基于许瓦兹变换的电场强度计算.pdf

第26卷 第4期2023年8月Vol.26 No.4Aug.2023山东电力高等专科学校学报Journal of Shandong Electric Power College基于许瓦兹变换的电场强度计算陈鹏（山东电力工程咨询院有限公司，山东济南250013）摘要：为计算交流输电线路附近的房屋畸变电场强度，在P平面上建立了“线路-地面-房屋”多边形模型，利用许瓦兹变换把P平面上的多边形变换为H平面的上半平面，在简单的H平面上计算电场强度，再把H平面的电场变换到P平面，既确保了计算精度，又加快了计算速度。利用有限元法验证了计算的正确性，并且研究了不同树木高度对房顶电场强度的影响，当树高与房顶相同时，房顶的电场强度可降低38.8%。关键词：许瓦兹变换；电场强度；畸变；房屋中图分类号：TM726文献标志码：A文章编号：2096-9104（2023）04-0012-05Calculation of Electric Field Intensity Based on SchwarzTransformationCHEN Peng（Shandong Electric Power Engineering Consulting Institute Co.，Ltd.，Jinan 250013，China）Abstract：In order to calculate the distorted electric field intensity of houses near AC transmission lines，a polygon model of line-ground-house is established in the P plane，the polygon in the P plane is transformed into the upper half plane of the H planethrough Schwarz transformation，the electric field intensity is calculated in the simple H plane，and then the electric field is transformed from the H plane to the P plane，which not only ensures the calculation accuracy，but also accelerates the calculationspeed.The finite element method is used to verify the accuracy of the calculation.In addition，the influences of different treeheights on the electric field intensity of the roof are studied.The results show that the electric field intensity of the roof can be reduced by 38.8%when the tree is as high as the roof.Keywords：Schwarz transformation；electric field intensity；distortion；house0引言随着经济的发展，高压输电线路通道日益紧张，输电线路更加靠近房屋。研究房屋附近电场强度的分布规律，合理控制房屋附近的电场强度，使输电线路满足生态环保要求，对输电线路的建设及运行均有重要意义。高压输电线路周围电场强度的计算，常用方法为模拟电荷法和有限元法，其他还有边界元法、矩量法、场路结合法、模拟电荷法与矩量法结合等1。总体来看，目前最常用的还是有限元法。有限元法的计算精度与剖分次数有很大关系，一般剖分次数越多，计算精度越高，但计算耗时也越多。输电线路几何模型的结构比较复杂，结构尺寸的变化范围很大，如导线半径仅为 1025 mm，但杆塔高度可达6080 m。