资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，四边形是扇形的内接矩形，顶点P在弧上，且不与M，N重合，当P点在弧上移动时，矩形的形状、大小随之变化，则的长度（ ）
A．变大 B．变小 C．不变 D．不能确定
2．观察下列四个图形，中心对称图形是（ ）
A． B． C． D．
3．计算的值为( )
A．1 B．
C． D．
4．已知是关于的一个完全平方式，则的值是（ ）．
A．6 B． C．12 D．
5．已知抛物线与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧），顶点为M．平移该抛物线，使点M平移后的对应点M'落在x轴上，点B平移后的对应点B'落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知圆锥侧面展开图的扇形面积为65cm2，
扇形的弧长为10cm，则圆锥母线长是( )
A．5cm B．10cm C．12cm D．13cm
7．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则∠A的度数是( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
8．如图，⊙的半径垂直于弦，是优弧上的一点（不与点重合），若，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0配方后可变形为（ ）
A． B．
C． D．
10．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a>-1 B． C． D．a>-1且
11．已知点，，是抛物线上的三点，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
12．如图的几何体，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，正方形ABCD的边长为，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N，则△DMN的面积= ．
14．如图，已知中，，D是线段AC上一点（不与A,C重合）,连接BD，将沿AB翻折，使点D落在点E处，延长BD与EA的延长线交于点F，若是直角三角形，则AF的长为_________.
15．已知m是方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则代数式2m2﹣6m﹣7的值等于_____．
16．若一个反比例函数的图像经过点和，则这个反比例函数的表达式为__________．
17．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于点A，B(m＋2，0)，与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为(m，c)，则点A的坐标是________．
18．抛物线开口向下，且经过原点，则________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）小明同学解一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0的过程如图所示．
解：x2﹣6x＝1 …①
x2﹣6x+9＝1 …②
（x﹣3）2＝1 …③
x﹣3＝±1 …④
x1＝4，x2＝2 …⑤
（1）小明解方程的方法是 ．
（A）直接开平方法 （B）因式分解法 （C）配方法 （D）公式法
他的求解过程从第 步开始出现错误．
（2）解这个方程．
20．（8分）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，D是BC边上一点，且BD＝CD，G是BC边上的一动点，GE∥AD分别交直线AC，AB于F，E两点．
（1）AD＝ ；
（2）如图1，当GF＝1时，求的值；
（3）如图2，随点G位置的改变，FG+EG是否为一个定值？如果是，求出这个定值，如果不是，请说明理由．
21．（8分）如图，已知，相交于点为上一点，且.
（1）求证：；
（2）求证：.
22．（10分）某商场经销一种高档水果，原价每千克50元．
（1）连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率；
（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，则日销售量将减少20千克，那么每千克水果应涨价多少元时，商场获得的总利润（元）最大，最大是多少元？
23．（10分）如图，△ABC的中线AD、BE、CF相交于点G，H、I分别是BG、CG的中点．
（1）求证：四边形EFHI是平行四边形；
（2）①当AD与BC满足条件 时，四边形EFHI是矩形；
②当AG与BC满足条件 时，四边形EFHI是菱形．
24．（10分）如图，在中，，正方形的顶点分别在边、上，在边上.
（1）点到的距离为_________.
（2）求的长.
25．（12分）如图，甲分为三等分数字转盘，乙为四等分数字转盘，自由转动转盘．
（1）转动甲转盘，指针指向的数字小于3的概率是 ；
（2）同时自由转动两个转盘，用列举的方法求两个转盘指针指向的数字均为奇数的概率．
26．如图，已知抛物线 y＝x2+2x 的顶点为 A，直线 y＝x+2 与抛物线交于 B，C 两点．
（1）求 A，B，C 三点的坐标；
（2）作 CD⊥x 轴于点 D，求证：△ODC∽△ABC；
（3）若点 P 为抛物线上的一个动点，过点 P 作 PM⊥x 轴于点 M，则是否还存在除 C 点外的其他位置的点，使以 O，P，M 为顶点的三角形与△ABC 相似？ 若存在，请求出这样的 P 点坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，根据矩形的性质AB=OP=半径，所以AB长度不变．
【详解】解：∵四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，
∴AB=OP=半径，
当P点在弧MN上移动时，半径一定，所以AB长度不变，
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆的认识，矩形的性质，用到的知识点为：矩形的对角线相等；圆的半径相等．
2、C
【分析】根据中心对称图形的定义即可判断.
