具有双群体行为的捕食者—食饵模型的定性分析.pdf

年月南宁师范大学学报(自然科学版)J u n 第 卷 第期J o u r n a l o fN a n n i n gN o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n)V o l N o D O I:/j c n k i i s s n 文章编号:()具有双群体行为的捕食者食饵模型的定性分析农静才,李自尊,唐城林(南宁师范大学 数学与统计学院,广西 南宁 )摘要:该文研究两种群都具有群体性行为的捕食系统分析了系统平衡点的动力学行为,给出了内部平衡点稳定的条件;然后证明了当分支参数改变时,系统在边界平衡点处产生跨临界分岔,在内部平衡点处产生H o p f分岔,并且可以产生两个极限环关键词:群体防御行为;稳定性;H o p f分岔;极限环中图分类号:O 文献标志码:A 年A j r a l d i等考虑了食饵具有群体防御的捕食系统dXdTr X(XK)XYTh X,X();dYdTs Yc XYTh X,Y(),()其中X(T)和Y(T)分别表示T时刻食饵种群的的密度和T时刻捕食者种群的密度,Th表示捕食者对食饵的平均处理时间,r表示食饵种群的内部增长率,表示捕食者对食饵的捕获率,s表示捕食者种群的死亡率,c表示转化率所有参数均为正数B r a z a考虑了系统()中捕食者对食饵的平均处理时间Th的情况,分析了不同平衡点的稳定性及分岔行为 M a i t i等在 的基础上,考虑捕食者和被捕食者都具有群体行为的捕食系统dXdTr X(XK)XYTh X,X();dYdTs Y XYTh X,Y(),()并用非线性近似的方法分析了系统()中原点附近的动力学行为,对于内部平衡点给出了稳定的条件B i s w a s等在系统()的基础上,假设捕食者对食饵的平均处理时间Th,并且考虑了强A l l e e效应,分析了系统平衡点的稳定性和分岔行为M a n a f利用数值模拟分别对 和 中建立的捕食系统进行了分岔分析,发现系统()在一定条件下发生跨临界分岔、超临界H o p f分岔和异宿分岔,系统()会产生亚临界分岔,产生一个不稳定的极限环在文献 的启发下,我们假设平均处理时间Th,将系统()化为dXdTr X(XK)XY,X();dYdT YXY,Y()()收稿日期:基金项目:国家自然科学基金();广西高校中青年教师科研基础能力提升项目(KY )第一作者简介:农静才(),男,广西贵港人,硕士研究生,研究方向:微分方程与动力系统通信作者简介:李自尊(),男,山东济宁人,副教授,博士,硕士生导师,研究方向:微分方程与动力系统E m a i l:z z l q f n u c o m 南 宁 师 范 大 学 学 报(自 然 科 学 版)第 卷作变换xXK,yYK,tr T,可将系统()化为dxdtx(x)b x y P,x();dxdtyc x y Q,y(),()其中br,cr,r所有参数均为正数定理系统()的解一致有界证明由()的第一式得dxdtx(x)b x yx(x)由 中的引理可得l i mts u px(t)令Wxbcy,有dWdtW()xx()利用G r o n w a l l不等式得W(t)W()et()et()故l i mtW(t)(),所以解一致有界下面研究系统()的平衡点的稳定性以及分岔行为系统的平衡点及稳定性分析系统()存在边界平衡点E(,),E(,)和内部平衡点E(x,y),两个边界平衡点在任何参数条件下都存在,且内部平衡点E(x,y)满足x(x)b xy,yc xy通过计算得xb c,ycx所以,当b c成立时内部平衡点E(x,y)存在E(x,y)的稳定性分析系统()在内部平衡点E(x,y)的线性化矩阵为J(E)a a a a,其中a xb yx,a b xy,a c yx,a 定理如果b c,则E(x,y)稳定证明因为a,若a,即第期农静才,等:具有双群体行为的捕食者食饵模型的定性分析 xb yx(b c)bc(b c)(b c),即要求b c成立,则E(x,y)稳定定理如果x,则E(x,y)稳定证明因为a,故当x时,有a,定理得证定理如果E(x,y)在c()y下稳定,则E(x,y)在中是吸引的,系统()在中不存在周期轨道,其中(x,y)R:x,yy,l i mti n fy(t)y定理如果x,则系统()不存在闭轨证明设D u l a c函数B(x,y)xy,则有(B P)x(B Q)y()x()xy()c()xyxy令,则有(B P)x(B Q)y(x)xy如果(x)xy,即要求x成立,则系统()不存在闭轨E(,)的稳定性分析由于系统()线性化后的J a c o b