2013年高三数学二轮复习-专题三第二讲-三角变换与解三角形教案-理.doc

第二讲　三角变换与解三角形
研热点（聚焦突破）
类型一 三角变换及求值

1．常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等．
2．项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α；α＝(α－β)＋β，β＝－；α可视为的倍角；±α可视为(±2α)的半角等．
3．降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．
4．弦、切互化：一般是切化弦．
5．公式的变形应用：如sin α＝cos αtan α，sin 2α＝，cos 2α＝，tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)，1±sin α＝(sin ±cos )2等．
6．角的合成及三角函数名的统一
asin α＋bcos α＝sin (α＋φ)，(tan φ＝)．
[例1]　(2012年高考广东卷)已知函数f(x)＝2cos (ωx＋)(其中ω>0，x∈R)的最小正周期为10π.
(1)求ω的值；
(2)设α，β∈[0，]，f(5α＋π)＝－，f(5β－π)＝，求cos (α＋β)的值．
[解析]　(1)由T＝＝10π得ω＝.
(2)由
得整理得
∵α，β∈[0，]，
∴cos α＝ ＝，sin β＝ ＝.
∴cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－.

跟踪训练
(2012年高考江苏卷)设α为锐角，若cos (α＋)＝，则sin (2α＋)的值为________．
解析：化2α＋为2(α＋)－是关键．
∵α为锐角且cos (α＋)＝，∴sin (α＋)＝.
∴sin (2α＋)＝sin [2(α＋)－]
＝sin 2(α＋)cos －cos 2(α＋)sin
＝sin (α＋)cos (α＋)－[2cos 2(α＋)－1]
＝××－[2×()2－1]
＝－＝.
答案：
类型二 正、余弦定理的应用
1．正弦定理的变式
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
2．余弦定理的变式
a2＋c2－b2＝2accos B(注意整体变形)．
3．面积公式
SΔ＝absin C，SΔ＝(R为外接圆半径)；
SΔ＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．
[例2]　(2012年高考浙江卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝acos B.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．
[解析]　(1)由bsin A＝acos B及正弦定理＝，得sin B＝cos B.
所以tan B＝，得B＝.
(2)由sin C＝2sin A及＝，得c＝2a.
由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得
9＝a2＋c2－ac，
所以a＝，c＝2.

跟踪训练
1．(2012年西安模拟)已知△ABC中，a＝1，b＝，B＝45°，则角A的大小为(　　)
A．150°　　　　　　　　　　B．90°
C．60° D．30°
解析：根据正弦定理得＝，∴sin A＝.
∵a<b，∴A<B，∴A＝30°，故选D.
答案：D
2．(2012年济南模拟)在△ABC中，·＝|－|＝3，则△ABC面积的最大值为(　　)
A. B.
C. D．3
解析：设角A、B、C所对的边分别为a、b、c，
∵·＝|－|＝3，
∴bcos A＝a＝3.
又cos A＝≥1－＝1－，
∴cos A≥，∴0<sin A≤，
∴△ABC的面积S＝bcsin A＝tan A≤×＝，
故△ABC面积的最大值为.
答案：B
类型三 解三角形的实际应用
1．注意理解有关术语：视角、仰角、俯角、方位角、坡度等．
2．常见的类型：距离、高度、航海问题．
[例3]　(2012年石家庄模拟)已知岛A南偏西38°方向，距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇．岛A处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？
(参考数据：sin 38°＝，sin 22°＝.)
[解析]　如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x海里，则BC＝0.5x，AC＝5，
依题意，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，
由余弦定理可得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°，
所以BC2＝49，BC＝0.5x＝7，解得x＝14.

又由正弦定理得
sin ∠ABC＝＝＝，
所以∠ABC＝38°，又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，
故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船．

跟踪训练
如图，在某平原地区一条河的彼岸有一建筑物，现在需要测量其高度AB.由于雨季河宽水急不能涉水，只能在此岸测量．现有的测量器材只有测角仪和皮尺．现在选定了一条水平基线HG，使得H、G、B三点在同一条直线上．

请你设计一种测量方法测出建筑物的高度，并说明理由．(测角仪的高为h)
解析：如图，测出∠ACE的度数，测出∠ADE的度数，测量出HG的长度，即可计算出建筑物的高度AB.理由如下：
设∠ACE＝α，∠ADE＝β，HG＝s.
在△ADC中，由正弦定理得
＝，
所以AC＝.
在直角三角形AEC中，
AE＝ACsin α＝.
所以，建筑物的高AB＝EB＋AE＝h＋.
析典题（预测高考）
高考真题
【真题】　(2012年高考江苏卷)在△ABC中，已知·＝3·.
(1)求证：tan B＝3tan A；
(2)若cos C＝，求A的值．
【解析】　(1)证明：因为·＝3·，
所以AB·AC·cos A＝3BA·BC·cos B，
即AC·cos A＝3BC·cos B．由正弦定理知
＝，
从而sin Bcos A＝3sin Acos B.
又因为0<A＋B<π，所以cos A>0，cos B>0，
所以tan B＝3tan A.
(2)因为cos C＝，0<C<π，
所以sin C＝＝，
从而tan C＝2，于是tan[π－(A＋B)]＝2，
即tan(A＋B)＝－2，
亦即＝－2.
由(1)得＝－2，
解得tan A＝1或tan A＝－.
因为cos A>0，所以tan A＝1，A＝.
【名师点睛】　本题主要考查平面向量的数量积、三角函数的基本关系式、两角和的正切公式、解三角形等知识，本题(1)解决的关键是利用正弦定理，化ACcos A＝3BCcos B为角的关系．(2)中注意判断A为锐角，否则会增解．

考情展望
高考对三角交换与解三角形的考查，各种题型都有，难度中档偏下，主要考查一是将三角函数图象性质与三角变换相结合．二是将三角变换与解三角形相结合，三是解三角形的实际应用问题，有时涉及平面向量．

名师押题
【押题】已知向量m＝(cos ，)与向量n＝(，cos )共线，其中A，B，C是△ABC的三个内角．
(1)求角B的大小；
(2)求2sin 2A＋cos (C－A)的取值范围．
【解析】　(1)因为向量m＝(cos ，)与向量n＝(，cos )共线，所以cos cos ＝，即cos ＝±，
又0<B<π，所以cos ＝，所以＝，
即B＝.
(2)由(1)知A＋C＝，所以C＝－A，
所以2sin 2A＋cos (C－A)
＝2sin 2A＋cos (－2A)
＝1－cos 2A＋cos 2A＋sin 2A
＝1＋sin (2A－)，
因为0<A<，所以－<2A－<，
所以sin (2A－)∈(－，1)，
所以1＋sin (2A－)∈(，2)，
故2sin 2 A＋cos (C－A)的取值范围是(，2)．

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