【详解】在平面内，若一个图形可以绕某个点旋转180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形，
根据定义可知，C选项中的图形是中心对称图形.
故答案选：C.
【点睛】
本题考查的知识点是中心对称图形，解题的关键是熟练的掌握中心对称图形.
3、B
【解析】逆用同底数幂的乘法和积的乘方将式子变形，再运用平方差公式计算即可.
【详解】解：
故选B.
【点睛】
本题考查二次根式的运算，高次幂因式相乘往往是先设法将底数化为积为1或0的形式，然后再灵活选用幂的运算法则进行化简求值.
4、B
【分析】这里首末两项是x和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和3积的2倍，故m=±1．
【详解】∵（x±3）2=x2±1x+32，
∴是关于的一个完全平方式，
则m=±1．
故选：B．
【点睛】
本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
5、A
【解析】解：当y=0，则，（x﹣1）（x﹣3）=0，
解得：x1=1，x2=3，∴A（1，0），B（3，0），
=，∴M点坐标为：（2，﹣1）．
∵平移该抛物线，使点M平移后的对应点M'落在x轴上，点B平移后的对应点B'落在y轴上，
∴抛物线向上平移一个单位长度，再向左平移3个单位长度即可，
∴平移后的解析式为： =．
故选A．
6、D
【解析】
∴选D
7、C
【解析】试题分析：根据特殊角的三角函数值可得：∠A=60°．
8、A
【分析】根据题意，⊙的半径垂直于弦，可应用垂径定理解题，平分弦，平分弦所对的弧、平分弦所对的圆心角，故,又根据同一个圆中，同弧所对的圆周角等于其圆心角的一半，可解得
【详解】⊙的半径垂直于弦，
故选A
【点睛】
本题考查垂径定理、圆周角与圆心角的关系，熟练掌握相关知识并灵活应用是解题关键.
9、B
【分析】根据配方法即可求出答案．
【详解】解：∵x2﹣6x﹣1＝0，
∴x2﹣6x＝1，
∴（x﹣3）2＝10，
故选B．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的配方法，解题的关键是熟知配方法的运用.
10、D
【解析】利用一元二次方程的定义及根的判别式列不等式a≠1且△=22﹣4a×（﹣1）＞1，从而求解.
【详解】解：根据题意得：a≠1且△=22﹣4a×（﹣1）＞1，
解得：a＞﹣1且a≠1．
故选D．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=1（a≠1）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞1时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=1时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜1时，方程无实数根．
11、D
【分析】将A，B，C三点坐标分别代入抛物线，然后化简计算即可.
【详解】解：∵点，，是抛物线上的三点，
∴，
，
.
∴
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数图象上点的坐标，将点坐标分别代入关系式，正确运算，求出a，b，c是解题的关键．
12、A
【解析】从正面看所得到的图形，进行判断即可．
【详解】解：主视图就是从正面看到的图形，因此A图形符合题意，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查三视图，解题的关键是熟知三视图的定义．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1．
【分析】首先连接DF，由四边形ABCD是正方形，可得△BFN∽△DAN，又由E，F分别是AB，BC的中点，可得=2，△ADE≌△BAF（SAS），然后根据相似三角形的性质与勾股定理，可求得AN，MN的长，即可得MN：AF的值，再利用同高三角形的面积关系，求得△DMN的面积．
【详解】连接DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AD=BC=，
∴△BFN∽△DAN，
∴，
∵F是BC的中点，
∴，
∴AN=2NF，
∴，
在Rt△ABF中，
∴，
∵E，F分别是AB，BC的中点，AD=AB=BC，
∴，
∵∠DAE=∠ABF=90°，
在△ADE与△BAF中，
，
∴△ADE≌△BAF（SAS），
∴∠AED=∠AFB，
∴∠AME=110°-∠BAF-∠AED=110°-∠BAF-∠AFB=90°．
∴，
∴，
∴．
又，
∴．
故答案为：1．
14、或
【分析】分别讨论∠E=90°，∠EBF=90°两种情况：①当∠E=90°时，由折叠性质和等腰三角形的性质可推出△BDC为等腰直角三角形，再求出∠ABD=∠ABE=22.5°，进而得到∠F=45°，推出△ADF为等腰直角三角形即可求出斜边AF的长度；②当∠EBF=90°时，先证△ABD∽△ACB，利用对应边成比例求出AD和CD的长，再证△ADF∽△CDB，利用对应边成比例求出AF.
