(全国版)2021届高考数学二轮复习-专题检测(七)三角恒等变换与解三角形(理-含解析).doc

（全国版）2021届高考数学二轮复习 专题检测（七）三角恒等变换与解三角形（理，含解析）

（全国版）2021届高考数学二轮复习 专题检测（七）三角恒等变换与解三角形（理，含解析）

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姓名：

专题检测（七） 三角恒等变换与解三角形
A组——“6＋3＋3”考点落实练
一、选择题
1．(2019·全国卷Ⅰ)tan 255°＝(　　)
A．－2　　　　　　　　　 B．－2＋
C．2－ D．2＋
解析：选D　tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan(45°＋30°)＝＝＝2＋.故选D.
2．(2019·重庆市学业质量调研)已知sin θ＝cos(2π－θ)，则tan 2θ＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
解析：选B　法一：由sin θ＝cos(2π－θ)，得sin θ＝cos θ，所以tan θ＝，则tan 2θ＝＝＝.故选B.
法二：由sin θ＝cos(2π－θ)，得sin θ＝cos θ，所以tan 2θ＝＝＝＝.故选B.
3．(2019·湖北省5月冲刺)已知α为锐角，β为第二象限角，且cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝，则sin(3α－β)＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
解析：选B　法一：因为α为锐角，β为第二象限角，cos(α－β)>0，sin(α＋β)>0，
所以α－β为第四象限角，α＋β为第二象限角，
因此sin(α－β)＝－，cos(α＋β)＝－，
所以sin 2α＝sin(α－β＋α＋β)＝－×＋×＝1.
因为α为锐角，所以2α＝，
所以sin(3α－β)＝sin(2α＋α－β)＝cos(α－β)＝.故选B.
法二：同法一可得，sin(α－β)＝－，cos(α＋β)＝－.
所以cos 2(α－β)＝2cos2(α－β)－1＝2×2－1＝－，
sin 2(α－β)＝2sin(α－β)cos(α－β)＝2××＝－.
所以sin(3α－β)＝sin[2(α－β)＋(α＋β)]＝sin 2(α－β)·cos(α＋β)＋cos 2(α－β)·sin(α＋β)＝×＋×＝.故选B.
4．(2019·湖南省湘东六校联考)若△ABC的三个内角满足6sin A＝4sin B＝3sin C，则△ABC是(　　)
A．锐角三角形　　　　 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上都有可能
解析：选C　由题意，利用正弦定理可得6a＝4b＝3c，则可设a＝2k，b＝3k，c＝4k，k＞0，则cos C＝＜0，所以C是钝角，所以△ABC是钝角三角形．故选C.
5．(2019·长春市质量监测(一))在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝acos C＋c，则角A等于(　　)
A．60° B．120°
C．45° D．135°
解析：选A　法一：由b＝acos C＋c及正弦定理，可得sin B＝sin Acos C＋sin C，即sin(A＋C)＝sin Acos C＋sin C，即sin Acos C＋cos Asin C＝sin Acos C＋sin C，所以cos A·sin C＝sin C，又在△ABC中，sin C≠0，所以cos A＝，所以A＝60°.故选A.
法二：由b＝acos C＋c及余弦定理，可得b＝a·＋c，即2b2＝b2＋a2－c2＋bc，整理得b2＋c2－a2＝bc，于是cos A＝＝，所以A＝60°.故选A.
6．已知台风中心位于城市A东偏北α(α为锐角)的150千米处，以v千米/时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A西偏北β(β为锐角)的200千米处，若cos α＝cos β，则v＝(　　)
A．60 B．80
C．100 D．125
解析：选C　如图，台风中心为B,2.5小时后到达点C，则在△ABC中，ABsin α＝ACsin β，即sin α＝sin β，又cos α＝cos β，∴sin2α＋cos2α＝sin2β＋cos2β＝1＝sin2β＋cos2β，∴sin β＝cos β，∴sin β＝，cos β＝，∴sin α＝，cos α＝，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝0，∴α＋β＝，∴BC2＝AB2＋AC2，∴(2.5v)2＝1502＋2002，解得v＝100.故选C.
二、填空题
7．(2019·浙江高考)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上．若∠BDC＝45°，则BD＝________，cos∠ABD＝________.
