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第一讲 集合与常用逻辑用语

一、主干知识整合

1.集合的概念、关系与运算
(1)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性。求解含参数的集合问题时要根据互异性进行检验．
(2)集合与集合之间的关系：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C，空集是任何集合的子集，含有n个元素的集合的子集数为2n.
(3)集合的运算：∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)，∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(∁UA)＝A.

2．四种命题及其关系
四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，遇到复杂问题正面解决困难的，采用转化为反面情况处理．

3．充分条件与必要条件
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇔q，则p，q互为充要条件．

4．简单的逻辑联结词
(1)命题p∨q，只要p，q有一真，即为真；命题p∧q，只有p，q均为真，才为真；﹃p和p为真假对立的命题．
(2)命题p∨q的否定是(﹃p)∧(﹃q)；命题p∧q的否定是(﹃p)∨(﹃q)．

5．含有量词的命题的否定
“∀x∈M，p(x)”的否定为“∃x0∈M，﹃p(x0)”；“∃x0∈M，p(x0)”的否定为“∀x∈M，﹃p(x)”.

二、要点热点探究
►　探究点一　集合的概念、关系和基本运算
例1 (1)[2012·课程标准卷] 已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为(　　)
A．3 B．6 C．8 D．10

(2)已知集合A＝{z∈C|z＝1－2ai，a∈R}，B＝{z∈C||z|＝2}，则A∩B＝(　　)
A．{1＋i,1－i} B．{－i} C．{1＋2i,1－2i} D．{1－i}

变式题 (1)已知集合A＝{x∈N|0≤x≤5}，∁AB＝{1,3,5}，则集合B＝(　　)
A．{2,4} B．{0,2,4} C．{0,1,3} D．{2,3,4}

(2)已知集合M＝{y|y＝2x}，集合N＝{x|y＝lg(2x－x2)}，则M∩N＝(　　)
A．(0,2) B．(2，＋∞) C．[0，＋∞) D．(－∞，0)∪(2，＋∞)

►　探究点二　命题的认识及其真假判断
例2 (1)[2012·湖南卷] 命题“若α＝，则tanα＝1”的逆否命题是(　　)
A．若α≠，则tanα≠1 B．若α＝，则tanα≠1
C．若tanα≠1，则α≠ D．若tanα≠1，则α＝

(2)已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0”．若命题“(﹃p)∧q”是真命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≤－2或a＝1 B．a≤－2或1≤a≤2 C．a>1 D．－2≤a≤1

►　探究点三　充分条件、必要条件的推理与判断
例3 (1)[2012·山东卷] 设a>0且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

(2)若条件p：－3≤x≤1，条件q：x2＋2x－3<0，则﹃p是﹃q的(　　)
A.充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

►　探究点四 量词与命题的否定
例4 [2012·辽宁卷] 已知命题p：∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则﹃p是(　　)
A．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
B．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
C．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)＜0
D．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)＜0
变式题 命题：“对任意a∈R，方程ax2－3x＋2＝0有正实根”的否定是(　　)
A．对任意a∈R，方程ax2－3x＋2＝0无正实根
B．对任意a∈R，方程ax2－3x＋2＝0有负实根
C．存在a∈R，方程ax2－3x＋2＝0有负实根
D．存在a∈R，方程ax2－3x＋2＝0无正实根

抽象概括能力——集合中三种语言的转换

　示例 设平面点集A＝(x，y)(y－x)·y－≥0，B＝，则A∩B所表示的平面图形的面积为(　　)
A.π B.π C.π D.