因此，为达到较高的计算精度，剖分网格中最小单元的尺寸要小于实际模型的最小单元，这必然使有限单元数目惊人。为解决大规模的计算问题，文献 2 利用自适应交叉近似算法填充非对角子矩阵，只需计算出原始电位系数矩阵的部分元素即可近似表示原矩阵，从而减少计算时间。文献 3 采用并行计算，基于非重叠区域分解法对求解区域进行划分，在工作站机群上进行并行计算。收稿日期：2023-04-28作者简介：陈鹏（1983），男，硕士，高级工程师，主要研究方向为架空输电线路设计。编辑部收稿邮箱：电力技术12从工程设计角度考虑，有限元法建模过程复杂，空间剖分要求高，无法编制程序对大量房屋进行批量计算。因此，有必要从解析法入手，寻求一种更为便捷高效的计算方法。许瓦兹变换是一种应用广泛的共形变换，可把复杂区域变换到诸如半平面、圆环等简单区域，使计算得到简化，再把简单区域的解变换至原区域3。本文基于许瓦兹变换计算高压交流输电线路周围的电场强度。首先，把实际模型（“线路-地面-房屋”）变换为理想模型（“线路-地面”）；其次，在理想模型中计算电场强度；最后，把理想模型中的电场强度变换至实际模型，从而完成求解。1基于许瓦兹变换建立数学模型1.1许瓦兹变换设 P 是一个正向多边形，其顶点依次为 p1，p2，p3，pn，在pi处的右向旋转角为i（i=1，2，n），通过式（1）所示的函数，可将H平面上半平面映射到P平面的多边形内部，而且对应的式（2）也成立4。f()z=A0z()x11()x22()xnnd+B（1）f()x1=p1，f()xn 1=pn 1，f()=pn（2）式中：A和B为复数，在计算过程中确定。为得到函数的具体表达式，要计算出式（1）的积分。但具体到工程实际参数，积分往往难以用解析法直接算出，但是可以应用数值积分法进行计算。1.2计算步骤1）建立原始模型。根据输电线路和房屋的结构特点建立一个便于分析的多边形。2）P到H变换。将P平面的多边形变换为H平面的实轴，并在H平面求解静电场。3）H到P变换。将H平面的实轴变换为多边形，把H平面静电场变换至P平面，问题得到解决。1.3实际模型由P平面变换至H平面为便于工程应用，可忽略房屋的边缘效应，沿房屋的中心线做剖面图，三维模型可简化为图1所示的二维模型。在P平面，地面和房屋组成了多边形，房屋坐标点为pi（1i5）。本文利用式（1）将H平面的上半平面映射到P平面多边形的内部。通过观察图1可知：i可由房屋坐标点计算得到；考虑到房屋的对称性，可使f（-1）=p1，f（0）=p3，f（1）=p5，而x2、x4及A、B均需要根据多边形的形状在积分过程中确定。至此，P平面上的“线路-地面-房屋”模型变换为H平面上的“线路-地面”模型，随后可在H平面上求解静电场。图1P平面上的“线路-地面-房屋”模型先将P平面上的电线坐标z0=xi+jyi代入式（1），得到变换至H平面的坐标w0=ui+jvi，再计算导线半径rP由P平面变换至H平面的对应值rH。rH=|rPf()z0（3）1.4在H平面求解静电场导线上的电荷矩阵Q可用电压矩阵U和电位系数矩阵表示的方程式求得，如式（4）所示。Q=1U（4）电位系数矩阵的对角元素ii和非对角元素ij可由式（5）求得。ii=12lg2Larij=12lgDabdab(5)式中：La为导线a的对地高度；r为导线半径；dab为导线a和导线b的距离；Dab为导线a和导线b的镜像间距离；为空气的介电常数。n相导线在空间点产生的电场强度采用叠加原理计算5。EVi=i=1nQi2Lin()Lin2+()Sit2+Li+n()Li+n2+()Sit2（6）ESi=i=1nQi2Sit()Lin2+()Sit2Sit()Li+n2+()Sit2（7）陈鹏：基于许瓦兹变换的电场强度计算13山东电力高等专科学校学报第26卷 第4期Vol.26 No.4式中：EVi和ESi分别为垂直和平行与地面的电场强度分量；Qi和-Qi分别为导线i及其镜像单位长度电荷；t 和 n 分别为空间 点的横轴坐标值和纵轴坐标值；Li为导线 i 的纵轴坐标值；Si为导线 i的横轴坐标值。