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2021届高考数学统考二轮复习 增分强化练函数的图象与性质

2021届高考数学统考二轮复习 增分强化练函数的图象与性质

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增分强化练(三十三)
考点一　函数及其表示
1．设集合A＝{－3,0,1,2}，集合B＝{y|y＝2x}，则A∩B＝(　　)
A．(0，－3]　　　　　　　 B．{1,2}
C．{0,2} D．(0，＋∞)
解析：由指数函数的性质，可得集合B＝{y|y＝2x}＝{y|y>0}，又由A＝{－3,0,1,2}，所以A∩B＝{1,2}，故选B.
答案：B
2．(2019·石家庄模拟)已知函数f(x)＝，则f＝________.
解析：由函数f(x)＝，可得当x>1时，满足f(x)＝f(x－1)，所以函数f(x)是周期为1的函数，所以f ＝f ＝f ＝log2＝－1.
答案：－1
3．函数f(x)＝ln的值域为________．
解析：ln＝ln＝ln，
∵1＋>0且1＋≠1，
∴ln≠0，
∴f(x)值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
答案：(－∞，0)∪(0，＋∞)
考点二　函数的图象
1．函数y＝1－|x－x2|的图象大致是(　　)

解析：当x＝－1时，y＝1－|－1－1|＝－1，所以舍去A，D，当x＝2时，y＝1－|2－4|＝－1，所以舍去B，故选C.
答案：C
2．函数y＝的图象大致是(　　)

解析：∵y＝，
∴函数为偶函数，排除B，
又x>0时，y＝2xln x，
y′＝2(1＋ln x)＝0时，x＝，
即函数在单调递减，在单调递增，排除A、C，故选D.
答案：D
3．若定义在R上的偶函数f(x)，满足f(x＋2)＝f(x)且x∈[0,1]时，f(x)＝x，则方程f(x)＝log3|x|的实根个数是(　　)
A．2 B．3
C．4 D．6
解析：由f(x＋2)＝f(x)可得函数的周期为2，又函数为偶函数且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，故可作出函数f(x)的图象，

∴方程f(x)＝log3|x|的解个数等价于f(x)与y＝log3|x|图象的交点，
由图象可得它们有4个交点，故方程f(x)＝log3|x|的解个数为4，故选C.
答案：C
4.如图，点P在边长为1的正方形边上运动，M是CD的中点，则当P沿A­B­C­M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y＝f(x)的图象的形状大致是下图中的(　　)

解析：由点P在边长为1的正方形边上运动，M是CD的中点，则当P沿A­B­C­M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积的函数，
可得f(x)＝，画出分段函数的图象，
如图所示，

故选A.
答案：A
考点三　函数的性质
1．(2019·大连模拟)下列函数中，既是奇函数又在(－∞，＋∞)上单调递增的是(　　)
A．y＝sin x　　　　　　 B．y＝|x|
C．y＝－x3 D．y＝ln(＋x)
解析：sin x不是单调递增函数，可知A错误；
|－x|＝|x|，则函数y＝|x|为偶函数，可知B错误；
y＝－x3在(－∞，＋∞)上单调递减，可知C错误；
ln＝ln＝－ln(＋x)，则y＝ln(＋x)为奇函数；当x≥0时，＋x单调递增，由复合函数单调性可知y＝ln(＋x)在[0，＋∞)上单调递增，根据奇函数对称性，可知在(－∞，＋∞)上单调递增，则D正确．故选D.
答案：D
2．(2019·汕头模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(1)＝a，则f(2)＋f(3)＋f(4)＝(　　)
A．0 B．－a
C．a D．3a
解析：因为函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，
所以f(x)关于直线x＝1对称，所以f(2)＝f(0)，f(3)＝f(－1)，
又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，
又由f(1＋x)＝f(1－x)可得f(x＋1)＝f(1－x)＝－f(x－1)，
所以f(x＋2)＝－f(x)，故f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
因此，函数f(x)是以4为周期的周期函数，
所以f(4)＝f(0)，又f(1)＝a，
因此f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(0)＋f(－1)＋f(0)＝－f(1)＝－a.
故选B.
答案：B
3．已知定义在非零实数集上的奇函数y＝f(x)，函数y＝f(x－2)与g(x)＝sin图象共有4个交点，则该4个交点横坐标之和为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：因为函数y＝f(x)是奇函数，y＝f(x)关于点(0,0)中心对称；
所以函数y＝f(x－2)关于点(2,0)中心对称；
又由＝kπ，k∈Z得到x＝2k，k∈Z，
即函数g(x)＝sin的对称中心为(2k,0)，k∈Z，
因此，点(2,0)也是函数g(x)＝sin的一个对称中心；
由函数y＝f(x－2)与g(x)＝sin图象共有4个交点，
交点横坐标依次设为x1，x2，x3，x4且x1<x2<x3<x4，
所以由函数对称性可知，＝2，＝2，
因此x1＋x2＋x3＋x4＝8.
故选D.
答案：D
4．(2019·株洲模拟)设函数f(x)＝，其中a≤－2，则满足f(x)＋f(x－1)<3的x取值范围是(　　)
A．(－1，＋∞) B．(－，＋∞)
C．(－2，＋∞) D．(0，＋∞)
解析：设y＝－x3＋3x，则y′＝－3x2＋3＝－3(x＋1)(x－1)，
所以当x<－1或x>1时，函数y＝－x3＋3x单调递减；当－1<x<1时，函数单调递增．
所以当x<a(a≤－2)时，函数y＝－x3＋3x单调递减．
又当x≥a(a≤－2)时，函数y＝－x单调递减，
所以函数f(x)在R上单调递减．
设h(x)＝f(x)＋f(x－1)，则h(x)在R上也为单调递减函数，
又h(－1)＝f(－1)＋f(－2)＝3，
即h(x)<h(－1)，
所以x>－1.
所以所求x取值范围是(－1，＋∞)．
故选A.
答案：A