[跟踪练]
1．集合M＝，集合N＝，则M∩N＝(　　)
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞ ) C．(0,1) D．(0,1)∪(1，＋∞)

2．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1}，B＝{(x，y)|－1≤x≤1，－1≤y≤1}，则集合N＝{(x，y)|x＝x1＋x2，y＝y1＋y2，(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}表示的区域的面积是________．

备用例题：
例1　[2011·陕西卷] 设集合M＝{y|y＝|cos2x－sin2x|，x∈R}，N＝x＜，i为虚数单位，x∈R，则M∩N为(　　)
A．(0,1)
B．(0,1]
C．[0,1)
D．[0,1]

例2　[2012·天津卷] 设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

例3　[2012·江西卷] 下列命题中，假命题为(　　)
A．存在四边相等的四边形不是正方形
B．z1，z2∈C，z1＋z2为实数的充分必要条件是z1，z2互为共轭复数
C．若x，y∈R，且x＋y>2，则x，y至少有一个大于1
D．对于任意n∈N*，C＋C＋…＋C都是偶数

参考答案：例1（1）D(2)A例1变式题（1）B(2)A
例2（1）C(2)C
例3（1）A(2)A
例4 C 例4 D

示例：D【跟踪练】（1）B(2)
备用例题：
例1：[答案] C
[解析] 对于M，由二倍角公式得y＝|cos2x－sin2x|＝
|cos2x|，故0≤y≤1.对于N，因为x－＝x＋i，由<，得<，所以－1<x<1，故M∩N＝[0,1)，故答案为C.
例2：[答案] A
[解析] 本题考查命题及充要条件，考查推理论证能力，容易题．
当φ＝0时，f(x)＝cos(x＋φ)＝cosx为偶函数成立；但当f(x)＝cos(x＋φ)为偶函数时，φ＝kπ，k∈Z, φ＝0不一定成立．
例3：[答案] B
[解析] 考查命题的真假的判断、含量词命题真假的判断、组合数性质以及逻辑推理能力等．∵菱形四边相等，但不是正方形，
∴A为真命题；∵z1，z2为任意实数时，z1＋z2为实数，∴B为假命题；∵x，y都小于等于1时，x＋y≤2，∴C为真命题；∵C＋C＋C＋…＋C＝2n，又n∈N*，∴D为真命题．故选B.

【家庭训练题】　集合与常用逻辑用语

1．已知集合P＝{－1，m}，Q＝，若P∩Q≠∅，则整数m的值为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．4

2．设全集U＝{x∈Z|－1≤x≤3}，A＝{x∈Z|－1<x<3}，B＝{x∈Z|x2－x－2≤0}，则(∁UA)∩B＝(　　)
A．{－1} B．{－1，2}
C．{x|－1<x<2} D．{x|－1≤x≤2}

3．“p且q是真命题”是“非p为假命题”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4．设集合M＝{－1}，N＝，若M⊆N，则集合N＝(　　)
A．{2} B．{－2，2}
C．{0} D．{－1，0}

5．下列命题中错误的是(　　)
A．命题“若x2－5x＋6＝0，则x＝2”的逆否命题是“若x≠2，则x2－5x＋6≠0”
B．若x，y∈R，则“x＝y”是xy≥成立的充要条件
C．已知命题p和q，若p∨q为假命题，则命题p与q中必一真一假
D．对命题p：∃x∈R，使得x2＋x＋1<0，则﹃p：∀x∈R，则x2＋x＋1≥0

6．A＝{x|x≠1，x∈R}∪{y|y≠2，y∈R}，B＝{z|z≠1且z≠2，z∈R}，那么(　　)
A．A＝B B．AB
C．AB D．A∩B＝∅

7．设a，b∈R，则“a>1且0<b<1”是“a－b>0且>1”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

8．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，则λ<－4是向量m＝λa＋b与向量n＝(3，－1)的夹角为钝角的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

9．给出下列说法：
①命题“若α＝，则sinα＝”的否命题是假命题；
②p：∃x0∈R，使sinx0>1，则﹃p：∀x∈R，sinx≤1；
③“φ＝＋2kπ(k∈Z)”是“函数y＝sin(2x＋φ)为偶函数”的充要条件；
④命题p：“∃x∈，使sinx＋cosx＝”，命题q：“在△ABC中，若sinA>sinB，则A>B”，那么命题(﹃p)∧q为真命题．
其中正确的个数是(　　)
A．4
B．3
C．2
D．1

10．用含有逻辑联结词的命题表示命题“若xy＝0，则x＝0且y＝0”的否定是________________________________________________________________________．