【详解】①当∠E=90°时，由折叠性质可知∠ADB=∠E=90°，如图所示，
在△ABC中，CA=CB=4，∠C=45°
∴∠ABC=∠BAC==67.5°
∵∠BDC=90°，∠C=45°
∴△BCD为等腰直角三角形，
∴CD=BC=，∠DBC=45°
∴∠EBA=∠DBA=∠ABC-∠DBC=67.5°-45°=22.5°
∴∠EBF=45°
∴∠F=90°-45°=45°
∴△ADF为等腰直角三角形
∴AF=
②当∠EBF=90°时，如图所示，
由折叠的性质可知∠ABE=∠ABD=45°，
∵∠BAD=∠CAB
∴△ABD∽△ACB
∴
由情况①中的AD=，BD=，
可得AB=
∴AD=
∴CD=
∵∠DBC=∠ABC-∠ABD=22.8°
∵∠E=∠ADB=∠C+∠DBC=67.5°
∴∠F=22.5°=∠DBC
∴EF∥BC
∴△ADF∽△CDB
∴
∴
∵∠E=∠BDA=∠C+∠DBC=45°+67.5°-∠ABD=112.5°-∠ABD，∠EBF=2∠ABD
∴∠E+∠EBF=112.5°+∠ABD＞90°
∴∠F不可能为直角
综上所述，AF的长为或.
故答案为：或.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握折叠前后对应角相等，分类讨论利用相似三角形的性质求边长是解题的关键.
15、﹣1．
【分析】根据一元二次方程的解的概念可得关于m的方程，变形后整体代入所求式子即得答案.
【详解】解：∵m是方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根，∴m2﹣3m﹣1＝0，∴m2﹣3m＝1，
∴2m2﹣6m﹣7＝2（m2﹣3m）﹣7＝2×1﹣7＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的概念和代数式求值，熟练掌握整体代入的数学思想和一元二次方程的解的概念是解题关键.
16、
【分析】这个反比例函数的表达式为，将A、B两点坐标代入，列出方程即可求出k的值，从而求出反比例函数的表达式．
【详解】解：设这个反比例函数的表达式为
将点和代入，得
化简，得
解得：（反比例函数与坐标轴无交点，故舍去）
解得：
∴这个反比例函数的表达式为
故答案为：．
【点睛】
此题考查的是求反比例函数的表达式，掌握待定系数法是解决此题的关键．
17、 (－2，0)
【解析】由C(0,c),D(m,c),得函数图象的对称轴是 ，
设A点坐标为(x,0),由A. B关于对称轴对称得 ，
解得x=−2，
即A点坐标为(−2,0)，
故答案为(−2,0).
18、
【解析】把原点（0，0）代入y=（k+1）x2+k2﹣9，可求k，再根据开口方向的要求检验．
【详解】把原点（0，0）代入y=（k+1）x2+k2﹣9中，得：k2﹣9=0
解得：k=±1．
又因为开口向下，即k+1＜0，k＜﹣1，所以k=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】
主要考查了二次函数图象上的点与二次函数解析式的关系．要求掌握二次函数图象的性质，并会利用性质得出系数之间的数量关系进行解题．
三、解答题（共78分）
19、（1）C，②；（2）x1＝+1，x2＝﹣+1．
【分析】（1）认真分析小明的解答过程即可发现其在第几步出现错误、然后作答即可；
（2）用配方法解该二元一次方程即可.
