资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．已知⊙O的半径为5，若OP=6，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O外 C．点P在⊙O上 D．无法判断
2．若一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），则抛物线y=ax2+bx的对称轴为（ ）
A．直线x=1 B．直线x=﹣2 C．直线x=﹣1 D．直线x=﹣4
3．国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路.永州市2016年底大约有贫困人口13万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人.设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为，根据题意列方程得（ ）
A． B． C． D．
4．己知a、b、c均不为0,且,若，则k=（ ）
A．-1 B．0 C．2 D．3
5．如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形，若，则四边形与四边形的面积比为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得△A’CB’，若AC⊥A’B’，则∠BAC等于（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
7．方程x2﹣x＝0的解为（ ）
A．x1＝x2＝1 B．x1＝x2＝0 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝1，x2＝﹣1
8．，是的两条切线，，为切点，直线交于，两点，交于点，为的直径，下列结论中不正确的是( )
A． B． C． D．
9．如图，一条公路环绕山脚的部分是一段圆弧形状（O为圆心），过A，B两点的切线交于点C，测得∠C＝120°，A，B两点之间的距离为60m，则这段公路AB的长度是（ ）
A．10πm B．20πm C．10πm D．60m
10．二次函数y＝2x2﹣4x﹣6的最小值是（ ）
A．﹣8 B．﹣2 C．0 D．6
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，已知正方形ABCD的边长为1，点M是BC边上的动点（不与B，C重合），点N是AM的中点，过点N作EF⊥AM，分别交AB，BD，CD于点E，K，F，设BM＝x．
（1）AE的长为______（用含x的代数式表示）；
（2）设EK＝2KF，则的值为______．
12．二次函数y=3(x+2)的顶点坐标______．
13．如图，任意转动正六边形转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向大于3的数的概率是_____．
14．如图，将Rt△ABC绕直角顶点A顺时针旋转90°得到△AB′C′，连结BB′，若∠1=25°，则∠C的度数是___________．
15．化简：__________．
16．因式分解：_______________________．
17．如果函数 是二次函数，那么k的值一定是________．
18．已知△ABC，D、E分别在AC、BC边上，且DE∥AB，CD＝2，DA＝3，△CDE面积是4，则△ABC的面积是______
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D．若AB＝12，CD＝6，tanA＝，求sinB＋cosB的值．
20．（6分）已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于一点，且点的横坐标为1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当时，求反比例函数的取值范围
21．（6分）某公司开发一种新的节能产品，工作人员对销售情况进行了调查，图中折线表示月销售量(件)与销售时间(天)之间的函数关系，已知线段表示函数关系中，时间每增加天，月销售量减少件，求与间的函数表达式．
22．（8分）
23．（8分）在一空旷场地上设计一落地为矩形的小屋，，拴住小狗的长的绳子一端固定在点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为.
（1）如图1，若，则__________.
（2）如图2，现考虑在（1）中的矩形小屋的右侧以为边拓展一正区域，使之变成落地为五边形的小屋，其他条件不变，则在的变化过程中，当取得最小值时，求边的长及的最小值.
24．（8分）已知，二次函数（m，n为常数且m≠0）
（1）若n＝0，请判断该函数的图像与x轴的交点个数，并说明理由；
（2）若点A（n＋5，n）在该函数图像上，试探索m，n满足的条件；
（3）若点（2，p），（3，q），（4，r）均在该函数图像上，且p＜q＜r，求m的取值范围.
25．（10分）如图，在中，，点是边上的动点（不与重合），点在边上，并且满足.
（1）求证：；
（2）若的长为，请用含的代数式表示的长；
（3）当（2）中的最短时，求的面积.
26．（10分）如图，矩形ABCD中，∠ACB=30°，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC，BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB，BC所在的直线相交，交点分别为E，F．
（1）当PE⊥AB，PF⊥BC时，如图1，则的值为 ；
（2）现将三角板绕点P逆时针旋转α（0°＜α＜60°）角，如图2，求的值；
（3）在（2）的基础上继续旋转，当60°＜α＜90°，且使AP：PC=1：2时，如图3，的值是否变化？证明你的结论．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【解析】比较OP与半径的大小即可判断.
【详解】，，
，
点P在外，
故选B．
【点睛】
本题考查点与圆的位置关系，记住：点与圆的位置关系有3种设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内.
