2013年高三数学二轮复习-专题三第二讲-三角变换与解三角形教案-理.doc

第二讲三角变换与解三角形研热点（聚焦突破）类型一 三角变换及求值1常值代换：特别是“1”的代换，1sin 2cos 2tan 45等2项的分拆与角的配凑：如sin 22cos 2(sin 2cos 2)cos 2；()，；可视为的倍角；可视为(2)的半角等3降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次4弦、切互化：一般是切化弦5公式的变形应用：如sin cos tan ，sin 2，cos 2，tan tan tan()(1tan tan )，1sin (sin cos )2等6角的合成及三角函数名的统一asin bcos sin ()，(tan )例1(2012年高考广东卷)已知函数f(x)2cos (x)(其中0，xR)的最小正周期为10.(1)求的值；(2)设，0，f(5)，f(5)，求cos ()的值解析(1)由T10得.(2)由得整理得，0，cos ，sin .cos ()cos cos sin sin .跟踪训练(2012年高考江苏卷)设为锐角，若cos ()，则sin (2)的值为_解析：化2为2()是关键为锐角且cos ()，sin ().sin (2)sin 2()sin 2()cos cos 2()sin sin ()cos ()2cos 2()12()21.答案：类型二 正、余弦定理的应用1正弦定理的变式(1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(2)abcsin Asin Bsin C.2余弦定理的变式a2c2b22accos B(注意整体变形)3面积公式Sabsin C，S(R为外接圆半径)；Sr(abc)(r为内切圆半径)例2(2012年高考浙江卷)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin Aacos B.(1)求角B的大小；(2)若b3，sin C2sin A，求a，c的值 解析(1)由bsin Aacos B及正弦定理，得sin Bcos B.所以tan B，得B.(2)由sin C2sin A及，得c2a.由b3及余弦定理b2a2c22accos B，得9a2c2ac，所以a，c2.跟踪训练1(2012年西安模拟)已知ABC中，a1，b，B45，则角A的大小为()A150B90C60 D30解析：根据正弦定理得，sin A.ab，AB，A30，故选D.答案：D2(2012年济南模拟)在ABC中，|3，则ABC面积的最大值为()A. B.C. D3解析：设角A、B、C所对的边分别为a、b、c，|3，bcos Aa3.又cos A11，cos A，0sin A，ABC的面积Sbcsin Atan A，故ABC面积的最大值为.答案：B类型三 解三角形的实际应用1注意理解有关术语：视角、仰角、俯角、方位角、坡度等2常见的类型：距离、高度、航海问题例3(2012年石家庄模拟)已知岛A南偏西38方向，距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇岛A处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？(参考数据：sin 38，sin 22.)解析如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x海里，则BC0.5x，AC5，依题意，BAC1803822120，由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcos 120，所以BC249，BC0.5x7，解得x14.又由正弦定理得sin ABC，所以ABC38，又BAD38，所以BCAD，故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船跟踪训练如图，在某平原地区一条河的彼岸有一建筑物，现在需要测量其高度AB.由于雨季河宽水急不能涉水，只能在此岸测量现有的测量器材只有测角仪和皮尺现在选定了一条水平基线HG，使得H、G、B三点在同一条直线上请你设计一种测量方法测出建筑物的高度，并说明理由(测角仪的高为h)解析：如图，测出ACE的度数，测出ADE的度数，测量出HG的长度，即可计算出建筑物的高度AB.理由如下：设ACE，ADE，HGs.在ADC中，由正弦定理得，所以AC.在直角三角形AEC中，AEACsin .所以，建筑物的高ABEBAEh.析典题（预测高考）高考真题【真题】(2012年高考江苏卷)在ABC中，已知3.(1)求证：tan B3tan A；(2)若cos C，求A的值【解析】(1)证明：因为3，所以ABACcos A3BABCcos B，即ACcos A3BCcos B由正弦定理知，从而sin Bcos A3sin Acos B.又因为0AB0，cos B0，所以tan B3tan A.(2)因为cos C，0C0，所以tan A1，A.【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、三角函数的基本关系式、两角和的正切公式、解三角形等知识，本题(1)解决的关键是利用正弦定理，化ACcos A3BCcos B为角的关系(2)中注意判断A为锐角，否则会增解考情展望高考对三角交换与解三角形的考查，各种题型都有，难度中档偏下，主要考查一是将三角函数图象性质与三角变换相结合二是将三角变换与解三角形相结合，三是解三角形的实际应用问题，有时涉及平面向量名师押题【押题】已知向量m(cos ，)与向量n(，cos )共线，其中A，B，C是ABC的三个内角(1)求角B的大小；(2)求2sin 2Acos (CA)的取值范围【解析】(1)因为向量m(cos ，)与向量n(，cos )共线，所以cos cos ，即cos ，又0B，所以cos ，所以，即B.(2)由(1)知AC，所以CA，所以2sin 2Acos (CA)2sin 2Acos (2A)1cos 2Acos 2Asin 2A1sin (2A)，因为0A，所以2A，所以sin (2A)(，1)，所以1sin (2A)(，2)，故2sin 2 Acos (CA)的取值范围是(，2)7