解析：如图，易知sin∠C＝，
cos∠C＝.
在△BDC中，由正弦定理可得
＝，
∴ BD＝＝＝.
由∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝90°，
可得cos∠ABD＝cos(90°－∠CBD)＝sin∠CBD
＝sin[π－(∠C＋∠BDC)]
＝sin(∠C＋∠BDC)
＝sin∠C·cos∠BDC＋cos∠C·sin∠BDC
＝×＋×＝.
答案：　
8．(2019·开封市定位考试)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为4，且2bcos A＋a＝2c，a＋c＝8，则其周长为________．
解析：因为△ABC的面积为4，所以ac·sin B＝4.因为2bcos A＋a＝2c，所以由正弦定理得2sin Bcos A＋sin A＝2sin C，又A＋B＋C＝π，所以2sin Bcos A＋sin A＝2sin Acos B＋2cos Asin B，所以sin A＝2cos Bsin A，因为sin A≠0，所以cos B＝，因为0＜B＜π，所以B＝，所以ac＝16，又a＋c＝8，所以a＝c＝4，所以△ABC为正三角形，所以△ABC的周长为3×4＝12.
答案：12
9.(2019·安徽五校联盟第二次质检)如图，在平面四边形ABCD中，AD＝2，sin∠CAD＝，ACsin∠BAC＋BCcos B＝2BC，且B＋D＝π，则△ABC的面积的最大值为________．
解析：在△ABC中，由ACsin∠BAC＋BCcos B＝2BC，结合正弦定理可得sin B·sin∠BAC＋sin∠BACcos B＝2sin∠BAC，∵sin∠BAC≠0，
∴sin B＋cos B＝2,2sin＝2，sin＝1，∵0＜B＜π，
∴B＋＝，∴B＝.又B＋D＝π，∴∠ADC＝.
在△ACD中，∠ADC＝，sin∠CAD＝，
∴cos∠CAD＝，
则sin∠ACD＝sin[180°－(∠ADC＋∠CAD)]＝sin(∠ADC＋∠CAD)＝×＋×＝，由正弦定理得＝，即＝，∴AC＝.
在△ABC中，7＝AC2＝AB2＋BC2－AB·BC≥2AB·BC－AB·BC＝AB·BC，当且仅当AB＝BC时取“＝”，则S△ABC＝AB·BC≤，即△ABC的面积的最大值为.
答案：
三、解答题
10．(2019·北京高考)在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cos B＝－.
(1)求b，c的值；
(2)求sin(B－C)的值．
解：(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得b2＝32＋c2－2×3×c×.
因为b＝c＋2，所以(c＋2)2＝32＋c2－2×3×c×，
解得c＝5，所以b＝7.
(2)由cos B＝－得sin B＝.
由正弦定理得sin C＝sin B＝.
在△ABC中，∠B是钝角，所以∠C为锐角，
所以cos C＝ ＝.
所以sin(B－C)＝sin Bcos C－cos Bsin C＝×－×＝.
11．(2019·长沙模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋c2－b2＝abcos A＋a2cos B.
(1)求B；
(2)若b＝2，tan C＝，求△ABC的面积．
解：(1)因为a2＋c2－b2＝abcos A＋a2cos B，所以由余弦定理，得2accos B＝abcos A＋a2cos B，
又a≠0，所以2ccos B＝bcos A＋acos B，由正弦定理，得
2sin Ccos B＝sin Bcos A＋sin Acos B＝sin(A＋B)＝sin C，
又C∈(0，π)，sin C＞0，所以cos B＝.
因为B∈(0，π)，所以B＝.
(2)由tan C＝，C∈(0，π)，得sin C＝，
cos C＝，
所以sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝×＋×＝.
由正弦定理＝，得a＝＝＝6，
所以△ABC的面积为absin C＝×6×2×＝6.
12．(2019·武汉部分学校调研)已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2B＝sin2A＋sin2C－sin Asin C.
(1)求B；
(2)求sin A＋cos C的取值范围．
解：(1)锐角三角形ABC中，sin2B＝sin2A＋sin2C－sin Asin C，
故b2＝a2＋c2－ac，
cos B＝＝，又B∈，
所以B＝.
(2)由(1)知，C＝－A，
故sin A＋cos C＝sin A＋cos＝sin A－cos A＝sin.
又A∈，C＝－A∈，
所以A∈，
A－∈，sin∈，
故sin A＋cos C的取值范围为.
B组——大题专攻强化练
1．(2019·重庆市七校联合考试)如图，在平面四边形ABCD中，E为AB边上一点，连接CE，DE.CB＝2，BE＝1，∠B＝∠CED＝.
(1)求sin∠AED的值；
(2)若AB∥CD，求CD的长．