i矩阵中分量的分母含有变量y,故不能直接将E(,)和E(,)代入J a c o b i矩阵因此,为了方便分析,我们令Xx,Yy,这时系统()变为dxdtXdXdtXXb X Y,dydtYdYdtYc X Y当X,Y时有dXdt,dYdtY,()故系统()沿着Y轴单调递减当X,Y时有dXdtXX,dYdt()系统()当X时沿着X轴单调递增,当X时沿着X轴单调递减当X,Y时,系统()变为dXdtXbYX,dYdtcXY()南 宁 师 范 大 学 学 报(自 然 科 学 版)第 卷系统()的线性化矩阵为J(X,Y)Xbc,则J(,)bc,由此可得t r(J(,),d e t(J(,)b c当b c时,E为鞍点,其特征值为,()()b c,对应的特征向量为(b()b c,)T,从而()对应的线性系统的稳定特征空间和不稳定特征空间分别为直线Y()b cbX和直线Y()b cbX对于(),假设对应的稳定流形为YAXBXDXo(|X|),则有dYdXABXDXo(|X|),且由系统()有dYdXcXYXbYX由此可得cX(AXBXDXo(|X|)Xb(AXBXDXo(|X|)XABXDXo(|X|)通过计算可知下列关系成立:b A()Ac,Bb D()(b D)()b cb综上,()的稳定流形为Y()b cbXb D()(b D)()b cbXDXo(|X|)记 b c由以上分析可得系统()在原点附近的性质如下()设b c(i)初值(x,y)(x,y)|y()b cbx第期农静才,等:具有双群体行为的捕食者食饵模型的定性分析 b D()(b D)()b cbxo(|x|)时,系统()的轨道沿着稳定流形趋向原点(i i)初值(x,y)(x,y)|y()b cbxb D()(b D)()b cbxo(|x|)时,系统()的轨道与y轴相交,且沿着y轴趋向原点(如图所示)此时系统()存在不稳定的焦点图系统()在参数b,c,下的相图()设b c(i)对于初值(x,y)(x,y)|y()b cbxb D()(b D)()b cbxo(|x|),系统()的轨线沿着稳定流形趋向原点(i i)对于初值(x,y)(x,y)|y()b cbxb D()(b D)()b cbxo(|x|)时,系统()的轨线与y轴正半轴相交,且沿着y轴趋向原点(i i i)对于初值(x,y)(x,y)|y()b cbxb D()(b D)()b cbxo(|x|),系统()周期轨外面的轨道远离周期轨,最终与y轴相交,且沿着y轴趋向原点(如图所示)此时系统()在内部平衡点附近发生H o p f分岔,产生一个极限环 南 宁 师 范 大 学 学 报(自 然 科 学 版)第 卷图系统()在参数b,c,下的相图()设b c,(i)对于初值(x,y)(x,y)|y()b cbxb D()(b D)()b cbxo(|x|),系统()的轨线沿着稳定流形趋向原点(i i)对于初值(x,y)(x,y)|y()b cbxb D()(b D)()b cbxo(|x|),系统()的轨线终止于y轴,且沿着y轴趋向原点(i i i)对于初值(x,y)(x,y)|y()b cbxb D()(b D)()b cbxo(|x|),系统()的轨线趋向于内部平衡点(如图所示),此时系统()的内部平衡点是稳定的焦点图系统()在参数b,c,下的相图第期农静才,等:具有双群体行为的捕食者食饵模型的定性分析 E(,)的稳定性分析我们利用 的分析方法,对系统()中的边界平衡点E(,)进行分析在E(,)的小邻域内有x,yy,因此,在E(,)附近有dxdtxb y,dydtyc y由于x,yy,故在E(,)的小邻域内有ycy,故dydt,所以y单调递增;当y增大到一定程度时有yc y,此时dydt,y又单调递减当x时有dxdt,此时x单调递减;当x时,x单调递增当y较大时有dxdt,此时x单调递减根据分析且结合数值模拟结果可知E(,)是不稳定的平衡点,且从E(,)邻域内出发的解曲线或趋向于稳定的内部平衡点(如图),或最终与y轴相交,且沿着y轴趋向于原点(如图)图系统()在参数b,c,下的相图分岔分析本节分析系统()的参数经过临界值时平衡点的分岔行为选择作为分岔参数,参考 和,我们给出了系统()发生分岔的条件,表列出了平衡点E,E在一定参数条件下的稳定性及分岔行为表参数条件EE分岔b c不稳定不存在b c,不稳定不存在b c在EE处发生跨临界分岔b c不稳定不稳定b cH o p f分岔b c,不稳定稳定 南 宁 师 范 大 学 学 报(自 然 科 学 版)第 卷定理当参数 b c时,系统()在E处发生H o p f分岔证明(i)t r(J(E)|a a,即xb yxb c,亦即要求b c,由的生物意义解得 b c;(i i)d e