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经验的激活、丰盈与系统化──“圆柱的高”二度教学探索

在一次教研活动中，我校一位教师执教了苏教版六年级下册“圆柱和圆锥”一课。课后，大家对“圆柱体的高”的教学进行了热烈的讨论，对如何有效利用学生已有生活经验发展数学认知展开了深入分析。
“高”是日常生活中的一个常用概念，而在数学上却是一个抽象几何概念。尤其是立体图形的高，相对来说更抽象。关于圆柱的“高”的概念，课本上明确写出：圆柱两个底面之间的距离叫作圆柱的高。这是一个定义式概念。其中，还存在一些固有概念，如圆柱的底面、距离等。这里所说的“距离”，有别于以往学习平面图形中的“距离”。学习平面图形时，所说的距离主要有这几种情况：点与点、点与直线、平行线之间。点与点之间的距离是指两点之间线段的长度；点与直线的距离是指点到直线所作垂线段的长度；平行线之间的距离是指平行线中某一条直线上任意一点到另一条直线之间的垂线段的长度。本课学习的圆柱是立体图形，它的高指的是两个底面之间的距离。其实质，是某一个底面上任意一点向相对底面上所作垂线段的距离。在平面图形中，平行四边形的高与之有相似之处。只不过由平面图形中相对的底迁移到立体图形中的相对的面，由面上转换为体上。
如何帮助学生自助建构、深入理解圆柱的高呢？通过对学生已有生活经验和数学学习经验的分析，结合学生认知心理特征，我们对这一教学环节进行了思考和尝试。
【教学片段】
（一）观察模型，直观感知“圆柱体有高矮”
出示两个底面相同、高矮不同的圆柱体模型。让学生进行观察、比较，说说这两个圆柱体有什么相同的地方和不同的地方。
生 它们的底面大小一样。
生 两个圆柱的高度不同，一个高高的，另一个扁扁的。
师 是啊，看来不同的圆柱体有各自不同的高度。
通过观察、比较，让学生直观感受到不同的圆柱体也有各自不同的高度。这是从日常经验层面来激活学生对“高”的感性认识经验。
（二）直观演示，感悟“上下底面之间的距离”
师 我们来看这个扁扁的圆柱，观察一下它发生了什么变化？（课件出示一个较矮的圆柱，动画演示上底面往上抬升，圆柱随之变高的过程。）
师 圆柱底面发生了什么变化？整个圆柱体变得怎样了？
生 上底面升高了，整个圆柱体比原来高了。
师 是啊，上下两个底面之间的距离变怎样了？
生 距离变大了。
师 两个底面之间的距离，就是圆柱的高。
通过演示和观察，让学生直观感知圆柱上下两个底面之间距离的变化过程，进一步认识到圆柱的高就是两个底面之间的距离。这是从直观动作层面来丰盈学生对“高”的感性认识经验。
(三)动手测量，探索“圆柱体有多高”
师 同学们都有一个相同的圆柱体，老师想请大家想办法，来测量出它的高度是多少？
（学生探索并用尺子测量出两个圆柱体模型的高度。量后汇报结果以及测量方法。）
生 把圆柱体横放过来，用一把直尺紧贴侧面，然后量出两底面之间的最短长度，这就是圆柱体的高度。
师 为什么要紧贴着侧面呢？
生 这样直尺不会斜掉，斜了就量不准了。
师 对啊，以前我们量三角形的高时，应该怎样做？
生 要从一个顶点向对边画垂线，也是不能斜掉的。如果斜掉的话，量出来的长度就变大了。
师 是的，在平面图形中，我们要知道点到直线的距离，就必须从这个点出发作直线的垂线段，三角形、平行四边形等的高，都是这样量出来的。
生 用三角尺的直角贴近底面圆周，一条直角边贴紧底面延伸面，一条直角边不偏不斜贴紧圆柱侧面。
师 “不偏不斜”这个词用得好，为什么要不偏不斜呢？
生 因为这样才能让这条直角边垂直于底面。
师 很好，他用到了垂直这个词。以前我们画三角形、平行四边形高时也要垂直的。
生 先把圆柱横放在一张纸上，再沿着两个底面圆周和纸面接触的地方分别画条短线，然后量出两条短线之间的长度，这就是圆柱体的高度。
师 这个方法把桌上的白纸当做了直尺，在纸上定下两个点，再量出距离。真是个好办法！
