资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图所示，在中，与相交于点，为的中点，连接并延长交于点，则与的面积比值为（ ）
A． B． C． D．
2．方程5x2=6x﹣8化成一元二次方程一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．5、6、﹣8 B．5，﹣6，﹣8 C．5，﹣6，8 D．6，5，﹣8
3．口袋中有2个红球和1个黑球，每次摸到后放回，两次都摸到红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知⊙O的半径为13，弦AB//CD，AB＝24，CD＝10，则AB、CD之间的距离为
A．17 B．7 C．12 D．7或17
5．如图，已知A（2，1），现将A点绕原点O逆时针旋转90°得到A1，则A1的坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（2，﹣1） C．（1，﹣2） D．（﹣2，1）
6．10件产品中有2件次品，从中任意抽取1件，恰好抽到次品的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．如图是一个圆柱形输水管横截面的示意图，阴影部分为有水部分，如果水面AB的宽为8cm，水面最深的地方高度为2cm，则该输水管的半径为（ ）
A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm
8．如图所示的几何体为圆台，其俯视图正确的是
A． B． C． D．
9．如图所示的几何体是由一些小立方块搭成的，则这个几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
10．下列事件是随机事件的是（ ）
A．画一个三角形，其内角和是 B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数小于 D．在只装了红球的不透明袋子里，摸出黑球
11．用配方法解方程时，原方程可变形为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，是坐标原点，菱形顶点的坐标为，顶点在轴的负半轴上，反比例函数的图象经过顶点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，把置于平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P是内切圆的圆心．将沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为，…，依此规律，第2019次滚动后，内切圆的圆心的坐标是________．
14．设α、β是方程x2+2018x﹣2＝0的两根，则（α2+2018α﹣1）（β2+2018β+2）＝_____．
15．如图是某幼儿园的滑梯的简易图，已知滑坡AB的坡度是1：3 ，滑梯的水平宽是6m，则高BC为_______m．
16．某厂前年缴税万元，今年缴税万元， 如果该厂缴税的年平均增长率为，那么可列方程为______．
17．甲、乙两人玩扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为5，6，7的三张扑克牌中，随机抽取一张，放回后，再随机抽取一张，若所抽取的两张牌牌面数字的积为奇数，则甲获胜；若所抽取的两张牌牌面数字的积为偶数，则乙获胜.这个游戏________.(填“公平”或“不公平”)
18．如图，圆形纸片⊙O半径为 5，先在其内剪出一个最大正方形，再在剩余部分剪出 4个最大的小正方形，则 4 个小正方形的面积和为_______．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，AB是⊙O的弦，过点O作OC⊥OA，OC交于AB于P，且CP=CB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）已知∠BAO=25°，点Q是弧AmB上的一点.
①求∠AQB的度数；
②若OA=18，求弧AmB的长.
20．（8分）某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．
若只在国内销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y =x＋150，
成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w内（元）（利润 = 销售额－成本－广告费）．
若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为
常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳x2 元的附加费，设月利润为w外（元）（利润 = 销售额－成本－附加费）．
（1）当x = 1000时，y = 元/件，w内 = 元；
（2）分别求出w内，w外与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）；
（3）当x为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a的值；
（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？
参考公式：抛物线的顶点坐标是．
21．（8分）如图，已知线段与点，若在线段上存在点，满足，则称点为线段的“限距点”.
（1）如图，在平面直角坐标系中，若点.
①在中，是线段的“限距点”的是 ；
②点是直线上一点，若点是线段的“限距点”，请求出点横坐标的取值范围.
（2）在平面直角坐标系中，点，直线与轴交于点，与轴交于点. 若线段上存在线段的“限距点”，请求出的取值范围.