1.5静电场由H平面变换至P平面许瓦兹变换前后，电位的数值在等位线上不变，因而复数电位是一个共形不变量。但在变换前后，由于曲线的弧长会发生变化，所以电场强度在许瓦兹变换后会发生变化。变换前后的电场强度满足如下关系：EP=|EHf()H（8）式中：EP和EH分别为P平面和H平面的电场强度。利用公式（8）把H平面的电场变换至P平面，问题得以解决。2实际问题的计算及验证2.1实际问题的计算以某 500 kV 同塔双回输电线路接近房屋为例，输电线路采用四分裂导线，分裂间距为 0.5 m，导线逆相序布置，导线外径为 33.6 mm，房屋长12 m，宽 6 m，高 7 m。在 P 平面，以线路中心线与地面的交点作为坐标原点，电线坐标分别为（-8，38）、（-10，26）、（-8.5，15）、（8，38）、（10，26）、（8.5，15），房屋拐点坐标分别为（17，0）、（17，4）、（20，6）、（23，4）、（23，0）。由于房屋形状的对称性，可令P平面上p1、p3、p5分别对应H平面上（-1，0）、（0，0）、（1，0）。经计算，A=9.2，B=0，计算参数值见表1，确定的许瓦兹变换表达式如式（9）所示，各相导线变换前后坐标对应表如表2所示。f()z=9.20z()+10.5()+0.76361.3131.374()0.76361.313()10.5d（9）2.2电场强度的计算及验证在H平面对地面电场强度进行计算，计算结果如图2所示。由图2可知，右侧回路附近的电场强度最大值明显大于左侧回路。这是由于由P平面变换至H平面后，两侧的电线位置不再左右对称，右侧电线高度略低，导致右侧地面电场强度略大。表1计算参数值点编号p1p2p3p4p5p6P平面坐标（17，0）（17，4）（20，6）（23，4）（23，0）H平面横坐标-1.0000-0.763600.76361.0000角度编号123456角度/rad0.5001.3131.3741.3130.500-1.000表2变换前后导线坐标对应表电线编号A1B1C1C2B2A2P平面坐标（-8.0，38）（-10.0，26）（-8.5，15）（8.0，38）（10.0，26）（8.5，15）H平面坐标（-3.080，4.081）（-3.317，2.778）（-3.178，1.589）（-1.327，4.060）（-1.125，2.728）（-1.346，1.509）图2H H平面的地面电场强度曲线为验证计算结果的准确性，本文采用Ansys软件的Maxwell模块建立有限元仿真模型。采用许瓦兹变换法和采用有限元法计算得到的电场强度曲线如图3所示。由图3可见，从变化趋势上看，两条曲线一致；从数值上看，采用许瓦兹变换法计算得到的电场强度数值比采用有限元法大。14采用许瓦兹变换法与采用有限元法计算得到的电场强度数值略有不同，主要原因在于有限元法需要对空间进行网格剖分。实际上，输电线路几何模型的结构比较复杂，结构尺寸的变化范围很大，为限制计算量，保证计算速度，网格无法剖分得足够小，因此有限元法存在一定的误差。此外，有限元法计算量大，本文采用有限元法计算耗时46 min，而采用许瓦兹变换法计算仅耗时6 s。图3P P平面电场强度曲线2.3房顶电场强度的改善措施为降低输电线路对房顶（特别是平顶房屋）人员活动的影响，可采取适当措施改善房顶电场强度分布。降低房顶电场强度的方法主要有两种：一种是改变房屋结构，例如增设彩钢板防护层；另一种是在房屋周围安装屏蔽网。上述两种方法不仅要确保安全，还要符合民众意愿，均存在一定程度的实施难度，相对来说，种植绿化树木是一种较为可行的方案。为研究树木对电场强度改善的效果，本文建立图4所示的数学模型，树木距房屋3 m，树冠宽2 m，树木等效为方框形的接地零电位面，研究不同树高L对电场强度的改善效果。图4房屋与树木模型在房屋左侧种植一排树后，房顶电场强度的分布规律如图5所示。由图5可知：1）树木越高，对房顶电场强度的改善效果越好。