【详解】解：（1）由小明的解答过程可知，他采用的是配方法解方程，
故选：C，
他的求解过程从第②步开始出现错误，
故答案为：②；
（2）∵x2﹣6x＝1
∴x2﹣6x+9＝1+9
∴（x﹣1）2＝10，
∴x﹣1＝±
∴x＝±+1
∴x1＝+1，x2＝﹣+1．
【点睛】
本题考查解一元二次方程的解法，解答本题的关键是掌握一元二次方程的解法，主要方法有直接开平方法、配方法、因式分解法和公式法.
20、（1）AD＝；（2）；（3）FG+EG是一个定值，为 ．
【分析】（1）先由勾股定理求出BC的长，再由直角三角形斜边中线的性质可求出AD的长；
（2）先证FG=CG=1，通过BD=CDBC=AD，求出BG的长，再证△BGE∽△BDA，利用相似三角形的性质可求出的值；
（3）由（2）知FG=CG，再证EG=BG，即可证FG+EG=BC=2．
【详解】（1）∵∠BAC=90°，且BD=CD，
∴ADBC．
∵BC2，
∴AD2．
故答案为：；
（2）如图1．
∵GF∥AD，
∴∠CFG=∠CAD．
∵BD=CDBC=AD，
∴∠CAD=∠C，
∴∠CFG=∠C，
∴CG=FG=1，
∴BG=21．
∵AD∥GE，
∴△BGE∽△BDA，
∴；
（3）如图2，随点G位置的改变，FG+EG是一个定值．理由如下：
∵ADBC=BD，
∴∠B=∠BAD．
∵AD∥EG，
∴∠BAD=∠E，
∴∠B=∠E，
∴EG=BG，
由（2）知，GF=GC，
∴EG+FG=BG+CG=BC=2，
∴FG+EG是一个定值，为2．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质等，解题的关键是能够灵活运用相似三角形的判定与性质．
21、（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据平行线的性质得∠B=∠C，然后由两个角对应相等，即可证明两个三角形相似；
（2）由（1）△AFE∽△BFA，得到，即可得到结论成立.
【详解】解：证明：（1）∵AB∥CD（已知），
∴∠B=∠C（两直线平行内错角相等），
又∠EAF=∠C（已知），
∴∠B=∠EAF（等量代换），
又∠AFE=∠BFA（公共角），
∴△AFE∽△BFA（两对对应角相等的两三角形相似）
（2）由（1）得到△AFE∽△BFA，
∴，
即AF2=EF·FB．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质进行解题.
22、（1）每次下降的百分率为20%；（2）每千克水果应涨价1.5元时，商场获得的利润最大，最大利润是6125元．
【分析】(1) 设每次下降百分率为，，得方程，求解即可
(2)根据销售利润=销售量×(售价−−进价)，列出每天的销售利润W(元))与涨价元之间的函数关系式．即可求解．
【详解】解：（1）设每次下降百分率为，根据题意，得
，
解得（不合题意，舍去）
答：每次下降的百分率为20%；
（2）设每千克涨价元，由题意得：
∵，开口向下，有最大值，
∴当（元）时，（元）
答：每千克水果应涨价1．5元时，商场获得的利润最大，最大利润是6125元．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案
23、（1）证明见解析；（2）①AD⊥BC；②2AD=3BC
【解析】（1）证出EF、HI分别是△ABC、△BCG的中位线，根据三角形中位线定理可得EF∥BC且EF=BC，HI∥BC且PQ=BC，进而可得EF∥HI且EF=HI．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；
（2）①由三角形中位线定理得出FH∥AD，再证出EF⊥FH即可；
②与三角形重心定理得出AG=AD，证出AG=BC，由三角形中位线定理和添加条件得出FH=EF，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵BE，CF是△ABC的中线，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC且EF=BC．
∵H、I分别是BG、CG的中点，