22．（10分）目前“微信”、“支付宝”、“共享单车“和“网购”给我们的生活带来了很多便利，九年级数学兴趣小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了m人（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．
（1）根据图中信息求出m＝ ，n＝ ；
（2）请你帮助他们将这两个统计图补全；
（3）已知A、B两位同学都最认可“微信”，C同学最认可“支付宝”，D同学最认可“网购”，从这四名同学中抽取两名同学，请你通过树状图或表格，求出这两位同学最认可的新生事物不一样的概率．
23．（10分）阅读下列材料后，用此方法解决问题．
解方程：．
解：∵时，左边右边．
∴是方程的一个解．
可设则：
∴∴
∴
又∵可分解为
∴方程的解满足或或．
∴或或．
（1）解方程；
（2）若和是关于的方程的两个解，求第三个解和，的值．
24．（10分）如图，是由两个等边三角形和一个正方形拼在-起的图形，请仅用无刻度的直尺按要求画图，
(1)在图①中画一个的角，使点或点是这个角的顶点，且以为这个角的一边：
(2)在图②画一条直线，使得．
25．（12分）综合与实践：
操作与发现：
如图，已知A，B两点在直线CD的同一侧，线段AE，BF均是直线CD的垂线段，且BF在AE的右边，AE＝2BF，将BF沿直线CD向右平移，在平移过程中，始终保持∠ABP＝90°不变，BP边与直线CD相交于点P，点G是AE的中点，连接BG．
探索与证明：求证：
（1）四边形EFBG是矩形；
（2）△ABG∽△PBF．
26．在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20，BC＝1．
（1）如图1，折叠△ABC使点A落在AC边上的点D处，折痕交AC、AB分别于Q、H，若则HQ＝ ．
（2）如图2，折叠使点A落在BC边上的点M处，折痕交AC、AB分别于E、F．若FM∥AC，求证：四边形AEMF是菱形；
（3）在（1）（2）的条件下，线段CQ上是否存在点P，使得和相似？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】根据平行四边形的性质得到OB=OD，利用点E是OD的中点，得到DE:BE=1：3，根据同高三角形面积比的关系得到S△ADE：S△ABE=1：3，利用平行四边形的性质得S平行四边形ABCD=2S△ABD，由此即可得到与的面积比.
【详解】在中，OB=OD，
∵为的中点，
∴DE=OE,
∴DE:BE=1：3，
∴S△ADE：S△ABE=1：3，
∴S△ABE：S△ABD=1：4，
∵S平行四边形ABCD=2S△ABD,
∴与的面积比为3:8，
故选：C.
【点睛】
此题考查平行四边形的性质，同高三角形面积比，熟记平行四边形的性质并熟练运用解题是关键.
2、C
【解析】根据一元二次方程的一般形式进行解答即可.
【详解】5x2=6x﹣8化成一元二次方程一般形式是5x2﹣6x+8=0，
它的二次项系数是5，一次项系数是﹣6，常数项是8，
故选C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
3、D
【分析】根据题意画出树形图即可求出两次都摸到红球的概率，进而得出选项．
【详解】解：设红球为1，黑球为2，画树形图得：
由树形图可知：两次都摸到红球的概率为.
故选：D.
【点睛】
本题考查用列表法与树状图法求随机事件的概率，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
4、D
【解析】①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1，∵AB=24cm，CD=10cm，∴AE=12cm，CF=5cm，∵OA=OC=13cm，∴EO=5cm，OF=12cm，∴EF=12﹣5=7cm；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，∵AB=24cm，CD=10cm，∴AE=12cm，CF=5cm，∵OA=OC=13cm，∴EO=5cm，OF=12cm，∴EF=OF+OE=17cm，∴AB与CD之间的距离为7cm或17cm．
故选D．
点睛：本题考查了勾股定理和垂径定理的应用．此题难度适中，解题的关键是注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解．
5、A
【解析】根据点（x，y）绕原点逆时针旋转90°得到的坐标为（-y，x）解答即可．
【详解】已知A（2，1），现将A点绕原点O逆时针旋转90°得到A1，
所以A1的坐标为（﹣1，2）.
故选A.
【点睛】
本题考查的是旋转的性质，熟练掌握坐标的旋转是解题的关键.
6、D
【分析】由于10件产品中有2件次品，所以从10件产品中任意抽取1件，抽中次品的概率是．
【详解】解： ．
故选：D．
【点睛】
本题考查的知识点是用概率公式求事件的概率，根据题目找出全部情况的总数以及符合条件的情况数目是解此题的关键．
7、B
【分析】先过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，由垂径定理可知AD＝AB，设OA＝r，则OD＝r﹣2，在Rt△AOD中，利用勾股定理即可求出r的值．
【详解】解：如图所示：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，
∵OD⊥AB，
∴AD＝AB＝4cm，
设OA＝r，则OD＝r﹣2，
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，即r2＝（r﹣2）2+42，
解得r＝5cm．
∴该输水管的半径为5cm；
故选：B．
【点睛】
此题主要考查垂径定理，解题的关键是熟知垂径定理及勾股定理的运用.
8、C
【解析】试题分析：俯视图是从物体上面看，所得到的图形．从几何体的上面看所得到的图形是两个同心圆.
