高中数学选修1-1-33-导数在研究函数中的应用导学案及练习题3. 3. 2 利用导数研究函数的极值(二).doc

【学习要求】1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会用导数求某定义域上函数的最值.
【学法指导】弄清极值与最值的区别是学好本节的关键.函数的最值是一个整体性的概念.函数极值是在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较.
1.函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值
函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在 处或 处取得.
2.求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤：
(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的 ；
(2)将函数y＝f(x)的各极值与 的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是 ，最小的一个是 .
探究点一　求函数的最值
问题1　如图，观察区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象，你能找出它的极大值、极小值吗？

问题2　观察问题1的函数y＝f(x)，你能找出函数f(x)在区间[a，b]上的最大值、最小值吗？若将区间改为(a，b)，f(x)在(a，b)上还有最值吗？由此你得到什么结论？

问题3　函数的极值和最值有什么区别和联系？

问题4　怎样求一个函数在闭区间上的最值？
例1　求下列函数的最值：
(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－1,3]； (2)f(x)＝x＋sin x，x∈[0,2π].x k b 1 . c o m

跟踪训练1　 求下列函数的最值：
(1)f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，x∈[－3,1]； (2)f(x)＝ex(3－x2)，x∈[2,5].

探究点二　含参数的函数的最值问题
例2　已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a).
(1)若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程.
(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值.

跟踪训练2　已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值.

探究点三　函数最值的应用
问题　函数最值和“恒成立”问题有什么联系？
例3　已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－x＋1.若xf′(x)≤x2＋ax＋1恒成立，求a的取值范围.w w w .x k b 1.c o m

跟踪训练3　设函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)<c2成立，求c的取值范围.w w w .x k b 1.c o m

【达标检测】
1.函数y＝f(x)在[a，b]上 (　　)
A.极大值一定比极小值大 B.极大值一定是最大值
C.最大值一定是极大值 D.最大值一定大于极小值
2.函数f(x)＝x3－3x(|x|<1) (　　)
A.有最大值，但无最小值 B.有最大值，也有最小值
C.无最大值，但有最小值 D.既无最大值，也无最小值
3.函数y＝x－sin x，x∈的最大值是 (　　)
A.π－1 B.－1 C.π D.π＋1

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