领悟题目设计意图,掌握解题方法本质——以苏科版一道课本习题为例.pdf

福建中学数学 45 比吗？学生会根据等腰三角形三线合一联想中线CE将三角形面积一分为二连结FK，令HKES=S，设CPKSx=，根据条件可以分别表示其他几块面积，利用CPKCPHFPKFPHSSCPFPSS=得到335xsxsxsx+=，解关于x的方程，从而求得CPFP的值，利用面积法解决比值问题 图 12 图 13 从基础的角、线段入手解读图形的基本特点，把握图形局部与整体的关系，将相似、全等、三角函数、面积、方程等知识融合在一起，培养解题的分析能力通过上述的改变，进一步培养学生的迁移能力，强化几何直观 反思我们的教学，这样的案例我们在课堂上经历过多吗？有这样的素材吗？想想有多少教师会这样去做考题给我们的启示，教师在平时教学中要培养学生几何直观意识，强化逻辑推理能力如学生在平时的学习过程中注重可以直观想到什么基本图形，这样的基本图形在哪里？而基本图形以其直观性便于学生理解，围绕基本图形对几何问题展开逻辑推理，既能发挥几何直观的教育价值，又是对几何推理能力的提升 领悟题目设计意图，掌握解题方法本质领悟题目设计意图，掌握解题方法本质 以苏科版一道课本习题为例 卢 培 江苏省南京市金陵中学仙林分校中学部（210033）教材中有许多经典题目值得研究，通过带领学生分析经典题目意图，分析方法本质，提高学生的几何模型意识，从而提高学生的解题能力 1 原题呈现原题呈现 如图 1，AD是ABC的中线，点E在AC上，BE交AD于点F某数学兴趣小组在研究这个图形时得到如下结论：（1）当12=AFAD时，13=AEAC；（2）当13=AFAD时，15=AEAC；（3）当14AFAD=时，17=AEAC；猜想猜想 当11=+AFADn时，=？AEAC并说明理由 图 1 本题目位于苏教版九年级下册第 6 章相似复习题中的探索研究的 19 题该题以三角形相似为素材，将它设计成了一道规律探究性题目，主要考察九年级学生基本的相似模型思想，考察九年级灵活运用基本相似模型解决问题的能力，从难度上讲属于中档题 2 设计意图设计意图 笔者从以下两个角度分析该题目的设计意图 2.1 从题目中从题目中“中线中线”条件的角度条件的角度 本题目中给出AD是ABC的中线这个条件，即点D为BC的中点，该条件降低了题目本身的难度，给学生的证明提供了明确的方向根据以往的做题经验，中点可以带来“中位线”“倍长中线”等做题方法，所以根据此条件，学生可以快速的掌握该题目的解题方向 2.1 从题目中从题目中“所得结论所得结论”的角度的角度 本题目设计成找规律的形式，考虑到了班级上绝大多数的同学，让大部分同学都能从规律中得到结论，增强学生们的信心“说明理由”的设计让得出结论的孩子迫不及待地想通过证明验证自己的结论，极大地增加了学生们的兴趣，让学生能够不仅知其然，也能知其所以然 3 解法赏析解法赏析 3SS 3 SX X F E H K P C S F E H K P C A E F C D B 46 福建中学数学 2023年第6期 为了让学生们清楚地知其所以然，先从第（1）个结论入手 3.1 利用利用“倍长中线倍长中线”解题思路解题思路 方法方法 1 由（1）得F是AD的中点，倍长BF至点G，连接AG，如图 2易证AFGDFB，可得12AGBDBC=，/AGBC，即AGECBE，所以12=AEAGCEBC，13=AEAC 方法方法 2 由题得D是BC的中点，倍长FD至点G，连接CG，如图 3易证BFDCGD，可得GDFDAF=，/BFCG，即AEFACG，所以13=AEAFACAG 方法方法 3 由题可得D是BC的中点，倍长AD至点G，连接BG，如图 4易证BDGCDA，可得ADDG=，ACBG=，/BGAC，即AEFGBF，所以=AEAEAFACBGGF因为F是AD中点，且ADDG=，所以13=AFGF，即13=AEAC 图 2 图 3 图 4 3.2 利用利用“中位线中位线”解题思路解题思路 方法方法 4 由题可得D是BC的中点，所以做CE的中点G，如图 5，因为D G，分别是BC CE，的中点，所以DG是BCE的中位线，所以/DGBE，则AEFAGD，所以12=AEAFAGAD，即13=AEAC 4 探究本质探究本质 从以上 4 解法中发现，无论哪一种辅助线的作法，都是为了得到三角形相似，而得到三角形相似最关键的就是得到线段平行 根据题目条件以及结论，边的比值跟相似有着直接的联系，平行是相似的关键，所以学生从以上辅助线的作法中得到一个通法，就是作平行，找基本相似模型：A型和X型 