2、C
【解析】∵一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），∴﹣2a+b=0，即b=2a．
∴抛物线y=ax2+bx的对称轴为直线．故选C．
3、B
【分析】根据等量关系：2016年贫困人口×(1-下降率=2018年贫困人口，把相关数值代入即可．
【详解】设这两年全省贫困人口的年平均下降率为，
根据题意得：，
故选：B．
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，得到2年内变化情况的等量关系是解决本题的关键．
4、D
【解析】分别用含有k的代数式表示出2b+c，2c+a，2a+b，再相加即可求解.
【详解】∵
∴，，
三式相加得，
∵
∴k=3.
故选D.
【点睛】
本题考查了比的性质，解题的关键是求得2b+c=ak，2c+a=bk，2a+b=ck.
5、C
【解析】由位似图的面积比等于位似比的平方可得答案．
【详解】∵
即四边形和的位似比为
∴四边形和的面积比为
故选：C．
【点睛】
本题考查了位似图的性质，熟记位似图的面积比等于位似比的平方是解题的关键．
6、A
【解析】考点：旋转的性质．
分析：已知旋转角度，旋转方向，可求∠A′CA，根据互余关系求∠A′，根据对应角相等求∠BAC．
解：依题意旋转角∠A′CA=40°，
由于AC⊥A′B′，由互余关系得∠A′=90°-40°=50°，
由对应角相等，得∠BAC=∠A′=50°．故选A．
7、C
【解析】通过提取公因式对等式的左边进行因式分解，然后解两个一元一次方程即可．
【详解】解：∵x2﹣x＝0，
∴x（x﹣1）＝0，
∴x＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝0，x2＝1，
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键.
8、B
【解析】根据切线的性质和切线长定理得到PA=PB，∠APE=∠BPE，，易证△PAE≌△PBE，得到E为AB中点，根据垂径定理得；通过互余的角的运算可得．
【详解】解：∵，是的两条切线，
∴，∠APE=∠BPE，故A选项正确，
在△PAE和△PBE中，
，
∴△PAE≌△PBE（SAS），
∴AE=BE，即E为AB的中点，
∴，即，故C选项正确，
∴
∵为切点，
∴，则，
∴∠PAE=∠AOP，
又∵，
∴∠PAE=∠ABP，
∴，故D选项正确，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了切线长定理、全等三角形的判定和性质、垂径定理的推论及互余的角的运算，熟练掌握这些知识点的运用是解题的关键．
9、B
【分析】连接OA，OB，OC，根据切线的性质得到∠OAC＝∠OBC＝90°，AC＝BC，推出△AOB是等边三角形，得到OA＝AB＝60，根据弧长的计算公式即可得到结论．
【详解】解：连接OA，OB，OC，
∵AC与BC是⊙O的切线，∠C＝120°，
∴∠OAC＝∠OBC＝90°，AC＝BC，
∴∠AOB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝AB＝60，
∴公路AB的长度＝＝20πm，
故选：B．
【点睛】
本题主要考察切线的性质及弧长，解题关键是连接OA，OB，OC推出△AOB是等边三角形.
10、A
【分析】将函数的解析式化成顶点式，再根据二次函数的图象与性质即可得．
【详解】
因此，二次函数的图象特点为：开口向上，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大
则当时，二次函数取得最小值，最小值为．
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质，熟记函数的图象特征与性质是解题关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、 x
【分析】（1）根据勾股定理求得AM，进而得出AN，证得△AEN∽△AMB，由相似三角形的性质即可求得AE的长；
（2）连接AK、MG、CK，构建全等三角形和直角三角形，证明AK＝MK＝CK，再根据四边形的内角和定理得∠AKM＝90°，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得NK＝AM＝AN，然后根据相似三角形的性质求得＝＝x，即可得出＝x．
【详解】（1）解：∵正方形ABCD的边长为1，BM＝x，
∴AM＝，
∵点N是AM的中点，
∴AN＝，
∵EF⊥AM，
∴∠ANE＝90°，
∴∠ANE＝∠ABM＝90°，
∵∠EAN＝∠MAB，
∴△AEN∽△AMB，
∴＝，即＝，
∴AE＝，
故答案为：；
（2）解：如图，连接AK、MG、CK，
由正方形的轴对称性△ABK≌△CBK，
∴AK＝CK，∠KAB＝∠KCB，
∵EF⊥AM，N为AM中点，
∴AK＝MK，
∴MK＝CK，∠KMC＝∠KCM，