∴HI是△BCG的中位线，
∴HI∥BC且HI=BC，
∴EF∥HI且EF=HI，
∴四边形EFHI是平行四边形．
（2）解：①当AD与BC满足条件 AD⊥BC时，四边形EFHI是矩形；理由如下：
同（1）得：FH是△ABG的中位线，
∴FH∥AG，FH=AG，
∴FH∥AD，
∵EF∥BC，AD⊥BC，
∴EF⊥FH，
∴∠EFH=90°，
∵四边形EFHI是平行四边形，
∴四边形EFHI是矩形；
故答案为AD⊥BC；
②当AD与BC满足条件BC=AD时，四边形EFHI是菱形；理由如下：
∵△ABC的中线AD、BE、CF相交于点G，
∴AG=AD，
∵BC=AD，
∴AG=BC，
∵FH=AG，EF=BC，
∴FH=EF，
又∵四边形EFHI是平行四边形，
∴四边形EFHI是菱形；
故答案为2AD=3BC．
点睛：此题主要考查了三角形中位线定理，以及平行四边形的判定与性质，关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
24、（1）；（2）
【分析】（1）根据勾股定理即可得出BC=8，再运用等面积法，即可得出答案.
（2）根据正方形的性质，即可得出，再根据相似三角形的判定可得出，进而得出，设x得出方程进行求解即可.
【详解】解：（1）∵
∴BC=8
∴ = =24
∴
∴点C到AB的距离是.
（2）如图，过点作于点，交于点，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴.
设，则，
解得
∴的长为.
【点睛】
本题主要考察了勾股定理和相似三角形，正确找出三角形的线段关系和灵活运用等面积法是解题的关键.
25、（1）；（2）
【解析】（1）根据甲盘中的数字，可判断求出概率；
（2）列出符合条件的所有可能，然后确定符合条件的可能，求出概率即可.
【详解】（1）甲转盘共有1，2，3三个数字，其中小于3的有1，2，
∴P（转动甲转盘，指针指向的数字小于3）=，
故答案为．
（2）树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能情况，其中两个转盘指针指向的数字为奇数的有4种情况，
所以两个转盘指针指向的数字均为奇数的概率P==．
26、（1）B（﹣2，0），C（1，3）；（2）见解析；（3）存在这样的点 P，坐标为（﹣，﹣）或（﹣，）或（﹣5，15）．
【分析】（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得C点坐标；
（2）根据勾股定理可得∠ABC＝90°，进而可求△ODC∽△ABC.
（3）设出p点坐标，可表示出M点坐标，利用三角形相似可求得p点的坐标．
【详解】（1）解：y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，
∴顶点 A（﹣1，﹣1）；
由 ，解得：或
∴B（﹣2，0），C（1，3）；
（2）证明：∵A（﹣1，﹣1），B（﹣2，0），C（1，3），
∴AB＝ ，
BC＝ ，
AC＝，
∴AB2+BC2＝AC2，，
∴∠ABC＝90°，
∵OD＝1，CD＝3，
∴=，
∴，∠ABC＝∠ODC＝90°，
∴△ODC∽△ABC；
（3）存在这样的 P 点，设 M（x，0），则 P（x，x2+2x），
∴OM＝|x|，PM＝|x2+2x|，
当以 O，P，M 为顶点的三角形与△ABC 相似时，
有或 ，
由（2）知：AB＝ ，CB＝，
①当时，则 ＝， 当 P 在第二象限时，x＜0，x2+2x＞0，
∴，解得：x1＝0（舍），x2＝ -， 当 P 在第三象限时，x＜0，x2+2x＜0，
∴＝ ，解得：x1＝0（舍），x2＝-，
②当时，则 ＝3， 同理代入可得：x＝﹣5 或 x＝1（舍），
综上所述，存在这样的点 P，坐标为（-，-）或（-，）或（﹣5，15）．
【点睛】
本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、图象的交点问题、直角三角形的判定、勾股定理、相似三角形的性质及分类讨论等.
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