图象可以看出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线 ，②也是正确的；
根据函数的图象和性质，发现当或 时，函数值随值的增大而增大，因此③也是正确的；函数图象的最低点就是与轴的两个交点，根据，求出相应的的值为或，因此④也是正确的；从图象上看，存在函数值大于当时的，因此⑤时不正确的；逐个判断之后，可得出答案．
【详解】解：①∵（-1,0），（3,0）和（0,3）坐标都满足函数，∴①是正确的；
②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线，因此②也是正确的；
③根据函数的图象和性质，发现当或时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；
④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为或，因此④也是正确的；
⑤从图象上看，存在函数值要大于当时的，因此⑤是不正确的；
故选A
【点睛】
理解“鹊桥”函数的意义，掌握“鹊桥”函数与与二次函数之间的关系；两个函数性质之间的联系和区别是解决问题的关键；二次函数与轴的交点、对称性、对称轴及最值的求法以及增减性应熟练掌握．
8、D
【分析】由于反比例函数的系数是－8，故把点A、B、C的坐标依次代入反比例函数的解析式，求出的值即可进行比较.
【详解】解：∵点、、在反比例函数的图象上，
∴，，，
又∵，
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是反比例函数的图象和性质，难度不大，理解点的坐标与函数图象的关系是解题的关键.
9、B
【解析】解：第一个图是轴对称图形，又是中心对称图形；
第二个图是轴对称图形，不是中心对称图形；
第三个图是轴对称图形，又是中心对称图形；
第四个图是轴对称图形，不是中心对称图形；
既是轴对称图形，又是中心对称图形的有2个．故选B．
10、C
【分析】由菱形的性质以及已知条件可证明△BOE≌△DOF，然后根据全等三角形的性质可得BO=DO，即O为BD的中点，进而可得AO⊥BD，再由∠ODA=∠DBC=25°，即可求出∠OAD的度数.
【详解】∵四边形ABCD为菱形
∴AB=BC=CD=DA，AB∥CD，AD∥BC
∴∠ODA=∠DBC=25°，∠OBE=∠ODF，
又∵AE=CF
∴BE=DF
在△BOE和△DOF中，
∴△BOE≌△DOF（AAS）
∴OB=OD
即O为BD的中点，
又∵AB=AD
∴AO⊥BD
∴∠AOD=90°
∴∠OAD=90°-∠ODA=65°
故选C.
【点睛】
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握菱形的性质，得出全等三角形的判定条件是解题的关键.
11、A
【分析】如图，在y轴上取点B'（0，﹣3），连接B'C，B'A，由勾股定理可求B'A＝5，由三角形中位线定理可求B'C＝2OP，当点C在线段B'A上时，B'C的长度最小值＝5﹣2＝3，当点C在线段B'A的延长线上时，B'C的长度最大值＝5+2＝7，即可求解．
【详解】解：如图，在y轴上取点B'（0，﹣3），连接B'C，B'A，
∵点B（0，3），B'（0，﹣3），点A（4，0），
∴OB＝OB'＝3，OA＝4，
∴，
∵点P是BC的中点，
∴BP＝PC，
∵OB＝OB'，BP＝PC，
∴B'C＝2OP，
当点C在线段B'A上时，B'C的长度最小值＝5﹣2＝3，
当点C在线段B'A的延长线上时，B'C的长度最大值＝5+2＝7，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，平面直角坐标系，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握三角形中位线定理的相关内容，能够得到线段之间的数量关系.
12、D
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可.
【详解】抛物线向右平移个单位，得：，
再向下平移个单位，得：.
故选：.
【点睛】
本题主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、＝45
【分析】设这次有x队参加比赛，由于赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），则此次比赛的总场数为：场．根据题意可知：此次比赛的总场数＝45场，依此等量关系列出方程．
【详解】解：设这次有x队参加比赛，则此次比赛的总场数为场，
根据题意列出方程得：＝45，
故答案是：．
【点睛】
考查了由实际问题抽象出一元二次方程，本题的关键在于理解清楚题意，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．需注意赛制是“单循环形式”，需使两两之间比赛的总场数除以1．
14、
【解析】由比例的性质即可解答此题.