∴∠KAB＝∠KMC，
∵∠KMB+∠KMC＝180°，
∴∠KMB+∠KAB＝180°，
又∵四边形ABMK的内角和为360°，∠ABM＝90°，
∴∠AKM＝90°，
在Rt△AKM中，AM为斜边，N为AM的中点，
∴KN＝AM＝AN，
∴＝，
∵△AEN∽△AMB，
∴＝＝x，
∴＝x，
故答案为：x．
【点睛】
本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形判定和性质，等腰三角形的性质，以及直角三角形斜边.上的中线的性质，证得KN= AN是解题的关键．
12、 (-2,0）；
【分析】由二次函数的顶点式，即可得到答案．
【详解】解：二次函数y=3(x+2)的顶点坐标是（，0）；
故答案为：（，0）；
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的顶点坐标．
13、．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】共个数，大于的数有个，
（大于）；
故答案为．
【点睛】
本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
14、70°
【详解】解：∵Rt△ABC绕直角顶点A顺时针旋转90°得到△AB′C′，
∴AB=AB′，
∴△ABB′是等腰直角三角形，
∴∠ABB′=45°，
∴∠AC′B′=∠1+∠ABB′=25°+45°=70°，
由旋转的性质得∠C=∠AC′B′=70°．
故答案为70°．
【点睛】
本题考查旋转的性质，掌握旋转图像对应边相等，对应角相等是本题的解题关键．
15、0
【分析】根据cos（90°-A）=sinA，以及特殊角的三角函数值，进行化简，即可.
【详解】原式=
=
=
=0.
故答案是：0
【点睛】
本题主要考查三角函数常用公式以及特殊角三角函数值，掌握三角函数的常用公式，是解题的关键.
16、
【分析】先提公因式，再用平方差公式分解.
【详解】解：
【点睛】
本题考查因式分解，掌握因式分解方法是关键.
17、-1
【解析】根据二次函数的定义判定即可．
【详解】∵函数是二次函数，
∴k2-7＝2，k-1≠0
解得k=-1．
故答案为：-1．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数的定义是解题关键．
18、25
【分析】根据DE∥AB得到△CDE∽△CAB，再由CD和DA的长度得到相似比，从而确定△ABC的面积.
【详解】解：∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∵CD＝2，DA＝3，
∴，
又∵△CDE面积是4，
∴，
即，
∴△ABC的面积为25.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积之比等于相似比的平方.
三、解答题(共66分)
19、.
【分析】试题分析：先在Rt△ACD中，由正切函数的定义得tanA=，求出AD=4，则BD=AB﹣AD=1，再解Rt△BCD，由勾股定理得BC==10，sinB=，cosB=，由此求出sinB+cosB=．
【详解】解：在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，
∴tanA=，
∴AD=4，
∴BD=AB﹣AD=12﹣4=1．
在Rt△BCD中，∵∠BDC=90°，BD=1，CD=6，
∴BC==10，
∴sinB=，cosB=，
∴sinB+cosB==．
故答案为
考点：解直角三角形；勾股定理．
20、（1）；（2）．
【分析】（1）根据M点的横坐标为1，求出k的值，得到反比例函数的解析式；
（2）求出x=2，x=5时y的取值，再根据反比例函数的增减性求出y的取值范围．
【详解】（1）正比例函数的图象与反比例函数的图象交于一点，且点的横坐标为．
，
，
反比例函数的解析式为；
（2）在反比例函数中，当，
当，
在反比例函数中，，
当时，随的增大而减小，
当时，反比例函数的取值范围为．
【点睛】
此题考查了三个方面：（1）函数图象上点的坐标特征；（2）用待定系数法求函数解析式；（3）反比例函数的增减性．
21、．
【分析】由时间每增加1天日销售量减少5件结合第18天的日销售量为360件，即可求出第19天的日销售量，再根据点的坐标，利用待定系数法可求出直线OD、DE的函数关系式，即可找出y与x之间的函数关系式；
【详解】当时，
设直线OD的解析式为
将代入得，
∴，
∴直线OD的解析式为：，
当时，
根据题意“时间每增加天，月销售量减少件”，则第19天的日销售量为：360-5=355，
设直线DE的解析式为，
将，代入得，
解得：，
∴直线DE的解析式为，
∴与间的函数表达式为：
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：根据数量间的关系列式计算；根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式．