t(J(E)|xbyxb cb c;(i i i)t r(J(E)|;(i v)特征方程d e t(J(E),即b c,解得 ib c因此,当参数 b c时,系统()在E处发生H o p f分岔(如图)定理得证下面利用 中的定理 确定系统()的焦点量的表达式将系统()的内部平衡点平衡点E(x,y)平移到原点,即作平移变换xxx,yyy,并利用T a y l o r展开,系统()可化为dxdtxbcyb c(b c)xbc(b c)xyb c(b c)yo(|x,y|),dydtcdxyc(b c)x(b c)xyc(b c)yo(|x,y|)()为将系统()化为正规形,作变换xbcu,yub cv,b ct,则系统()变为dudvA uB u vD vo(|u,v|),dvduE uF u vG vo(|u,v|),()其中A(bcb cb c)c(b c)b c,Bc,Dc(b c),E(bcb cb c)c(b c)b c,Fb cc(b c),Gc(b c)第期农静才,等:具有双群体行为的捕食者食饵模型的定性分析 令aAD,BEG,BG,AF,E a(AF)aB(GB)aBD B,则系统()的一阶焦点量为W aBA BB DD GA EE FF G bc bc bcb c b c b c b c c(b c)(b c)/b cb c bc)(b c)(b c)/c(b c)(b c)/因为 b c,W的表达式中只有两个参数,所以当W时可计算出二阶焦点量为W(a)(B)bc bc bcb c b c b c b c c(b c)(b c)bc b c bc bc c(b c)(b c)(b cb cbc)b c c(b c)(b c)通过调节参数b,c使得W与W异号,系统()产生两个极限环数值模拟的结果如图所示图系统()在参数b,c,下内部平衡点附近的相图结束语本文分析了两种群都具有群体性行为的模型,该模型的难点在于系统存在根号,使得分析平衡点稳定性时需要转化为其同胚系统我们分析了两个边界平衡点的稳定性行为,给出了内部平衡点稳定的条件,并给出了边界平衡点的跨临界分岔和内部平衡点H o p f分岔的存在条件,证明了当系统参数改变时存在两个极限环通过分析得知,只有当捕食者的死亡率 b c时捕食系统中的两个物种才能存活下来,否则要么两种群都灭绝,要么只有被捕食者能存活下来参考文献:A j r a l d iV,P i t t a v i n o M,V e n t u r i n oE M o d e l i n gh e r db e h a v i o ri np o p u l a t i o ns y s t e mJ N o n l i n e a rA n a l y s i sR e a lW o r l dA p p l i c a t i o n s,():南 宁 师 范 大 学 学 报(自 然 科 学 版)第 卷B r a z aP P r e d a t o r p r e yd y n a m i c sw i t hs q u a r e r o o t f u n c t i o n a l r e s p o n s e sJ N o n l i n e a rA n a l y s i sR e a lW o r l dA p p l i c a t i o n s,():M a i t iA,S e nP,S a m a n t aG D e t e r m i n i s t i ca n ds t o c h a s t i ca n a l y s i so fap r e y p r e d a t o rm o d e lw i t hh e r db e h a v i o u r i nb o t hJ S y s t e m sS c i e n c e&C o n t r o lE n g i n e e r i n g,():M a n a fZA,M o h d M H B i f u r c a t i o na n a l y s i so ft h ep r e y p r e d a t o rm o d e l si n c o r p o r a t i n gh e r db e h a v i o u r sJ I O PC o n f e r e n c eS e r i e s:E a r t ha n dE n v i r o n m e n t a lS c i e n c e,:B i s w a sS,P a lD,S a m a n t aG D y n a m i c so fap r e y p r e d a t o rs y s t e