2021高考数学二轮复习专题练-大题每日一题规范练(第二周)(含解析).doc

2021高考数学二轮复习专题练 大题每日一题规范练（第二周）（含解析）

2021高考数学二轮复习专题练 大题每日一题规范练（第二周）（含解析）

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大题每日一题规范练

星期一(三角)　2021年____月____日
【题目1】 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，在①(a＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，
②bsin ＝asin B，
③cos 2A－3cos(B＋C)＝1这三个条件中任选一个解答下列问题：
(1)求A的大小；
(2)若△ABC的面积S＝5，b＝5，求sin Bsin C值.
(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
解　选择①.
(1)由正弦定理，得(a＋b)(a－b)＝(c－b)c，
即a2－b2＝c2－bc.
由余弦定理，得cos A＝＝.
∵0<A<π，∴A＝.
(2)由S＝bcsin A＝5，b＝5，A＝，得c＝4.
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝21.
由正弦定理，得＝2R(R为△ABC的外接圆的半径)，
∴(2R)2＝＝28，
∴sin Bsin C＝＝.
选择②.
(1)由正弦定理，得sin Bsin ＝sin Asin B.
∵sin B≠0，A＋B＋C＝π，
∴sin＝sin A，即cos ＝2sin cos .
又cos ≠0，∴sin ＝.
∵0<A<π，∴＝，即A＝.
(2)由S＝bcsin A＝5，b＝5，A＝，得c＝4.
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝21.
由正弦定理，得＝2R(R为△ABC的外接圆的半径)，
∴(2R)2＝＝28，
∴sin Bsin C＝＝.
选择③.
(1)由cos 2A－3cos(B＋C)＝1，A＋B＋C＝π，
得2cos2A＋3cos A－2＝0.
解得cos A＝或cos A＝－2(舍去).
∵0<A<π，∴A＝.
(2)由S＝bcsin A＝5，b＝5，A＝，得c＝4.
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝21.
由正弦定理，得＝2R(R为△ABC的外接圆的半径)，
∴(2R)2＝＝28，
∴sin Bsin C＝＝.
星期二(数列)　2021年____月____日
【题目2】 已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－2，记bn＝anSn(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{bn}的前n项和Tn.
解　(1)∵Sn＝2n＋1－2.
∴当n＝1时，a1＝S1＝21＋1－2＝2.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2n＝2n，
又a1＝2＝21适合上式，
故an＝2n(n∈N*).
(2)由(1)知bn＝anSn＝2n(2n＋1－2)＝2·4n－2n＋1.
∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn
＝2(4＋42＋…＋4n)－(22＋23＋…＋2n＋1)
＝2×－＝·4n＋1－2n＋2＋.
星期三(概率与统计)　2021年____月____日
【题目3】 第24届冬奥会将于2022年在中国北京和张家口举行.为宣传冬奥会，让更多的人了解、喜爱冰雪项目，某大学举办了冬奥会知识竞赛，并从中随机抽取了100名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图：

(1)试根据频率分布直方图估计这100人的平均成绩(同一组数据用该组区间的中点值代替)；
(2)若采用分层抽样的方法从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的学生中共抽取6人，再将其随机地分配到3个社区开展冬奥会宣传活动(每个社区2人)，求“成绩在同一区间的学生分配到不同社区”的概率.
解　(1)平均成绩＝0.02×45＋0.16×55＋0.22×65＋0.30×75＋0.20×85＋0.10×95＝73.00.
(2)由题意知，从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的学生中分别选取了3人，2人，1人.
6人平均分成3组分配到3个社区，共有CC＝90(种)方法.
成绩在同一区间的学生分配到不同社区的方法有AA＝36(种)，
所以“成绩在同一区间的学生分配到不同社区”的概率p＝＝.
星期四(立体几何)　2021年____月____日
【题目4】 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，PA＝PD，∠DAB＝60°.

(1)证明：AD⊥PB；
(2)若PB＝，AB＝PA＝2，求直线PB与平面PDC所成角的正弦值.
(1)证明　取AD的中点为O，连接PO，BO，BD，如图1，

图1
∵底面ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BO⊥AD.
又PA＝PD，即△PAD是等腰三角形，∴PO⊥AD.
又PO∩BO＝O，PO，BO⊂平面PBO，∴AD⊥平面PBO，
又PB⊂平面PBO，∴AD⊥PB.
(2)解　∵AB＝PA＝2，
∴由(1)知△PAD，△ABD均是边长为2的正三角形，
则PO＝，BO＝，又PB＝，
∴PO2＋BO2＝PB2，即PO⊥BO，
又由(1)知，BO⊥AD，PO⊥AD，
∴以O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图2所示的空间直角坐标系.

图2
则D(－1，0，0)，P(0，0，)，C(－2，，0)，B(0，，0)，
＝(0，，－)，＝(1，0，)，＝(1，－，0).
设n＝(x，y，z)是平面PCD的法向量，则
∴取y＝1，解得，
即n＝(，1，－1)为平面PCD的一个法向量.
设直线PB与平面PDC所成的角为θ，
则sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝，
∴直线PB与平面PDC所成角的正弦值为.
星期五(解析几何)　2021年____月____日
【题目5】 已知定点A(－3，0)，B(3，0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为－，记动点M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)过点T(1，0)的直线l与曲线C交于P，Q两点，是否存在定点S(x0，0)，使得直线SP与SQ斜率之积为定值？若存在，求出S的坐标；若不存在，请说明理由.
解　(1)设动点M(x，y)，则直线MA的斜率kMA＝(x≠－3)，
直线MB的斜率kMB＝(x≠3).
因为kMA·kMB＝－，所以·＝－，化简得＋y2＝1.
又x≠±3，所以曲线C的方程为＋y2＝1(x≠±3).
(2)由题意得直线l的斜率不为0，根据直线l过点T(1，0)，可设直线l的方程为x＝my＋1，
P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立消去x得(m2＋9)y2＋2my－8＝0.
则
又kSP＝＝，
kSQ＝＝，
kSP·kSQ＝
＝
＝，
当x0＝3时，∀m∈R，kSP·kSQ＝＝－；
当x0＝－3时，∀m∈R，kSP·kSQ＝＝－.
所以存在定点S，其坐标为(3，0)或(－3，0)使得直线SP与SQ斜率之积为定值.
星期六(函数与导数)　2021年____月____日
【题目6】 已知f(x)＝ex，g(x)＝x＋1(e为自然对数的底数).
(1)求证：f(x)≥g(x)恒成立；
(2)设m是正整数，对任意正整数n，·…·＜m，求m的最小值.
(1)证明　令h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－x－1，
则h′(x)＝ex－1，
当x∈(－∞，0)时，h′(x)＜0，当x∈(0，＋∞)时，h′(x)＞0，
故h(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
所以h(x)min＝h(0)＝0，即h(x)≥0恒成立，
所以f(x)≥g(x)恒成立.
(2)解　由(1)可知1＜1＋≤e，由不等式的性质得
·…·
≤e·e·e·…·e
＝e＋＋＋…＋
＝e＝e＜e＝＜2.
所以m的最小值为2(m∈N*).