差分方程介绍省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢您,4.4,差分方程建模,一、差分方程介绍,以,t,表示时间，规 定,t,只取非负整数。,t,=0,表示第一周期初，,t,=1,表示第二周期初等。记,y,t,为变量,y,在时刻,t,时取值，则称 为,y,t,一阶差分,，称,为,二阶差分,。类似地，能够定义,y,t,n,阶差分。,由,t,、,y,t,及,y,t,差分给出方程称 为,y,t,差分方程，其中含最高阶差分阶数称为该差分方程,阶,。差分方程也能够写成不显含差分形式。比如，二阶差分方程,也可改写成,第1页,满足一差分方程序 列,y,t,称为此差分方程解。类似于微分方程情况，若解中含有独立常数个数等于差分方程阶数时，称此解为该差分方程,通解,。若解中不含任意常数，则称此解为满足一些初值条件,特解,，比如，考查两阶差分方程,易见,与,均是它特解，而,则为它通解，其 中,c,1,，,c,2,为两个任,意常数。类似于微分方程，称差分方程,为,n,阶线性差分方程，当,0,时称其为,n,阶非齐次线性差分方程，而,第2页,则被称为方程对应,齐次线性差分方程,。,若全部,a,i,(,t,),均为与,t,无关常数，则称其为,常系数差分方程,，即,n,阶常系数线性差分方程可分成,（4.15）,形式，其对应齐次方程为,（4.16）,轻易证实，若序列,与,均为方程（,4.16,）解，则,也是方程（,4.16,）解，其 中,c,1,、,c,2,为任意常数，这说明，,齐次方程解组成一个,线性空间,（解空间）。,此规律对于（,4.15,）也成立。,第3页,方程（,4.15,）可用以下代数方法求其通解：,（,步一,）先求解对应特征方程,（4.17）,（,步二,）依据特征根不一样情况，求齐次方 程(,4.16,)通解,情况1,若特征方程（,4.17,）有,n,个互不相同实根,，则齐次方程（,4.16,）通解为,(,C,1,C,n,为任意常数),，,情况2,若,是特征方程（,4.17,）,k,重根，通解中对应,于,项为,为任意常数，,i,=1,k,。,情况3,若特征方程（,4.17,）有单重复根,通解中对应它们项为,为,模，,为,幅角。,第4页,情况4,若,为特征方程（,4.17,）,k,重复根，则通,解对应于它们项为,为任意常数，,i,=1,2,k,。,.若,y,t,为方程(,4.16,)通解,则非齐次方程(,4.15,)通解为,（,步三,）求非齐次方程(,4.15,)一个特解,求非齐次方程（,4.15,）特解普通要用到,常数变易法,，计算较繁。对特殊形式,b,(,t,),也可使用,待定系数法,。,第5页,例4.13,求解两阶差分方程,解,对应齐次方程特征方程为,，其特征根为,，对应齐次方程通解为,原方程有形如,特解。代入原方程求得,，,，故原方程通解为,在应用差分方程研究问题时，普通不需要求出方程通解，在给定初值后，通常可用,计算机迭代,求解，但我们经常需要讨论解稳定性。对 差分方程(,4.15),若不论其对应齐次方程通解中任意常 数,C,1,C,n,怎样取值,在 时总有 ,则称方程(,7.14,)解是稳定,不然称其解为不稳定.依据通解结构不难看出,非齐次方程(,4.15,)稳定充要条件为其全部特征根模均小 于,1,。,第6页,例4.14,（,市场经济蛛网模 型,）,在自由竞争市场经济中，商品价格是由市场上该商品供给量决定，供给量越大，价格就越低。另首先，生产者提供商品数量又是由该商品价格决定，价格上升将刺激生产者生产主动性，造成商品生产量增加。反之，价格降低会影响生产者主动性，造成商品生产量下降。,在市场经济中，对每一商品实际上存在着两个不一样函数：,（1）供给函数,x,=,f,(,P,)，,它是价格,P,单增函数，其曲线称为供给曲线。,（2）需求函数,x,=,g,(,P,)，,它是价格,P,单降函数，其曲线称为需求曲线，供给曲线与需求曲线 形状如图所表示。,第7页,记,t,时段初市场上供给量(即上,一时段生产 量)为,x,t,，市场上,该商品价格 为,P,t,。商品成交,价格是由需求曲线决定，即,伴随,M,t,将趋于平衡点,M,*,即商品量将趋于平衡 量,x,*,价格将趋于平衡价 格,P,*,。,图中箭线反应了在市场经济下该商品供给量与价格发展趋势。