m w i t hh e r db e h a v i o u ri nb o t ha n ds t r o n ga l l e ee f f e c t i np r e yJ B i o p h y s i c s,():S a n g e e t aS,S a m a n t aG I m p a c t o f f e a r i nap r e y p r e d a t o r s y s t e mw i t hh e r db e h a v i o u rJ C o m p u t a t i o n a l a n dM a t h e m a t i c a lB i o p h y s i c s,():C h e nF,L i Z,H u a n gY N o t eo nt h ep e r m a n e n c eo f a c o m p e t i t i v e s y s t e mw i t h i n f i n i t ed e l a ya n d f e e d b a c kc o n t r o l sJ N o n l i n e a rA n a l y s i sR e a lW o r l dA p p l i c a t i o n s,():G r o n w a l lTH N o t eo nt h ed e r i v a t i v e sw i t hr e s p e c t t oap a r a m e t e r o f t h e s o l u t i o n so f as y s t e mo f d i f f e r e n t i a lE q u a t i o n sJ T h eA n n a l so fM a t h e m a t i c s,():K u z n e t s o vY E l e m e n t so f a p p l i e db i f u r c a t i o nt h e o r yM N e wY o r k:A p p l i e dM a t h e m a t i c a lS c i e n c e s,张芷芬,丁同仁,黄文灶,等微分方程定性理论M北京:科学出版社,马知恩,周义仓,李承治常微分方程定性与稳定性方法M北京:科学出版社,AQ u a l i t a t i v eA n a l y s i so faP r e d a t o r P r e yM o d e lw i t hT w o G r o u pB e h a v i o r sNON GJ i n g c a i,L IZ i z u n,T ANGC h e n g l i n(S c h o o l o fM a t h e m a t i c sa n dS t a t i s t i c s,N a n n i n gN o r m a lU n i v e r s i t y,N a n n i n g ,C h i n a)A b s t r a c t:T h i sp a p e rs t u d i e s ap r e d a t i o ns y s t e mo f t w op o p u l a t i o n sw i t hg r o u pb e h a v i o r s W e a n a l y z e t h ed y n a m i cb e h a v i o r so f t h e e q u i l i b r i u mp o i n t o f t h e s y s t e m,a n dg i v e c o n d i t i o n s f o r t h e s t a b i l i t yo f t h e i n t e r n a le q u i l i b r i u mp o i n to f t h es y s t e m T h e nw ep r o v et h a t,w h e nt h eb r a n c hp a r a m e t e rc h a n g e s,t h e s y s t e mg e n e r a t e s a t r a n s c r i t i c a l b i f u r c a t i o na t t h eb o u n d a r ye q u i l i b r i u mp o i n t a n daH o p fb i f u r c 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