根据以上分析，上述辅助线的作法，都可以转换成做平行如图 2：作/AGBC，交BE延长线于点G；图 3：作/CGBE，交AD延长线于点G；图 4：作/BGAC，交AD延长线于点G；图 5：作/DGBE，交AC于点G上边四种方法虽然是针对第（1）个条件，从特殊到一般，方法完全可以延续，针对猜想中的一般条件，四种方法均可以采用，以下就第 4 种方法进行说明：如图 6，作/DGBE，交AC于点G，所以CDGCBE，所以12=CGCDCECB，即CGGE=又AEFAGD，所以11=+AEAFAGADn，即AG=(1)nAE+，所以EGAGAEnAECG=，所以11212=+AEACAEEGn 图 5 图 6 5 拓展应用拓展应用 应用应用 1 在上提的基础上，可以讲点D E，均变成在边BC AD，一般的位置，如：1=BDBCm，1=AFADn 思路思路 1/AGBC，如图 7，由AFGDFB，可得11=AGAFBDDFn，即11AGBDn=由AGECBE，可得111(1)=BDAEAGnCEBCBCm n，所以111(1)1=+AEAEACAECEm nmnm 图 7 图 8 思路思路 2/CGBE，如图 8，由BDFCDG，可得11=DFBDDGCDm，从而有11=DFDGm再由AEFACD，得AEAFAFACAGAFDFDG=[phone](1)111DGnmmnmDGmnm=+思路思路 3/BGAC，如图 9，由BDGCDA，G B D C F E A G B D C F E A A E F C D B G A E F C D B G A E F C D B G A E F C D B G A E F C D B G 2023年第6期 福建中学数学 47 可得11=BGBDDGACCDmAD 再由AFEGFB，可得=AEAFBGGF，从而得到11AEAFGDDFACm=+1111ADnnADADmn+，11=+AEACmnm 思路思路 4/DGBF，如图 10，由AEFAGD，可得1=AEAFAGADn再由CDGCBE，可得1=CGCDmCECBm，所以得到AEAEACAEEGCG=+111(1)(1)1nnmmnm=+应用应用 2 如图 11，在ABC中，D是BC的中点，点E在边AC，DE BA，的延长线交于点F求证：BFCEAFAE=图 9 图 10 图 11 题目分析题目分析 根据以上题目经验，该题目也是经典的相似问题，而且等式两边所涉及到的边分别是一组相似三角形对应的，所以该题目也是涉及到两组三角形相似，做平行线的时候考虑最基本的两种相似模型，所以有以下几种解题思路 思路思路 1 作/AGBC，如图 12，由平行可知AGFBDF，AGECDE由AGFBDF，可得=AFAGBFBD再由AGECDE，可得=AEAGCECD又BDCD=，所以=AFAEBFCE，即=BFCEAFAE 思路思路 2 作/BGAC，如图 13，由平行以及中点，易知AEFBGF，BGDCED 由AEFBGF，可得=AEAFBGBF由BGDCED，可得=BGCE所以=AEAFAEBGBFCE，即=BFCEAFAE 思路思路 3 作/DGAB，/DHAC，如图 14，由D是中点以及平行，可得2ABDG=，2ACDH=，H G，均是中点由平行可得DGEFAE，即=DGEGAFAE，所以22=DGEGAFAE，即2=ABEGAFAE，即211+=+ABEGAFAE，所以得到BFEGEGAFAFAE+=EGAGEGCGCEAEAEAE+=，即得证 图 12 图 13 图 14 针对教材中的经典习题，一定要学会带领学生领会编题者的意图，探究解题的方法本质，选择合适的解题思路，带领学生从教材的课后习题中吸取更多的知识点，提高学生的几何模型意识，拓展学生的数学思维，最终达到解题能力的提升 基于云教学平台大数据分析实施数学精准教学基于云教学平台大数据分析实施数学精准教学 李美兰 福建省惠安高级中学（362100）义务教育数学课程标准（2022 年版）中明确指出：促进信息技术与数学课程融合，合理利用现代信息技术，提供丰富的学习资源，设计生动的教学活动，促进数学教学方式方法的变革在实际问题解决中，创设合理的信息化学习环境，提升学生的探究热情，开阔学生的视野，激发学生的想象力，提高学生的信息素养1 随着信息技术的飞快发展，在互联网普及的今天，传统的学校教学模式已难以适应教育发展的要求，信息技术与学科的深度融合正改变着当代师生A E F C D B G A E F C D B G F A E B D C F A E B D C G F A E B D C G F A E B D C G H