故选C．
考点：简单几何体的三视图
9、D
【解析】试题分析：根据三视图中，从左边看得到的图形是左视图,因此从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故选D
考点：简单组合体的三视图
10、B
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】A、画一个三角形，其内角和是360°是不可能事件，故本选项错误；
B、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项正确；
C、投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数小于7是必然事件，故本选项错误；
D、在只装了红球的不透明袋子里，摸出黑球是不可能事件，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
11、B
【分析】先将二次项系数化为1，将常数项移动到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，结合完全平方公式进行化简即可解题．
【详解】
故选：B．
【点睛】
本题考查配方法解一元二次方程，其中涉及完全平方公式，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
12、C
【分析】根据点C的坐标以及菱形的性质求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出k的值即可．
【详解】∵，
∴，
∵四边形OABC是菱形，
∴AO=CB=OC=AB=5，
则点B的横坐标为，
故B的坐标为：，
将点B的坐标代入得，，
解得：．
故选：C．
【点睛】
本题考查了菱形的性质以及利用待定系数法求反比例函数解析式，解答本题的关键是根据菱形的性质求出点B的坐标．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】由勾股定理得出AB＝，求出Rt△OAB内切圆的半径＝1，因此P的坐标为（1，1），由题意得出P3的坐标（3＋5＋4＋1，1），得出规律：每滚动3次为一个循环，由2019÷3＝673，即可得出结果．
【详解】解：∵点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（3，0），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝，
∴Rt△OAB内切圆的半径＝，
∴P的坐标为（1，1），
∵将Rt△OAB沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后圆心为P1，第二次滚动后圆心为P2，…，
∴P3（3＋5＋4＋1，1），即（13，1），每滚动3次为一个循环，
∵2019÷3＝673，
∴第2019次滚动后，Rt△OAB内切圆的圆心P2019的横坐标是673×（3＋5＋4）＋1，即P2019的横坐标是8077，
∴P2019的坐标是（8077，1）；
故答案为：（8077，1）．
【点睛】
本题考查了三角形的内切圆与内心、勾股定理、坐标类规律探索等知识；根据题意得出规律是解题的关键．
14、4
【分析】把、分别代入，可求得和的值，然后把求得的值代入计算即可.
【详解】把、分别代入，得
和-2=0，
∴和，
∴=（2-1）×（2+2）=4.
故答案为4.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
15、1
【分析】根据滑坡的坡度及水平宽，即可求出坡面的铅直高度．
【详解】∵滑坡AB的坡度是1：3，滑坡的水平宽度是6m，
∴AC=6m，
∴BC= ×6=1m．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用中的坡度问题，牢记坡度的定义是解题的关键．
16、
【分析】由题意设该厂缴税的年平均增长率为x，根据该厂前年及今年的纳税额，即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】解：如果该厂缴税的年平均增长率为，
那么可以用表示今年的缴税数，今年的缴税数为，
然后根据题意列出方程.
故答案为：.
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
17、不公平．
【分析】先根据题意画出树状图，然后根据概率公式求解即可．
【详解】画出树状图如下：
共有9种情况，积为奇数有4种情况
所以，P（积为奇数）=
即甲获胜的概率是，乙获胜的概率是
所以这个游戏不公平.
【点睛】
解题的关键是熟练掌握概率的求法：概率=所求情况数与总情况数的比值.
18、16
【分析】根据题意可知四个小正方形的面积相等，构造出直角△OAB，设小正方形的面积为x，根据勾股定理求出x值即可得到小正方形的边长，从而算出4 个小正方形的面积和.
【详解】解：如图，点A为上面小正方形边的中点，点B为小正方形与圆的交点，D为小正方形和大正方形重合边的中点，
由题意可知：四个小正方形全等，且△OCD为等腰直角三角形，
∵⊙O半径为 5，根据垂径定理得：
∴OD=CD==5，
设小正方形的边长为x，则AB=，
则在直角△OAB中，
OA2+AB2=OB2，
即，
解得x=2，
∴四个小正方形的面积和=.
故答案为：16.
【点睛】
本题考查了垂径定理、勾股定理、正方形的性质，熟练掌握利用勾股定理解直角三角形是解题的关键．
三、解答题（共78分）
19、（1）见解析；（2）①∠AQB=65°，②l弧AmB=23π.