【详解】∵，
∴a=b，
∴= ，
故答案为
【点睛】
此题考查了比例的基本性质，熟练掌握这个性质是解答此题的关键.
15、-1．
【分析】直接把点（3，﹣4）代入反比例函数y＝，求出k的值即可．
【详解】解：∵反比例函数y＝的图象经过点（3，﹣4），
∴﹣4＝，解得k＝﹣1.
故答案为：﹣1．
【点睛】
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
16、
【分析】首先在△ABC中，根据三角函数值计算出AC的长，再利用勾股定理计算出AD的长，然后根据余弦定义可算出cos∠ADC．
【详解】解：∵∠B＝90°，sin∠ACB＝，
∴＝，
∵AB＝2，
∴AC＝6，
∵AC⊥CD，
∴∠ACD＝90°，
∴AD＝＝＝10，
∴cos∠ADC＝＝．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了解直角三角形，以及勾股定理的应用，关键是利用三角函数值计算出AC的长，再利用勾股定理计算出AD的长．
17、1
【分析】把代入已知方程，并求得，然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可．
【详解】解：把代入，得，
解得，
所以．
故答案是：1．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解以及代数式求值，注意解题时运用整体代入思想．
18、1
【分析】连接AO，得到直角三角形，再求出OD的长，就可以利用勾股定理求解．
【详解】连接，
∵半径是5，，
∴，
根据勾股定理，
，
∴，
因此弦的长是1．
【点睛】
解答此题不仅要用到垂径定理，还要作出辅助线AO，这是解题的关键．
三、解答题（共78分）
19、 (1)见解析；(2)1：1
【分析】（1）推出∠OCD=∠A，∠D=∠ABO，就可得△AOB∽△COD；
（2）设BC=a，则AB=a，BD=2a，由勾股定理知：CD=a，得AB：CD=1：，根据相似三角形性质可得面积比.
【详解】解：(1)∵∠ABC=90°，∠DCB=90°
∴AB∥CD，
∴∠OCD=∠A，∠D=∠ABO，
∴△AOB∽△COD
(2)设BC=a，则AB=a，BD=2a
由勾股定理知：CD=a
∴AB：CD=1：
∴△AOB与△DOC的面积之比等于1：1．
【点睛】
考核知识点：相似三角形的判定和性质.理解相似三角形的判定和性质是关键.
20、（1）500件；（2）利润的最大值为1；（3）每月的成本最少需要10000元．
【分析】(1)设函数关系式为y=kx+b，把(40，600)，(75，250)代入，列方程组即可．
(2)根据利润=每件的利润×销售量，列出式子即可．
(3)思想列出不等式求出x的取值范围，设成本为S，构建一次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
【详解】(1)设函数关系式为y=kx+b，
把(40，600)，(75，250)代入可得，
解得：，
∴y=﹣10x+1000，
当x=50时，y=﹣10×50+1000=500(件)；
(2)根据题意得，W=(x﹣40)(﹣10x+1000)
=﹣10x2+1400x﹣40000
=﹣10(x﹣70)2+1．
当x=70时，利润的最大值为1；
(3)由题意，
解得：60≤x≤75，
设成本为S，
∴S=40(﹣10x+1000)=﹣400x+40000，
∵﹣400＜0，
∴S随x增大而减小，
∴x=75时，S有最小值=10000元，
答：每月的成本最少需要10000元．
【点睛】
本题考查了二次函数、一次函数的实际应用，不等式组的应用等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
21、（1）图见解析；（2）2，关于中心对称；（3）．
【分析】（1）根据图形旋转的性质画出旋转后的△即可；
（2）根据中心对称的性质即可得出结论；
（3）根据弧长公式求解即可．
【详解】解：（1）如图，△即为所求；
（2）点的对应点的坐标为，
点与关于点对称，
．
故答案为：2，关于中心对称．
（3）∵点A坐标为
∴，
则旋转到点所经过的路径长．
【点睛】
本题考查了根据旋转变换作图以及弧长公式，解答本题的关键是根据网格结构找出对应点的位置．
22、（1）见解析；（2）见解析；（3），