,x,o,P,P,0,P,2,P,*,P,1,x,x,1,x,2,x,0,x,*,需求曲线,供给曲线,M,0,M,2,M,1,M,*,P,o,M,3,M,2,M,1,不过，假如供给曲线和需求曲线呈图,中形状，则平衡点,M,*,是不稳定，,M,t,将越来越远离平衡点。,第8页,图,和图,区分在哪里，,怎样判定平衡点稳定 性呢？,不过，假如供给曲线和需求曲线呈 图,中形状，则平衡点,M,*,是不稳定，,M,t,将越来越远离平衡点。即使初始时刻供给量和价格对应于平衡点，一点微小波动也会造成市场供求出现越来越大混乱。上述用图示法分析市场经济稳定性讨论在经济学中被称为市场经济,蛛网模型,。,不难看出，在 图,中平衡点,M,*,处供给曲线切线斜率大于需求曲线切线斜率绝对值，而在图,中情况恰好相反。,第9页,现在利用差 分方程方法来研究蛛网模型，以验证上述猜测是否正确。我们知道，平衡 点,M,*,是否稳定取决于 在,M,*,附近供、需曲线局部性态。为此，用,M,*,处供、需曲线线性近似来代替它们，并讨论此线性近似模型 中,M,*,稳定性。,设供给曲线与需求曲线线性近似分别为,和,式中，,a,、,b,分别为供给曲线在,M,*,处切线斜率与需求曲线 在,M,*,处切线斜率绝对值。,依据市场经济规律，当供给量 为,x,t,时，现时段价格,，又对价格,，由供给曲线,解得下一时段商品量,第10页,由此导出一阶差分方程：,（,4.18,）,此差分方程解在,(b/a),b,时，用户需求对价格敏感度较小（小于生产者敏感程度），商品供给量和价格会自行调整而逐步趋于稳定；反之，若,a,b,（商品紧缺易引发用户抢购），该商品供售市场易造成混乱 .,假如生产者对市场经济蛛网模型有所了解，为了降低因价格波动而造成经济损失，他应该提升自己经营水平，不应该仅依据上一周期价格来决定现阶段生产量。比如能够依据本时段与前一时段价格平均值来确定生产量。此时，若,t,时段商品量为,x,t,时，仍有,第11页,（,4.21,）,将（4.19）式、（4.21）式代入（4.20）式，整理得,（,4.19,）,但,t,+1,时段商品量则不再为,而被修正为,（,4.20,）,由（4.19）式得,（,4.22,）,（4.22）式是一个常系数二阶线性差分方程，特征方程为,其特征根为,第12页,记,。若,，则,此时差分方程（,4.22,）是不稳定。,，,若,，此时特征根,为一对共轭复数，,。,由线性差分方程稳定条件，当,r,2,即,b,2,a,时（,4.22,）式是稳定，从 而,M,*,是稳定平衡点。,不难发觉，生产者管理方式这一更动不但使自己降低了因价格波动而带来损失，而且大大消除了市场不稳定性。生产者在采取上述方式来确定各时段生产量后，如发觉市场仍不稳定（,b,2,a,），可按类似方法试图再改变确定生产量方式，此时可得到更高阶差分方程。对这些方程稳定性条件研究很可能会导出深入稳定市场经济新办法。,第13页,例4.15,国民经济稳定性,国民收入主要起源是生产，国民收入开支主要用于消费资金、投入再生产积累资金及政府用于公共设施开支。现在我们用差分方程方法建立一个简略模型，粗略地分析一下国民经济稳定性问题。,再生产投资水 平,I,t,取决于消费水平改变量，设,政府用于公共设施开支在一个不太大时期内变动不大，设,为常数,G,。故由,可得出,。将,及,代入,。,记,y,t,为第,t,周期国民收入，,C,t,为第,t,周期消费资金。,C,t,值决定于前一周期国民收入，设,第14页,（,4.23,）,（4.23）式是一个二阶常系数差分方程，其特征方程为,，对应特征根为,（,4.24,）,成立时才是稳定。（4.24）式可用于预报经济发展趋势。,现用待定系数法求方程（4.23）一个特解,。令,代入（4.23）式，得,故当（4.24）式成立时，差分方程（4.23）通解为,其中,为,模，,为其幅角。,第15页,比如，若取,，,易见，此时关系式（,4.12,）成立，又若 取,y,0,=1600,，,y,1,=1700，,G,=550,，则由迭代公式,求得,y,2,=1862.5,y,3,=.8,y,4,=2110.3,y,5,=2171.2,y,6,=2201.2,y,7,=2212.15,y,8,=2213.22,y,9,=2210.3,。,易见,第16页,例4.16,商品销售量预测,(实例)某商品前,5,年销售量见表。现希望依据 前,5,年统计数据预测 第,6,年起该商品在各季度中销售量。