2）与没有树相比，树高与房顶相同时（7 m），左侧房檐处（与线路中心的距离为 17.3 m）的电场强度由7.37 kV/m降低到2.19 kV/m，中部房顶处（与线路中心的距离为20.3 m）的电场强度由5.70 kV/m降低到3.49 kV/m。以中部房顶作为参考点，电场强度降低38.8%。图5一排树对房顶电场强度的影响在房屋左右两侧各种植一排树后，房顶电场强度的分布规律如图6所示。由图6可见，在房屋右侧（远离输电线路侧）再种植一排树，对房顶电场强度的改善效果并不明显。图6两排树对房顶电场强度的影响3结论为计算交流输电线路下方房屋的电场强度，本文在 P 平面上建立了“线路-地面-房屋”多边形，利用许瓦兹变换，把 P 平面上的多边形变换为陈鹏：基于许瓦兹变换的电场强度计算15山东电力高等专科学校学报第26卷 第4期Vol.26 No.4H 平面的上半平面，在简化的 H 平面上计算地面电场强度，再把 H 平面的电场变换到 P 平面。最后利用有限元法验证了计算的正确性，得出以下结论：1）本文采用许瓦兹变换法计算电场强度，避免了网格类计算法对求解空间的剖分，既确保了计算精度，又加快了计算速度。2）树木对房顶电场强度的改善效果明显，当树高与房屋高度相同时，中部房顶的电场强度可降低38.8%。参考文献1黄道春，魏远航，钟连宏，等.我国发展特高压直流输电中一些问题的探讨 J.电网技术，2007，31（8）：6-12.2杨勃，侯树政，徐禄文，等.一种采用矩阵压缩技术的交流输电杆塔周围电场高效计算方法 J.高压电器，2022，58（5）：41-46.3厉天威，阮江军，吴田.并行计算高压输电线路周围电场 J.电工技术学报，2009，24（7）：1-6，15.4曹伟杰.保形变换理论及其应用 M.上海：上海科学技术文献出版社，1988.5周浩，余虹云，余宇红.高电压技术 M.杭州：浙江大学出版社，2007.全 力 保 障 电 力 供 应全 力 保 障 电 力 供 应全 力 保 障 电 力 供 应全 力 保 障 电 力 供 应全 力 保 障 电 力 供 应全 力 保 障 电 力 供 应全 力 保 障 电 力 供 应全 力 保 障 电 力 供 应全 力 保 障 电 力 供 应全 力 保 障 电 力 供 应全 力 保 障 电 力 供 应全 力 保 障 电 力 供 应全 力 保 障 电 力 供 应全 力 保 障 电 力 供 应全 力 保 障 电 力 供 应全 力 保 障 电 力 供 应全 力 保 障 电 力 供 应全 力 保 障 电 力 供 应全 力 保 障 电 力 供 应全 力 保 障 电 力 供 应全 力 保 障 电 力 供 应全 力 保 障 电 力 供 应全 力 保 障 电 力 供 应全 力 保 障 电 力 供 应全 力 保 障 电 力 供 应全 力 保 障 电 力 供 应全 力 保 障 电 力 供 应全 力 保 障 电 力 供 应全 力 保 障 电 力 供 应全 力 保 障 电 力 供 应全 力 保 障 电 力 供 应全 力 保 障 电 力 供 应积 极 推 动 能 源 转 型积 极 推 动 能 源 转 型积 极 推 动 能 源 转 型积 极 推 动 能 源 转 型积 极 推 动 能 源 转 型积 极 推 动 能 源 转 型积 极 推 动 能 源 转 型积 极 推 动 能 源 转 型积 极 推 动 能 源 转 型积 极 推 动 能 源 转 型积 极 推 动 能 源 转 型积 极 推 动 能 源 转 型积 极 推 动 能 源 转 型积 极 推 动 能 源 转 型积 极 推 动 能 源 转 型积 极 推 动 能 源 转 型积 极 推 动 能 源 转 型积 极 推 动 能 源 转 型积 极 推 动 能 源 转 型积 极 推 动 能 源 转 型积 极 推 动 能 源 转 型积 极 推 动 能 源 转 型积 极 推 动 能 源 转 型积 极 推 动 能 源 转 型积 极 推 动 能 源 转 型积 极 推 动 能 源 转 型积 极 推 动 能 源 转 型积 极 推 动 能 源 转 型积 极 推 动 能 源 转 型积 极 推 动 能 源 转 型积 极 推 动 能 源 转 型积 极 推 动 能 源 转 型16