2021高考数学二轮复习专题练-大题每日一题规范练.doc

2021高考数学二轮复习专题练 大题每日一题规范练

2021高考数学二轮复习专题练 大题每日一题规范练

年级：
姓名：

大题每日一题规范练

星期一(数列)　2021年____月____日
【题目1】 在①b1＋b3＝a2，②a4＝b4，③S5＝－25这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k存在，求k的值；若k不存在，说明理由.
设等差数列{an}的前n项和为Sn，{bn}是等比数列，________，b1＝a5，b2＝3，b5＝－81，是否存在正整数k，使得Sk＞Sk＋1且Sk＋1＜Sk＋2?
(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
解　选条件①.
设{bn}的公比为q，则q3＝＝－27，即q＝－3，
所以bn＝－(－3)n－1.
从而a5＝b1＝－1，a2＝b1＋b3＝－10，
由于{an}是等差数列，所以an＝3n－16.
因为Sk＞Sk＋1且Sk＋1＜Sk＋2等价于ak＋1＜0且ak＋2＞0，
所以满足题意的k存在当且仅当
即k＝4.
选条件②.
设{bn}的公比为q，则q3＝＝－27，即q＝－3，
所以bn＝－(－3)n－1.
从而a5＝b1＝－1，a4＝b4＝27，
所以{an}的公差d＝－28.
因为Sk＞Sk＋1且Sk＋1＜Sk＋2等价于ak＋1＜0且ak＋2＞0，此时d＝ak＋2－ak＋1＞0，与d＝－28矛盾，所以满足题意的k不存在.
选条件③.
设{bn}的公比为q，则q3＝＝－27，即q＝－3，
所以bn＝－(－3)n－1.
从而a5＝b1＝－1，由{an}是等差数列得S5＝，
由S5＝－25得a1＝－9.
所以an＝2n－11.
因为Sk＞Sk＋1且Sk＋1＜Sk＋2等价于ak＋1＜0且ak＋2＞0，
所以满足题意的k存在当且仅当
即k＝4.
星期二(三角)　2021年____月____日
【题目2】 已知函数f(x)＝sin2x－cos2x＋2sin xcos x，x∈R.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若关于x的方程f(x)＝a在上有解，求实数a的取值范围.
解　(1)f(x)＝sin2x－cos2x＋2sin xcos x
＝sin 2x－cos 2x＝2sin，
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)由x∈，得－≤2x－≤.
∴－1≤2sin≤2.
因为方程f(x)＝a在上有解，
所以实数a的取值范围是[－1，2].
星期三(概率与统计)　2021年____月____日
【题目3】 微信已成为人们常用的社交软件，“微信运动”是微信里由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众号.手机用户可以通过关注“微信运动”公众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的PK或点赞.现从小明的微信好友中随机选取40人(男、女各20人)，记录他们某一天行走的步数，并将数据整理如下表：
步数
性别　　
0～2 000
2 001～5 000
5 001～8 000
8 001～10 000
＞10 000
男
1
2
4
7
6
女
0
3
9
6
2
(1)若某人一天行走的步数超过8 000被评定为“积极型”，否则被评定为“懈怠型”，根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关？

积极型
懈怠型
总计
男

女

总计

(2)在小明这40位好友中，从该天行走的步数超过10 000的人中随机抽取3人，设抽取的女性有X人，求X的分布列及数学期望E(X).
附：K2＝，
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
解　(1)2×2列联表如下：

积极型
懈怠型
总计
男
13
7
20
女
8
12
20
总计
21
19
40
∴K2＝≈2.506＜2.706，
∴没有90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关.
(2)由已知得，小明这40位好友中，该天行走的步数超过10 000的人中男性有6人，女性有2人，现从中抽取3人，抽取的女性人数X服从超几何分布，
X的所有可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝＝＝，P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝＝＝，
∴X的分布列如下：
X
0
1
2
P

∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
星期四(立体几何)　2021年____月____日
【题目4】 如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝1.设M，N分别为PD，AD的中点.

(1)求证：平面CMN∥平面PAB；
(2)求二面角N－PC－A平面角的余弦值.
(1)证明　∵M，N分别为PD，AD的中点，∴MN∥PA.
又MN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，
∴MN∥平面PAB.
在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，
∴∠ACN＝60°，又∠BAC＝60°，∴CN∥AB.
∵CN⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴CN∥平面PAB.
又CN∩MN＝N，CN，MN⊂平面CMN，
∴平面CMN∥平面PAB.
(2)解　∵PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAC，
∴平面PAC⊥平面ACD，
又DC⊥AC，平面PAC∩平面ACD＝AC，DC⊂平面ACD，
∴DC⊥平面PAC.
如图，以点A为原点，AC所在直线为x轴，过点A且平行于CD的直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，

则A(0，0，0)，C(2，0，0)，P(0，0，2)，D(2，2，0)，N(1，，0)，
∴＝(－1，，0)，＝(1，，－2)，
设n＝(x，y，z)是平面PCN的法向量，则
即可设n＝(，1，)，
又平面PAC的一个法向量为＝(0，2，0)，
∴cos〈，n〉＝＝＝，
由图可知，二面角N－PC－A的平面角为锐角，
∴二面角N－PC－A的平面角的余弦值为.
星期五(解析几何)　2021年____月____日
【题目5】 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴长为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若kOM·kON＝，求证：点(m，k)在定圆上.
(1)解　由已知得e＝＝，2b＝2，
又a2－b2＝c2，∴b＝1，a＝2.
∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)证明　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立直线与椭圆方程
消去y，
得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
依题意，Δ＝(8km)2－4(4k2＋1)(4m2－4)＞0，
化简得m2＜4k2＋1，①
x1＋x2＝－，x1x2＝，
y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，
若kOM·kON＝，则＝，即4y1y2＝5x1x2，
∴4k2x1x2＋4km(x1＋x2)＋4m2＝5x1x2，
∴(4k2－5)·＋4km·＋4m2＝0，
则(4k2－5)(m2－1)－8k2m2＋m2(4k2＋1)＝0.
化简得m2＋k2＝，②
由①②联立，得0≤m2＜，＜k2≤.
故点(m，k)在定圆x2＋y2＝上.
星期六(函数与导数)　2021年____月____日
【题目6】 设函数f(x)＝2ln x－mx2＋1.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当f(x)有极值时，若存在x0，使得f(x0)＞m－1成立，求实数m的取值范围.
解　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－2mx＝.
当m≤0时，f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增.
当m＞0时，由f′(x)＞0，得0＜x＜.
令f′(x)＜0，得x＞.
所以f(x)在上单调递增，在上单调递减.
综上，当m≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当m＞0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减.
(2)由(1)知，当f(x)有极值时，应有m＞0，且f(x)在上单调递增，在上单调递减.
所以f(x)max＝f(x)极大值＝f＝2ln－m·＋1＝－ln m.
若存在x0，使得f(x0)＞m－1成立，则f(x)max＞m－1成立，
所以－ln m＞m－1，即m＋ln m－1＜0，
令g(m)＝m＋ln m－1，则g′(m)＝1＋＞0在(0，＋∞)上恒成立，所以g(m)在(0，＋∞)上单调递增，且g(1)＝0.
若使g(m)＜0，则0＜m＜1.
所以实数m的取值范围是(0，1).