【解析】(1)连接OB，根据等腰三角形的性质得到∠OAB=∠OBA，∠CPB=∠CBP，再根据∠PAO+∠APO=90°，继而得出∠OBC=90°，问题得证；
(2)①根据等腰三角形的性质可得∠ABO=25°，再根据三角形内角和定理可求得∠AOB的度数，继而根据圆周角定理即可求得答案；
②根据弧长公式进行计算即可得.
【详解】(1)连接OB，
∵CP=CB，
∴∠CPB=∠CBP，
∵OA⊥OC，
∴∠AOC=90°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵∠PAO+∠APO=90°，
∴∠ABO+∠CBP=90°，
∴∠OBC=90°，
∴BC是⊙O的切线；
(2)①∵∠BAO=25° ，OA=OB，
∴∠OBA=∠BAO=25°，
∴∠AOB=180°-∠BAO-∠OBA=130°，
∴∠AQB=∠AOB=65°；
②∵∠AOB=130°，OB=18，
∴l弧AmB==23π.
【点睛】
本题考查了圆周角定理，切线的判定等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
20、（1）140 1；（2）w外 = x2＋（130-a）x；（3）a = 2；（4）见解析
【分析】（1）将x=1000代入函数关系式求得y，根据等量关系“利润=销售额-成本-广告费”求得w内；
（2）根据等量关系“利润=销售额-成本-广告费”，“利润=销售额-成本-附加费”列出两个函数关系式；
（3）对w内函数的函数关系式求得最大值，再求出w外的最大值并令二者相等求得a值；
（4）根据x=3000，即可求得w内的值和w外关于a的一次函数式，即可解题．
【详解】解：（1））∵销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y =x＋130，
∴当x=1000时，y=-10+130=140，w内=x（y-20）-62300=1000×120-62300=1，
故答案为：140，1．
（2）w内 = x（y -20）- 62300 = x2＋12 x，
w外 = x2＋（130）x．
（3）当x = = 6300时，w内最大；分
由题意得，
解得a1 = 2，a2 = 270（不合题意，舍去）．所以 a = 2．
（4）当x = 3000时，w内 = 337300， w外 =．
若w内＜ w外，则a＜32.3；
若w内 = w外，则a = 32.3；
若w内＞ w外，则a＞32.3．
所以，当10≤ a ＜32.3时，选择在国外销售；
当a = 32.3时，在国外和国内销售都一样；
当32.3＜ a ≤40时，选择在国内销售．
21、（1）①；②或；（2）.
【分析】
（1）①已知AB=2，根据勾股定理，结合两点之间的距离公式，即可得到答案；
②根据题意，作出“限距点”的轨迹，结合图形，即可得到答案；
（2）结合（1）的轨迹，作出图像，可分为两种情况进行分析，分别求出两个临界点，即可求出t的取值范围.
【详解】
（1）①根据题意，如图：
∵点，
∴AB=2，
∵点C为（0，2），点O（0，0）在AB上，
∴OC=AB=2；
∵E为，点O（0，0）在AB上，
∴OE=；
∵点D（）到点A的距离最短，为；
∴线段的“限距点”的是点C、E；
故答案为：C、E.
②由题意直线上满足线段的“限距点”的范围，如图所示.
∴点在线段AN和DM两条线段上（包括端点），
∵AM=AB=2，
设点M的坐标为：（n，n）（n<0），
∵，
∴，
∴，
易知，
同理
点横坐标的取值范围为：或.
（2）∵与x轴交于点M，与y轴交于点N，
∴令y=0，得；令x=0，得，
∴点M为：（），点N为：（0，）；
如图所示，
此时点M到线段AB的距离为2，
∴，
∴；
如图所示，AE=AB=2，
∵∠EMG=∠EAF=30°，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，AG=1，
∴
解得：；
综上所述：的取值范围为：.
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，利用勾股定理解直角三角形，一次函数的图像与性质，一次函数的动点问题，以及新定义的理解，解题的关键是正确作出辅助图形，利用数形结合的思想，以及临界点的思想进行解题，本题难度较大，分析题意一定要仔细.