师 虽然他们用的方法不同，都是却有一个共同之处，是什么呢？
生 他们都是在量出两个底面之间的距离。
师 也就是说，都在量出圆柱的高是多少。
通过动手测量“圆柱体有多高”，让学生自主探索测量方法，在实践中认识“圆柱的高必须是垂直于两底面的一条线段”这一本质，并与已有作三角形等图形的高的经验加以联系和沟通，实现经验的初步系统化。
（四）观察实物，想象“圆柱体有无数条高”
师 （出示一个圆柱形的牙签筒，里面装满牙签）你们能找到这个牙签筒的高吗？
生 其中任意一根牙签就是这个圆柱形筒的高。
师 对呀，那么它有多少条高呢？
生 有多少根牙签就有多少条高呢？
师 你们认为呢？
生 是的。
师 大家想象一下，如果牙签细一些呢，高的条数就怎样了？
生 就会更多。
师 如果更细呢？你们觉得高的条数怎样？
生 我觉得牙签筒高的条数应该是有无数条。
师 是啊，从圆柱体一个底面上任取一点，向另一个底面所作的垂线段都是圆柱体的高。底面上有无数个点，所以圆柱的高也有无数条。
通过观察实物模型，让学生感受到牙签筒中牙签有好多根，从而把这个直接经验进行想象和数学抽象，直观领悟到圆柱体的高是有无数条的。
【教学感悟】
在准备和实施数学教学的过程中，教师要努力实现两个“转变”：其一是把教师理解的数学转化成学生能接受的数学；其二是把学生能接受的数学转化为学生通过具体的数学活动能内化、理解的数学。前者实际上是指教师钻研教材的问题，后者是指教师如何设计好的数学活动的问题。在圆柱的高的认识过程中，教师应充分把握学生已有的认知和生活经验，让这种经验在数学活动中得以激活、丰盈与系统化。在上述教学设计与实施过程中，我们特别注意激活和迁移数学认知经验，来促使学生主动建构新知。
（一）在对比中迁移日常生活中对“高”的切身体验，激活生活经验
数学知识源于生活，又高于生活。学生丰富的日常生活经验是他们数学新知学习的现实起点，也是教师展开数学新知教学的逻辑起点。就圆柱的高来说，六年级学生在日常生活中已经有过广泛的接触，对此已有较为丰富的感性认识。教师在教学中，通过比一比两个等底圆柱的异同点，充分激活了这种日常生活中确定圆柱高低的感性经验。另外，教师还设计了动画演示“圆柱体上底面升高，圆柱变高”的过程，进一步丰盈了学生的认知经验，从而为下面深刻认识圆柱高的概念奠定了认知基础。
（二）在操作中迁移平面图形中对“距离”的认知经验，拓展同类概念
生活经验是原始和粗浅的，而数学概念则是抽象和严谨的。教师在教学中应让学生已有的生活经验逐步清晰、精致化。在上述教学中，教师将学生在平面图形学习过程中形成的对高的认识经验充分加以激活，并让学生尝试着将这种认知经验迁移到立体图形中来。教师设计了“动手量出圆柱体高度”的数学探究活动，学生在兴致盎然地探索过程中，产生了各种不同的方法，又形成了新的认知经验。这种认知经验是建立在学生对平行四边形、三角形等图形的高等“同类”概念，以及平面图形中距离概念的认知基础上的，是对其的一种有意义地拓展。在教学过程中，教师引导学生自然揭示出圆柱高的定义，让学生对此形成比较清晰的认识。从中，学生经历并初步完成了由生活经验到系统化数学认知的转变过程。
(三)在想象中迁移实物模型中“高的条数”的感性经验，深化概念本质
数学概念的探究学习旨在深刻认识事物的本质属性，而这种认识的进一步深化又必须在实际的运用中得以实现。为了进一步深化对圆柱高的概念本质的认识，教师还设计了对实物模型的想象活动，让学生在数学想象中直观地感受到圆柱体有无数条高，进一步体会感知圆柱体的高的本质意义。同时，在这样的数学想象活动中，学生直观生活经验再次得到了系统化的提升，并感受到了趋向无限的数学思想，也发展了学生的抽象思维能力。
总之，在数学教学中，教师应该充分关注学生已有的生活经验和认知基础，设计各种数学活动来激活、丰盈认知经验，并使之逐渐系统化，帮助学生在头脑中有效建构新知。这种新知，有了系统化的经验作为基础，将会是充满活性的，是可以“有着多种途径被找回”的。