尺规作图(练习题解析版).docx

1．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中不正确的是（　　）

A．AD是∠BAC的平分线 B．∠ADC=60°
C．点D在AB的中垂线上 D．S△DAC：S△ABD=1：3
【答案】D
【解析】①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线；
②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数；
③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点D在AB的中垂线上；
④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．
解：根据作图方法可得AD是∠BAC的平分线，故①正确；
∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAC=∠DAB=30°，∴∠ADC=60°，故②正确；
∵∠B=30°，∠DAB=30°，∴AD=DB，∴点D在AB的中垂线上，故③正确；
∵∠CAD=30°，∴CD=AD，∵AD=DB，∴CD=DB，∴CD=CB，S△ACD=CD•AC，S△ACB=CB•AC，∴S△ACD：S△ACB=1：3，∴S△DAC：S△ABD≠1：3，故④错误，
故选：D．
2．尺规作图的工具是（ ）
A．刻度尺、量角器 B．三角板、量角器
C．直尺、量角器 D．没有刻度的直尺、圆规
【答案】D
【解析】
试题分析：尺规作图的工具是指没有刻度的直尺、圆规．
故选：D
考点: 尺规作图的定义.

3．如图，已知E是平行四边形ABCD对角线AC上的点，连接DE．
（1）过点B在平行四边形内部作射线BF交AC于点F，且使∠CBF=∠ADE（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法与证明）
（2）连接BE，DF，判断四边形BFDE的形状并证明．

【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】解：（1）如图所示：

（2）四边形BFDE的形状是平行四边形，
理由如下：
∵在平行四边形ABCD中，∴∠DAC=∠ACB，AD=BC，
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴DE=BF，∠AED=∠BFC，
∵∠DEF=180°﹣∠AED，∠BFE=180°﹣∠BFC，
∴∠DEF=∠BFE，
∴DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
（1）作∠CBM=∠ADE，其中BM交CD于F即可；
（2）四边形BFDE的形状是平行四边形，连BE、DF，由于△ADE≌△CBF，根据全等三角形的性质得到DE=BF，∠AED=∠BFC，根据等角的补角相等可得∠DEF=∠BFE，则DE∥BF，根据平行四边形的判定即可得到结论．
4．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上的一点，点E是AC的中点．
（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）．
①作∠DAC的平分线AM． ②连接BE并延长交AM于点F．
（2）猜想与证明：试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由．

【答案】（1）见解析 （2）AF=BC 证明过程见解析
【解析】解：（1）如下图所示；

（2）AF∥BC，且AF=BC.理由如下：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=2∠ACB，
由作图可得∠DAC=2∠FAC，
∴∠ACB=∠FAC ∴AF∥BC，
∵E为AC中点，
∴AE=EC，
在△AEF和△CEB中，，
∴△AEF≌△CEB（ASA）．
∴AF=BC．
（1）根据题意画出图形即可；
（2）首先根据等腰三角形的性质与三角形内角与外角的性质证明∠ACB=∠FAC，进而可得AF∥BC；然后再证明△AEF≌△CEB，即可得到AF=BC．
5．已知△ABC,求作△DEF，使△DEF≌△ABC(尺规作图，保留作图痕迹)。
作法：
A
B
C

【答案】

【小题1】
【小题2】
【小题3】
【解析】画线段EF=BC；
分别以E、F为圆心，线段AB，AC为半径画弧，两弧交于点D；
连结线段DE、DF。
∴△DEF就是所求作的三角形

6．尺规作图：学校决定在植物园内开辟一块梯形土地ABCD培植草皮（如图），AD∥BC.其中MN是园林里的一条主水管，点B、点C在MN上.如今要在BC上的P点接一条与BC垂直的水管 ，并在这条新接水管的某处安置喷淋器E，喷淋器位于草坪内，且到AB、BC的距离相等.请你运用尺规作图，在原图中帮助确定点E的位置.（要求：不写已知、求作及作法；保留作图痕迹）
●
C
B
M
N
P
D
A

【答案】略
【解析】解：因为MN是园林里的一条主水管，点B、点C在MN上.如今要在BC上的P点接一条与BC垂直的水管 ，并在这条新接水管的某处安置喷淋器E，喷淋器位于草坪内，且到AB、BC的距离相等，那么在角ABC的平分线上，同时过点P垂直于BC，因此交点就是所求的结果
7．（11·贵港）（本题满分6分）
按要求用尺规作图（只保留作图痕迹，不必写出作法）
（1）在图（1）中作出∠ABC的平分线；（2）在图（2）中作出△DEF的外接圆O．

【答案】如图，（每画对一个得3分，共6分）

【解析】略
8．如图，已知E是平行四边形ABCD的边AB上的点，连接DE．
（1）在∠ABC的内部，作射线BM交线段CD于点F，使∠CBF=∠ADE；（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）在（1）的条件下，求证：△ADE≌△CBF．

【答案】（1）（2）证明见解析
【解析】（1）解：作图如下：

（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AD=BC。
∵∠ADE=∠CBF，∴△ADE≌△CBF（ASA）。
（1）以点C为圆心，AC长为半径画弧，交CD于点F，连接BF，则∠CBF=∠ADE。
（2）根据平行四边形的性质可得∠A=∠C，AD=BC，由ASA可证△ADE≌△CBF
9．已知四边形ABCD是平行四边形（如图），把△ABD沿对角线BD翻折180°得到△AˊBD.