22、（1）100、35；（2）见解析；（3）
【分析】（1）由共享单车人数及其百分比求得总人数m，用支付宝人数除以总人数可得其百分比n的值；
（2）总人数乘以网购人数的百分比可得其人数，用微信人数除以总人数求得其百分比即可补全两个图形；
（3）根据题意画出树状图得出所有等可能结果，从中找到这两位同学最认可的新生事物不一样的结果数，再根据概率公式计算可得．
【详解】解：（1）∵被调查的总人数m=10÷10%=100人，
∴支付宝的人数所占百分比n%=×100%＝35%，即n＝35，
故答案为：100，35；
（2）网购人数为100×15%＝15人，微信对应的百分比为×100%＝40%，
补全图形如下：
（3）根据题意画树状图如下：
共有12种情况，这两位同学最认可的新生事物不一样的有10种，所以这两位同学最认可的新生事物不一样的概率为＝．
【点睛】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及扇形统计图与条形统计图的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23、（1）或或；（2）第三个解为，，．
【分析】（1）模仿材料可得：是的一个解．可设，=，求出m,n再因式分解求解；
（2）由和是方程的两个解，可设，则：=，求出k，再因式分解解方程.
【详解】解：（1）∵时，左边==0=右边，∴是的一个解．
可设
∴=
∴∴
∴=
∴或或．
∴方程的解为或或．
（2）∵和是方程的两个解
∴可设，则：
==
∴∴
∴=0
∴或或．
∴方程的解为或或．
∴第三个解为，，．
【点睛】
考核知识点：因式分解高次方程.理解材料，熟练掌握整式乘法和因式分解方法是关键.
24、（1）见解析；（2）见解析．
【分析】(1)连接CF,EF，得到△ECF为等边三角形，即可求解：
(2)连接CF,BD，交点即为P点，再连接AP即可.
【详解】或即为所求；
直线即为所求.
【点睛】
此题主要考查四边形综合的复杂作图，解题的关键是熟知正方形、等边三角形的性质.
25、（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）先通过等量代换得出GE＝BF，然后由AE⊥CD，BF⊥CD得出AE∥BF，从而得到四边形EFBG是平行四边形，最后利用BF⊥CD，则可证明平行四边形EFBG是矩形；
（2）先通过矩形的性质得出∠AGB＝∠GBF＝∠BFE＝90°，然后通过等量代换得出∠ABG＝∠PBF，再加上∠AGB＝∠PFB＝90°即可证明△ABG∽△PBF．
【详解】（1）证明：∵AE⊥CD，BF⊥CD，
∴AE∥BF，
∵AE＝2BF，
∴BF＝AE，
∵点G是AE的中点，
∴GE＝AE，
∴GE＝BF，又AE∥BF，
∴四边形EFBG是平行四边形，
∵BF⊥CD，
∴平行四边形EFBG是矩形；
（2）∵四边形EFBG是矩形，
∴∠AGB＝∠GBF＝∠BFE＝90°，
∵∠ABP＝90°，
∴∠ABP﹣∠GBP＝∠GBF﹣∠GBP，
即∠ABG＝∠PBF，
∵∠ABG＝∠PBF，∠AGB＝∠PFB＝90°，
∴△ABG∽△PBF．
【点睛】
本题主要考查矩形的判定及性质，相似三角形的判定，掌握矩形的判定及性质和相似三角形的判定方法是解题的关键．
26、（1）2；（2）见解析；（3）存在，QP的值为或8或．
【分析】（1）利用勾股定理求出AC，设HQ＝x，根据构建方程即可解决问题；
（2）利用对折与平行线的性质证明四边相等即可解决问题；
（3）设AE＝EM＝FM＝AF＝2m，则BM＝3m，FB＝5m，构建方程求出m的值，分两种情形分别求解即可解决问题．
【详解】解：（1）如图1中，
在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝20，BC＝1，
∴AC＝＝16，设HQ＝x，
∵HQ∥BC，
∴＝，
∴，
∴AQ＝x，
由对折得：
∵
∴×16×1＝9××x×x，
∴x＝2或﹣2（舍弃），
∴HQ＝2，
故答案为2．
（2）如图2中，
由翻折不变性可知：AE＝EM，AF＝FM，∠AFE＝∠MFE，
∵FM∥AC，
∴∠AEF＝∠MFE，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF，
∴AE＝AF＝MF＝ME，
∴四边形AEMF是菱形．
（3）如图3中，
设AE＝EM＝FM＝AF＝2m，则BM＝3m，FB＝5m，
∴2m+5m＝20，
∴m＝，
∴AE＝EM＝，
∴EC＝AC﹣AE＝16﹣＝，
∴CM＝
∵QH＝2，
AQ＝，
∴QC＝，设PQ＝x，
当＝时，，
∴
解得：，
当＝时，，
∴
解得：x＝8或，
经检验：x＝8或是分式方程的解，且符合题意，
综上所述，满足条件长QP的值为或8或．
【点睛】
本题考查的是三角形相似的判定与性质，菱形的判定与性质，轴对称的性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．
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