解：(1)在△BEC中，由余弦定理得，CE＝＝，又＝，所以sin∠BCE＝，
因为∠B＝∠CED，所以sin∠AED＝sin∠BCE＝.
(2)因为AB∥CD ，所以∠CDE＝∠AED，
所以sin∠CDE＝sin∠AED＝，
在△CDE中，＝，所以CD＝＝＝7.
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin Asin B＝cos2，(c－b)sin C＝(a＋b)(sin A－sin B)．
(1)求A和B；
(2)若△ABC的面积为，求BC边上的中线AM的长．
解：(1)因为(c－b)sin C＝(a＋b)(sin A－sin B)，
所以(c－b)c＝(a＋b)(a－b)，
所以a2＝b2＋c2－bc，所以cos A＝，所以A＝30°.
因为sin Asin B＝cos2.
所以sin Asin B＝，即sin B＝1＋cos C.
因为B＋C＝150°，所以sin B＝1＋cos(150°－B)，
解得B＝30°.
(2)因为absin C＝，C＝120°，所以a＝b＝2.
因为c2＝a2＋b2－2abcos C，所以c＝2.
在△ABM中，AM 2＝AB2＋BM 2－2AB·BMcos B＝7，得AM＝，
所以BC边上的中线AM的长为.
3．(2019·昆明市质量检测)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2(c－acos B)＝b.
(1)求A；
(2)若a＝2，求△ABC面积的取值范围．
解：(1)由2(c－acos B)＝b及正弦定理得2(sin C－sin Acos B)＝sin B，
所以2sin(A＋B)－2sin Acos B＝sin B，即2cos Asin B＝sin B，
因为sin B≠0，所以cos A＝，
又0＜A＜π，所以A＝.
(2)因为a＝2，所以由正弦定理得b＝4sin B，c＝4sin C，
所以S△ABC＝bcsin A＝bc，
所以S△ABC＝4sin Bsin C，因为C＝π－(A＋B)＝－B，所以sin C＝sin，
所以S△ABC＝4sin Bsin＝4sin B，
即S△ABC＝2sin Bcos B＋2sin2B
＝sin 2B－cos 2B＋
＝2sin＋.
因为0＜B＜，所以－＜2B－＜，
所以－＜sin≤1，所以0＜S△ABC≤2＋.
即△ABC面积的取值范围为(0,2＋ ]．
4．(2019·福州市质量检测)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若角A，B，C成等差数列，且b＝.
(1)求△ABC的外接圆直径；
(2)求a＋c的取值范围．
解：(1)因为角A，B，C成等差数列，
所以2B＝A＋C，
又因为A＋B＋C＝π，
所以B＝.
根据正弦定理得，△ABC的外接圆直径2R＝＝＝1.
(2)法一：由B＝，知A＋C＝，可得0＜A＜.
由(1)知△ABC的外接圆直径为1，根据正弦定理得，
＝＝＝1，
所以a＋c＝sin A＋sin C
＝sin A＋sin
＝
＝sin.
因为0＜A＜，所以＜A＋＜.
所以＜sin≤1，
从而＜ sin≤ ，
所以a＋c的取值范围是.
法二：由(1)知，B＝，
b2＝a2＋c2－2accos B
＝(a＋c)2－3ac≥(a＋c)2－32＝(a＋c)2(当且仅当a＝c时，取等号)，
因为b＝ ，所以(a＋c)2≤3，即a＋c≤ ，
又三角形两边之和大于第三边，所以＜a＋c≤ ，
所以a＋c的取值范围是.