,从表中能够看出，该商品在 前,5,年相同季节里销售量呈增加趋势，而在同一年中销售量先增后减，第一季度销售量最小而第三季度销售量最大。预测该商品以后销售情况，一个方法是应 用,最小二乘法,建立经验模型。即依据本例中数据特征，能够按季度建立四个经验公式，分别用来预测以后各年同一季度销售量。比如，如认为第一季度销售量大致按线性增加，可设销售量,由,15,25,32,17,15,24,30,15,13,20,27,15,12,18,26,14,11,16,25,12,1,2,3,4,第五年,第四年,第三年,第二年,第一年,销售量,季度,年份,第17页,求得,a,=1.3,，,b,=9.5,。,依据 预测第六年起第一季度销售量 为,=17.3,，,=18.6,，,如认为销售量并非逐年等量增加而是按前一年或前几年同期销售量一定百分比增加，则可建立对应差分方程模型。仍以第一季度为例，为简便起见不再引入上标，以表示 第,t,年第一节季度销售量，建立形式以下差分方程：,或,等等。,上述差分方程中系数不一定能使全部统计数据吻合，较为合,理方法是用最小二乘法求一组总体吻合很好数据。以建立,二阶差分方程,为例，为选取,a,0,a,1,a,2,使,最小，解线性方程组：,第18页,即求解,得,a,0,=-8,，,a,1,=-1,，,a,2,=3,。即所求二阶差分方程为,第19页,即使这一差分方程恰好使全部统计数据吻合，但这只是一个巧合。依据这一方程，可迭代求出以后各年第一季度销售量预测值,y,6,=21，,y,7,=19,，等。,上述为预测各年第一季度销售量而建立二阶差分方程，即使其系数与前,5,年第一季度统计数据完全吻合，但用于预测时预测值与事实不符。凭直觉，第六年预计值显著偏高，第七年销售量预测值甚至小于第六年。稍作分析，不难看出，如分别对每一季度建立一差分方程，则依据统计数据拟合出系数可能会相差甚大，但对同一个商品，这种 差异 应该是微小，故应依据统计数据建立一个共用于各个季度差分方程。,为此，将季度编号 为,t=1,2,20,，令,或,等，利用全体数,据来拟合，求拟合得最好系数。以二阶差分方程为例，为,求,a,0,、,a,1,、,a,2,使得,最小,第20页,求解线性方程组,即求解三元一次方程组,解得,a,0,=0.6937,a,1,=0.8737,a,2,=0.1941,故求得二阶差分方程,（,t,21）,依据此式迭代，可求得第六年和第七年第一季度销售量预测值为,y,21,=17.58，,y,25,=19.16,还是较为可信。,第21页,例4.16,人口问题差分方程模型,在,3.2,中，我们已经讨论了人口问题两个常微分方程模型,Malthus模型,和,Verhulst模型,（又称,Logistic,模型）。前者可用于人口增加短期预测，后者在作中、长久预测时 效果很好。,1、,离散时间 Logistic模型,在研究人口或种群数量实际增加情况时，有时采取离散化时间变量更为方便。比如，有些种群含有相对较为固定繁殖期，按时段统计种群数量更靠近种群实际增加方式。人口增加虽无这种特征，但人口普查不可能连续统计，任何方式普查都只能得到一些离散时刻人口总量（指较大范围普查）。这么，怎样建立人口问题离散模型问题十分自然地提了出来。,第22页,建立离散模型一条直接路径是 用,差分代替微分,。从人口问,题,Logistic,模型,可导出一阶差分方程,（,4.25,）,(4.25)式中右端因子 常被称为,阻尼因子,。当,P,t,N,时，种群增加接 近,Malthus,模型；当,P,t,靠近,N,时，这一因子将越来越显著地发挥阻尼作用，若,P,t,N,，它将使种群增加速度 在,P,t,靠近,N,时变得越来越慢，若,P,N,，它将使种群呈负增加。,（4.25）式可改写为,（4.26）,记,于是(4.26)式又可改写为,（,4.27,）,第23页,即使，（4.27）式是一个非线性差分方程，但对确定初值,x,0,，其后,x,1,可利用方程确定递推关系迭代求出。,差分方程（4.27）有两个平衡点，即,x,*=0,和 。类似于微分方程稳定性讨论，非线性差分方程平衡点稳定性也可经过对其线性近似方程平衡点稳定性讨论部分地得到确定（时不能确定除外）。比如，对 ，讨论 在,x,*,处线性近似方程,可知，当,（即,）时平衡点,是稳定，此时,（,）,若当 ，则平稳点 是不稳定，（这与对 一切,a,，,p,*=N,均为,Logistic,方程稳定平衡点不一样）。,第24页,