（1）利用尺规作出△AˊBD.（要求保留作图痕迹，不写作法）；
（2）设D Aˊ 与BC交于点E，求证：△BAˊE≌△DCE.
【答案】见解析
【解析】解：（1）作图如下：

（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠B，AB=DC。
∵△ABD沿对角线BD翻折180°得到△AˊBD，
∴∠Aˊ=∠A，AˊB= AB。∴∠Aˊ=∠B，AˊB= DC。
又∵∠AˊEB=∠DEC，∴△BAˊE≌△DCE（AAS）。
（1）作法：①过点A作BD的垂线；
②以点B 为圆心，AB为半径画弧，交BD的垂线于点Aˊ；
③连接AˊB，AˊD。
则△AˊBD即为所求。
（2）由平行四边形和翻折对称的性质，应用AAS即可证明。
10．如图，已知△ABC．只用直尺（没有刻度的尺）和圆规，求作一个△DEF，使得△DEF∽△ABC，且EF=BC．（要求保留作图痕迹，不必写出作法）

【答案】画图

△DEF就是所求三角形．
【解析】作△ABC的中位线MN，再作△DEF≌△AMN即可．
11．如图，在△ABC中，已知∠B=∠C
（1）尺规作图：作底角∠ABC的平分线BD，交AC于点D（作图不写作法，但保留作图痕迹）；
（2）猜想：“若∠A=36°，则△ABD和△BDC都是等腰三角形”。请你通过计算说明猜想是否成立．
A
B
C

【答案】（1）作图见解析；（2）理由见解析．
【解析】
试题分析：（1）首先以B为圆心，任意长为半径画弧，两弧交AB、BC于M、N两点；再分别以M、N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于一点O，画射线BO交AC于D．
（2）根据三角形内角和为180°计算出∠ABC，∠C，∠CDB，∠ABD，∠DBC的度数，再根据等角对等边可证出结论．
试题解析：（1）如图所示：

BD即为所求；
（2）∵∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=（180°-36°）÷2=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=72°÷2=36°，
∴∠CDB=180°-36°-72°=72°，
∵∠A=∠ABD=36°，∠C=∠CDB=72°，
∴AD=DB，BD=BC，
∴△ABD和△BDC都是等腰三角形．
考点：1．作图—复杂作图；2．等腰三角形的判定与性质．
12．已知：如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°。
（1）作∠B的平分线BD，交AC于点D；作AB的中点E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作
法和证明）；
（2）连接DE，求证：△ADE≌△BDE。

【答案】（1）（2）证明见解析
【解析】解：（1）作图如下：

（2）证明：∵∠ABD＝×60°＝30°，∠A＝30°，∴∠ABD＝∠A。∴AD＝BD。
又∵AE＝BE，∴△ADE≌△BDE（SAS）。
（1）①以B为圆心，任意长为半径画弧，交AB、BC于F、N，再以F、N为圆心，大于
FN长为半径画弧，两弧交于点M，过B、M作射线，交AC于D，线段BD就是∠B的平分线。
②分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于X、Y，过X、Y作直线与AB
交于点E，点E就是AB的中点。
（2）首先根据角平分线的性质可得∠ABD的度数，从而得到∠ABD=∠A，根据等角对等边可得
AD=BD，再加上条件AE=BE，即可利用SAS证明△ADE≌△BDE。
13．（9分）如图9，△ABC是等边三角形， D点是AC的中点，延长BC到E，使CE=CD.
（1）用尺规作图的方法，过D点作DF⊥BE，垂足是F（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：BF=EF．
图9
A
C
B
D
E

A
C
B
D
E
F
图1
【答案】

（2）∵ △ABC是等边三角形，D是AC的中点，
∴ ∠ABC=∠ACB，∠ABC=2∠DBE．
∵ CE=CD，
∴ ∠E=∠CDE．
∴ ∠ACB=2∠E．
∴ ∠DBE=∠E，
∴ BD=DE． ………（8分）
又∵ DF⊥BE，
∴ BF=EF． ………（9分）
【解析】略