两道“有奖解题擂台”题引发的探究.pdf

2023年第2期河北理科教学研究问题讨论中学数学教学 2019年第5期“有奖解题擂台（125）”（以下简称“擂题 125”）:在ABC中，求证：cscA2+cscB2+cscC23(cscA+cscB+cscC).由于这是一个假命题的原因，故而就有 了 2020 年 第 5 期 的“有 奖 解 题 擂 台（131）”（以下简称“擂题 131”）：在ABC中，求证：cscA2+cscB2+cscC23(secA+secB+secC).我们注意到文 1 提供的三角形不等式“链”：在ABC中，有cotA13cotA212cscAtanA212secA2（*）.（其中表示循环求和；本文以下还用表示循环求积）认知到“擂题 131”是“擂题 125”的一个补救，也是一个“让步”.为探“擂题131”之究竟，也为“擂题125”之“复活”，欣然命笔.1一个核心三角形不等式本文约定：在ABC中，a,b,c为其三边长，s,R,r分别为其半周长、外接圆半径、内切圆半径.由不等式“链”（*）引路，又充分顾及到两道擂题，我们首先建立起破解“擂题131”的一个核心三角形不等式：引理1 在ABC中，有cscA2cotA2+3(2-3).证明:利用正切函数y=tanx在(0,2)内是下凹函数，有131-cosA2sinA2=13tanA4tanA43=tan12=2-3，即cscA2cotA2+3(2-3)，引理1获证.2改进中的文 1 不等式“链”不等式的建立，让“擂题125”与“擂题131”瞬间“柳暗花明”了起来.接下来就要看文 1 不等式“链”（*）能否作一定的改进以及改进的程度了.进一步探究，我们的“改进”从这里开始：引理2 在ABC中，有cotA24tanA2两道“有奖解题擂台”题引发的探究浙江省杭州市余杭第二高级中学 宋慧丽 311100浙江省湖州市双林中学李建潮 313012摘要：在对两道“有奖解题擂台”题的探究中，得到了有关三角形的一系列不等式.关键词：三角形；不等式；不等式链 172023年第2期河北理科教学研究问题讨论-3.证明：注意到三角形恒等式cotA2=sr与tanA2=4R+rs，宜将 Gerrestsen 不等式s216Rr-5r2（见文 2）变形为sr16R-5rs=44R+rs-9rs，结合三角形不等式s3 3r，得cotA24tanA2-3.根据引理2，将文 1 不等式“链”（*）改进如下：推论1在ABC中，有式的等价式8cotA3cotA2-3 5cotA28cscA-3 2cscA5tanA2-3.证明：将三角恒等式cot2-tan2=2cot用于式，可得cotA24(cotA2-2cotA)-3 8cotA3cotA2-3，将三角恒等式cot2+tan2=2csc用于式，可得5cotA24(cotA2+tanA2)-3 5cotA28cscA-3及(cotA2+tanA2)5tanA2-3 2cscA5tanA2-3，从而推论1获证.如若联立与二式，可有5cotA3cscA-3，对式施行三角形代换(A,B,C)(2-A2,2-B2,2-C2)，则有：推论2在ABC中，有5tanA23secA2-3.推论1与推论2即为文 1 不等式“链”（*）的（全）改进.3两道擂题之“全景”联立与二式，与二式，可得cscA285cscA+2 3(3-85)，cscA24tanA2-2 3(2-3)，再联立与二式，得cscA2125secA2-65(4 3-5).将引理1与、式一并写成为：定理 在ABC中，有cscA2cotA2+3(2-3)cscA285cscA+2 3(3-85)cscA24tanA2-2 3(2-3)cscA2125secA2-65(4 3-5)显然，定理的与二式都是“擂题131”的加强；而式亦是“擂题125”的修正与补救.4无心插柳 顺手牵羊文 3 建立了如下三角形不等式：在ABC中，有sinA21+3s9R（s,R,r的意义同前）.这是一个十分精准的结论.无心插柳间从定理的式出发，将其改进为：推论3 在ABC中，有sinA21+3(2-3)s4R-(18 3-31)r4R.证明：定理的式两边平方，并注意到三角形恒等式cotA2=cotA2，得(cscA2)2(cotA2)2+6(2-3)cotA2+3(2-3)2=(cotA2)2+6(2-3)cotA2+9(7-4 3),上式“左边”结合三角形恒等式cotB2cotC2=4R+rr=cscA2+1，成 为(cscA2)2=csc2A2+2cscB2cscC2=(1+cot2A2)+2cscB2cscC2 182023年第2期河北理科教学研究问题讨论=3+(cotA2)2-2cotB2cotC2+2cscB2cscC2=3+(cotA2)2-2(cscA2+1)+2cscB2cscC2=1+(cotA2)2-2cscA2+2cscB2cscC2,式代入式，化为1-2cscA2+2cscB2cscC2 6(2-3)cotA2+9(7-4 3)B2cscC2cscA2+3(2-3)cotA2-(18 3-31)，两边 同 时 乘 以sinA2，得sinA21+3(2-3)cosA2-(18 3-31)sinA2.最后，将三角形恒等式cosA2=s4R与sinA2=r4R代入上式，推论3得证.参考文献1 李建潮.一个优美的几何不等式 J.数学通报，2015（02）：56-57.2 李建潮，钱旭锋.三角形中线与内角平分线的两个新不等式的注记 J.数学通讯（下），2018（06）：60-62.3 杨学枝.不等式研究（第一辑）C.西藏：西藏人民出版社，2010（06）:13，134.均颇有益处.练习题：1.解 方 程5+2 6x+5-2 6x=10.(x1=2,x2=-2).2.解方程6x+8x+10 x=12x.（提示:参照例 4，构造指数函数f(x)=612x+812x+1012x-1，答案为方程仅有一解x=3.）参考文献1 于志洪.构造方程解指数方程 J.现代中学生（高1993（10）.2 于志洪.构造一元二次方程解题 J.初中生学习指导，2021（09）.3 于志洪.构造一次函数证明不等式 J.中学生理科应试，2010（08）.4 于志洪.构造二次函数解全国初中联赛题 J.理科考试研究，2009（09）.5 于志洪.构造三次函数解最值问题 J.数学教学，2015（12）.6 于志洪.巧用均值换元法妙解因式分解题 J.数学学习，2002（04）.7 徐爱芳.应用均值换元法解高考最值问题 J.中学数学研究，2017（06）.(上接第16页)19