【分析】（1）根据圆的切线的定义来证明，证∠OCD=90°即可；
（2）根据全等三角形的性质和四边形的内接圆的外角性质来证；
（3）根据已知条件先证△CDB∽△ADC，由相似三角形的对应边成比例，求CB的值,然后求求的值；连结BE,在Rt△FEB和Rt△AEB中，利用勾股定理来求EF即可．
【详解】解：（1）如图1，连结，
是的直径，，
又点是的中点，
．
，
又
是的切线
图1
（2）四边形内接于，
．
，
即是等腰三角形
（3）如图2，连结，
设，，
在中，
，
由（1）可知，又
，
在中，
，
，
是的直径，，
即
解得
图2
【点睛】
本题考查了圆的切线、相似三角形的性质、勾股定理的应用，解本题关键是找对应的线段长．
23、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）DE＝1．
【分析】（1）根据垂径定理可得AD＝CD，得PD是AC的垂直平分线，可判断出PA＝PC；
（2）由PC＝PA得出∠PAC＝∠PCA，再判断出∠ACB＝90°，得出∠CAB+∠CBA＝90°，再判断出∠PCA+∠CAB＝90°，得出∠CAB+∠PAC＝90°，即可得出结论；
（2）根据AB和DF的比设AB＝3a，DF＝2a，先根据三角形中位线可得OD＝4，从而得结论．
【详解】（1）证明∵OD⊥AC，
∴AD＝CD，
∴PD是AC的垂直平分线，
∴PA＝PC，
（2）证明：由（1）知：PA＝PC，
∴∠PAC＝∠PCA．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°．
又∵∠PCA＝∠ABC，
∴∠PCA+∠CAB＝90°，
∴∠CAB+∠PAC＝90°，即AB⊥PA，
∴PA是⊙O的切线；
（3）解：∵AD＝CD，OA＝OB，
∴OD∥BC，OD＝BC＝＝4，
∵，
设AB＝3a，DF＝2a，
∵AB＝EF，
∴DE＝3a﹣2a＝a，
∴OD＝4＝﹣a，
a＝1，
∴DE＝1．
【点睛】
本题考查的是圆的综合，难度适中，需要熟练掌握线段中垂线的性质、圆的切线的求法以及三角形中位线的相关性质.
24、（1）y2＝；（2）x＞2；（3）点A与两坐标轴围成的矩形OBAC的面积是1．
【解析】（1）将点A的坐标代入一次函数的解析式，求得a值后代入反比例函数求得b的值后即可确定反比例函数的解析式；
（2）y1＞y2时y1的图象位于y2的图象的上方，据此求解．
（3）根据反比例函数k值的几何意义即可求解．
【详解】解：（1）将A（a，3）代入一次函数y1＝x+1得a+1＝3，
解得a＝2，
∴A（2，3），
将A（2，3）代入反比例函数得，解得k＝1，
∴
（2）∵A（2，3），y1＝x+1，
∴在y轴的右侧，当y1＞y2时，x的取值范围是x＞2；
（3）∵k＝1，
∴点A与两坐标轴围成的矩形OBAC的面积是1．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，能正确的确定点A的坐标是解答本题的关键，难度不大．
25、（1）；（2）图见解析，
【分析】（1）直接利用概率公式可得；
（2）记这三个项目分别为、、，画树状图列出所有可能的结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算即可.
【详解】解：（1）；
（2）记这三个项目分别为、、，
画树状图为：
共有种等可能的结果数，
其中小红和小青被分配到同一个项目组的结果数为，
所以小红和小青被分到同一个项目组进行志愿服务的概率为．
【点睛】
本题主要考察概率公式、树状图、列表法，熟练掌握公式是关键.
26、（1）.；（2）的坐标为或.
【解析】分析：（1）根据一次函数y=x+b的图象经过点A（-2，1），可以求得b的值，从而可以解答本题；
（2）根据平行四边形的性质和题意，可以求得点M的坐标，注意点M的横坐标大于1．
详解：（1）一次函数的图象经过点，
，，.
一次函数与反比例函数交于.
，，，.
（2）设，.
当且时，以A，O，M，N为顶点的四边形为平行四边形.
即：且，解得：或（负值已舍），
的坐标为或.
点睛：本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
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