11．已知A，B均为集合U＝{1，2，3，4，5，6}的子集，且A∩B＝{3}，(∁UB)∩A＝{1}，(∁UA)∩(∁UB)＝{2，4}，则B∩(∁UA)＝________．

12．若“∀x∈R，ax2＋2ax＋1>0”为真命题，则实数a的取值范围是________．

　【家庭训练题】　集合与常用逻辑用语参考答案

【基础演练】
1．A　[解析] 根据集合元素的互异性m≠－1，在P∩Q≠∅的情况下整数m的值只能是0.
2．A　[解析] 集合U＝{－1，0，1，2，3}，集合A＝{0，1，2}，集合B＝{－1，0，1，2}，所以(∁UA)∩B＝{－1，3}∩{－1，0，1，2}＝{－1}．
3．A　[解析] p且q是真命题，说明p，q都是真命题，此时非p为假命题，条件是充分的；当非p是假命题时，p为真命题，必须q再是真命题，才能使p且q是真命题，即在只有p为真命题的条件下，p且q未必为真命题，故条件不是必要的．
4．D　[解析] 因为M⊆N且1＋cos≥0，log0.2(|m|＋1)<0，所以log0.2(|m|＋1)＝－1，可得|m|＋1＝5，故m＝±4，N＝{0，1}．
【提升训练】
5．C　[解析] A，D明显正确；对于B，xy≥可变为(x－y)2≤0，也就是x＝y，所以B正确；对于C，p∨q为假命题，则命题p与q都为假命题，故C错．
6．C　[解析] 集合中的代表元素与用什么字母表示无关．
事实上A＝(－∞，1)∪(1，＋∞)∪(－∞，2)∪(2，＋∞)＝(－∞，＋∞)，集合B＝(－∞，1)∪(1，2)∪(2，＋∞)，所以AB.
7．A　[解析] 显然a>1且0<b<1⇒a－b>0且>1；反之，a－b>0且>1⇒a>b且>0⇒a>b且b>0，这样推不出a>1且0<b<1.故“a>1且0<b<1”是“a－b>0且>1”的充分而不必要条件．
8．A　[解析] m＝(λ＋2，2λ＋3)，m，n的夹角为钝角的充要条件是m·n<0且m≠μn(μ<0)．m·n<0，即3(λ＋2)－(2λ＋3)<0，即λ<－3；若m＝μn，则λ＋2＝3μ，2λ＋3＝－μ，解得μ＝，故m＝μn(μ<0)不可能，所以，m，n的夹角为钝角的充要条件是λ<－3，故λ<－4是m，n的夹角为钝角的充分而不必要条件．
9．B　[解析] ①中命题的否命题是“若α≠，则sinα≠”，这个命题是假命题，如α＝时sinα＝，故说法①正确；根据对含有量词的命题的否定方法，说法②正确；y＝sin(2x＋φ)为偶函数的充要条件是φ＝kπ＋(k∈Z)，说法③不正确；当x∈时恒有sinx＋cosx>1，故命题p为假命题，綈p为真命题，根据正弦定理sinA>sinB⇔2RsinA>2RsinB⇔a>b⇔A>B，命题q为真命题，故(綈p)∧q为真命题，说法④正确．
(注：说法①中，根据四种命题的关系，一个命题的否命题与逆命题等价，可以转化为判断原命题的逆命题的真假，原命题的逆命题是：若sinα＝，则α＝，这显然是一个假命题)
10．若xy＝0，则x≠0或y≠0　[解析] 命题的否定只否定命题的结论，逻辑联结词“且”要改成“或”．
11．{5，6}　[解析] 依题意作出满足条件的韦恩图，可得B∩(∁UA)＝{5，6}．

12．[0，1)　[解析] 问题等价于对任意实数x，不等式ax2＋2ax＋1>0恒成立．当a＝0时，显然成立；当a≠0时，只能是a>0且Δ＝4a2－4a<0，即0<a<1.故a的取值范围是[0，1)．(注：形式上的二次三项式ax2＋bx＋c中，系数a有等于零的可能性)