通信原理答案第三章 2A.doc

第三章
3-1 设是，的高斯随机变量，试确定随机变量的概率密度函数，其中均为常数。
解：，

3-2 设一个随机过程可以表示
式中，是一个随机变量，且， ，试求及。
解： 由 得到随机变量的概率密度分布函数为
，

3-3 设是一随机过程，若X1和X2是彼此独立且具有均值为0、方差为σ2的正态随机变量，试求：
（1）、；
（2）的一维分布密度函数;
（3）和。

3-4 已知和是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为和，自相关函数分别为、。
（1）试求乘积的自相关函数；
（2）试求和的自相关函数。

3-5 已知随机过程，其中，是广义平稳过程，且其自相关函数为
随机变量在上服从均匀分布，它与彼此统计独立。
（1） 证明是广义平稳的；
（2） 试画出自相关函数的波形；
（3） 试求出功率谱密度及功率。
解：

因为 ，得到

所以，（1）是广义平稳的；
（2）略
（3）

其中，。
，
或者，

3-6 已知噪声的自相关函数为

（1）求出其功率谱密度及功率；
（2）试画出及的图形。
解：（1）

（2）略。

3-7 一个均值为，自相关函数为的平稳随机过程通过一个线性系统后的输出过程为
， 为延时时间
（1）画出该系统的框图；
（2）试求的自相关函数和功率谱密度。
解：
（1）略
（2）

3-8 一个中心频率为、带宽为B的理想带通滤波器如图P3-1所示。假设输入是均值为0、功率谱密度为n0/2的高斯白噪声，试求： （1）滤波器输出噪声的自相关函数；（2）滤波器输出噪声的平均功率；（3）输出噪声的一维概率密度函数。

3-9 一个RC低通滤波器如图P3-2所示，假设输入是均值为0、功率谱密度为n0/2的白噪声时，试求：
（1）输出噪声的功率谱密度和自相关函数。
（2）输出噪声的一维概率密度函数。

（2），
由题3-8，输出噪声的一维概率密度函数为：

3-10 一个LR低通滤波器如图P3-3所示，假设输入是均值为0、功率谱密度为n0/2的白噪声时，试求：
（1）输出噪声的自相关函数。
（2）输出噪声的方差。

解：（1）LR低通滤波器的传输函数为

输出噪声的功率谱密度为

（2）

3-11 设有一个随机二进制矩形脉冲波形，它的每个脉冲的持续时间为，脉冲幅度取的概率相等。现假设任一间隔内波形取值与任何别的间隔内取值统计无关，且具有宽平稳性，试证：
（1）自相关函数

（2）功率谱密度
证明：
这是一个等概率发送的双极性矩形脉冲序列，可以证明（见第6章138页式（6.1-26）和140页例题6-2）

因为，函数门函数，两个函数的乘积两个门函数的卷积，可以证明自相关函数为一三角波。即

3-12 图P3-4为单个输入，两个输出的线性过滤器，若输入过程是平稳的，试求和的互功率谱密度的表达式。

图P3-4
解：

3-13 设平稳过程的功率谱密度为，起自相关函数为。试求功率谱密度为

所对应的过程的相关函数（其中，为正常数）。
解：所求为

3-14 是功率谱密度为的平稳随机过程，该过程通过图P3-5所示的系统。
（1）求出过程是否平稳？

延时T
相加

（2）求的功率谱密度。

图P3-5
解：（1）相加运算和微分运算都是线性运算，因为“若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平稳的”，所以，是平稳的。
（2）经过延时T后的信号为
，所以

所以，系统传输函数为

功率谱密度为

3-15 设是平稳随机过程，其自相关函数在上为，是周期为的周期性函数。试求的功率谱密度，并用图形表示。
解：将按傅立叶级数展开：

（图略。）
期末试题精选与答案
1．平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而不同，其一维分布与 无关，二维分布只与 有关。
2．一个均值为零，方差为的窄带平稳高斯过程，其同相分量和正交分量是 过程，均值为 ，方差为 。
3．均值为零的平稳窄带高斯过程，其包络的一维分布是 ，其相位的一维分布是 。
4．白噪声在 上，随机变量之间不相关。
5．高斯过程通过线性系统以后是 过程。

答案
1．时间 时间间隔
2．平稳高斯 0
3．瑞利分布 均匀分布
4．同一时刻
5．高斯

考研试题精选
1．双边功率谱密度为的高斯白噪声，通过中心频率为，带宽为的理想带通滤波器，其输出包络的一维概率密度函数为 。
2．功率谱密度为的平稳过程的自相关函数为 。
3．什么是广义平稳、狭义平稳？两者关系如何？
4．窄带高斯白噪声中的“窄带”、“ 高斯”和“白”的含义是什么？
5．已知是一幅度调制信号，其中为常数；是零均值平稳随机基带信号，的自相关函数和功率谱密度分别是和；相位为在[]区间服从均匀分布的岁机变量，并且与相互独立。
（1）试证明是广义平稳的随机过程；
（2）试求的功率谱密度。
6．设信道噪声具有均匀的双边功率谱密度，接收滤波器的传输特性为

（1） 求滤波器的输出噪声功率谱密度和平均噪声功率
（2） 求滤波器输入噪声的自相关函数和输出噪声的自相关函数

答案
1．，其中，。
2．，其中
3．狭义平稳过程：其任意维分布与时间的起点无关，如一维分布与无关，二维分布只与有关；广义平稳过程：其数学期望与无关，而其相关函数仅与时间间隔有关。两者关系：狭义平稳一定是广义平稳的，反之不一定成立。
4．“窄带”的含义：（1）频带宽度远小于中心频率（），（2）中心频率原离零频（）；
“ 高斯”的含义：噪声的瞬时值服从正态分布；
“白”的含义：噪声的功率谱密度在通带的范围内是平坦的（为常数）。

5．解：因为与独立

相关函数

因为均值与时间无关，相关函数只与时间间隔有关，是广义平稳过程。
6．解
（1）功率谱密度

平均功率
（2）
输入噪声的自相关函数：
输出噪声的自相关函数：