22、
【分析】移项，利用配方法解方程即可．
【详解】移项得：，
配方得：，
∴ ，
∴．
【点睛】
本题主要考查了解一元二次方程－配方法，正确应用完全平方公式是解题关键．
23、（1）88π；（2）BC长为；S的最小值为．
【分析】（1）小狗活动的区域面积为以B为圆心、10为半径的圆，以C为圆心、6为半径的圆和以A为圆心、4为半径的圆的面积和，据此列式求解可得；
（2）此时小狗活动的区域面积为以B为圆心、10为半径的圆，以A为圆心、x为半径的圆、以C为圆心、10-x为半径的圆的面积和，列出函数解析式，由二次函数的性质解答即可．
【详解】解：（1）如图1，拴住小狗的10m长的绳子一端固定在B点处，小狗可以活动的区域如图所示：
由图可知，小狗活动的区域面积为以B为圆心、10为半径的圆，以C为圆心、6为半径的圆和以A为圆心、4为半径的圆的面积和，
∴S=×π•102+•π•62+•π•42=88π，
故答案为：88π；
（2）如图2，
设BC=x，则AB=10-x，
∴S=•π•102+•π•x2+•π•（10-x）2
=（x2-5x+250）
=（x-）2+，
当x=时，S取得最小值，
∴BC长为；S的最小值为．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据绳子的长度结合图形得出其活动区域及利用扇形的面积公式表示出活动区域面积．
24、 (1) 函数图像与轴有两个交点； (2) 或； (3) 且m≠0
【分析】（1）先确定△=b2-4ac>0，可得函数图象与轴有两个交点；（2）将点A代入中即可得m，n应满足的关系；（3）根据二次函数的增减性进行分类讨论.
【详解】解： (1)当时，原函数为
该函数图像与轴有两个交点
(2)将代入原函数得：
或
(3) 对称轴
①当2，3，4在对称轴的同一侧时，且m≠0
且m≠0
②当2，3，4在对称轴两侧时，
综上：且m≠0
【点睛】
本题考查二次函数图象的特征，利用图象特征与字母系数的关系，观察图象即数形结合是解答此题的关键.
25、（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，然后根据三角形的外角性质可得，进而可证得结论；
（2）根据相似三角形的对应边成比例可得CE与x的关系，进一步即可得出结果；
（3）根据（2）题的结果，利用二次函数的性质可得AE最短时x的值，即BD的长，进而可得AD的长和△ADC的面积，进一步利用所求三角形的面积与△ADC的面积之比等于AE与AC之比即得答案.
【详解】解：（1）∵，∴，∵，∴，
∵，∴，
∴；
（2）∵，∴，∴，
∴，
∴；
（3）∵，∴时，的值最小为6.4，此时，
∵，∴，∴，
∴，
∵，即，
∴.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质、二次函数的性质、勾股定理、等腰三角形的性质和三角形的面积等知识，属于中档题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质与二次函数的性质是解题的关键.
26、（1）；（2）；（3）变化.证明见解析.
【分析】（1）证明△APE≌△PCF，得PE=CF；在Rt△PCF中，解直角三角形求得的值即可；
（2）如答图1所示，作辅助线，构造直角三角形，证明△PME∽△PNF，并利用（1）的结论，求得的值；
（3）如答图2所示，作辅助线，构造直角三角形，首先证明△APM∽△PCN，求得；然后证明△PME∽△PNF，从而由求得的值.与（1）（2）问相比较，的值发生了变化.
【详解】（1）∵矩形ABCD，∴AB⊥BC，PA=PC.
∵PE⊥AB，BC⊥AB，∴PE∥BC.∴∠APE=∠PCF.
∵PF⊥BC，AB⊥BC，∴PF∥AB.∴∠PAE=∠CPF.
∵在△APE与△PCF中，∠PAE=∠CPF，PA=PC，∠APE=∠PCF，
∴△APE≌△PCF（ASA）.∴PE=CF.
在Rt△PCF中，，∴；
（2）如答图1，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN.
∵PM⊥PN，PE⊥PF，∴∠EPM=∠FPN.
又∵∠PME=∠PNF=90°，∴△PME∽△PNF.
∴.
由（1）知，，
∴.
（3）变化.证明如下：
如答图2，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN，PM∥BC，PN∥AB.
∵PM∥BC，PN∥AB，
∴∠APM=∠PCN，∠PAM=∠CPN.
∴△APM∽△PCN.
∴，得CN=2PM.
在Rt△PCN中，，
∴.
∵PM⊥PN，PE⊥PF，∴∠EPM=∠FPN.
又∵∠PME=∠PNF=90°，∴△PME∽△PNF.
∴.
∴的值发生变化.
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