高三数学第二轮专题复习系列(4)三角函数-新人教版.doc

高三数学第二轮专题复习系列(4)- 三角函数一、本章知识结构：应用同角三角函数的基本关系式任意角的概念任意角的三角函数诱导公式三角函数的图象与性质计算与化简证明恒等式已知三角函数值求角和角公式倍角公式差角公式弧长与扇形面积公式角度制与弧度制应用应用应用应用二、高考要求一 理解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；掌握任意角三角函数的定义、会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切。二 掌握三角函数公式的运用（即同角三角函数基本关系、诱导公式、和差及倍角公式）三 能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。四 会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图线、并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象、会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数及Y=Asin(+)的简图、理解A、的物理意义。五 会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinxarccosxarctanx表示角。三、热点分析1.近几年高考对三角变换的考查要求有所降低，而对本章的内容的考查有逐步加强的趋势，主要表现在对三角函数的图象与性质的考查上有所加强.2.对本章内容一般以选择、填空题形式进行考查，且难度不大，从1993年至2002年考查的内容看，大致可分为四类问题（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角变换和诱导公式，求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题3.基本的解题规律为：观察差异（或角，或函数，或运算），寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧），分析综合（由因导果或执果索因），实现转化.解题规律：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解；在最值问题和周期问题中，解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解.4.立足课本、抓好基础.从前面叙述可知，我们已经看到近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而重点转移到对三角函数的图象与性质的考查，对基础知识和基本技能的考查上来，所以在复习中首先要打好基础.在考查利用三角公式进行恒等变形的同时，也直接考查了三角函数的性质及图象的变换，可见高考在降低对三角函数恒等变形的要求下，加强了对三角函数性质和图象的考查力度.四、复习建议本章内容由于公式多，且习题变换灵活等特点，建议同学们复习本章时应注意以下几点：(1) 首先对现有公式自己推导一遍，通过公式推导了解它们的内在联系从而培养逻辑推理能力。(2) 对公式要抓住其特点进行记忆。有的公式运用一些顺口溜进行记忆。(3) 三角函数是中学阶段研究的一类初等函数。故对三角函数的性质研究应结合一般函数研究方法进行对比学习。如定义域、值域、奇偶性、周期性、图象变换等。通过与函数这一章的对比学习，加深对函数性质的理解。但又要注意其个性特点，如周期性，通过对三角函数周期性的复习，类比到一般函数的周期性，再结合函数特点的研究类比到抽象函数，形成解决问题的能力。(4) 由于三角函数是我们研究数学的一门基础工具，近几年高考往往考察知识网络交汇处的知识，故学习本章时应注意本章知识与其它章节知识的联系。如平面向量、参数方程、换元法、解三角形等。（2003年高考应用题源于此）5.重视数学思想方法的复习，如前所述本章试题都以选择、填空题形式出现，因此复习中要重视选择、填空题的一些特殊解题方法，如数形结合法、代入检验法、特殊值法，待定系数法、排除法等.另外对有些具体问题还需要掌握和运用一些基本结论.如：关于对称问题，要利用ysinx的对称轴为xk （kZ），对称中心为（k，0），（kZ）等基本结论解决问题，同时还要注意对称轴与函数图象的交点的纵坐标特征.在求三角函数值的问题中，要学会用勾股数解题的方法，因为高考试题一般不能查表，给出的数都较特殊，因此主动发现和运用勾股数来解题能起到事半功倍的效果. 6.加强三角函数应用意识的训练，1999年高考理科第20题实质是一个三角问题，由于考生对三角函数的概念认识肤浅，不能将以角为自变量的函数迅速与三角函数之间建立联系，造成思维障碍，思路受阻.实际上，三角函数是以角为自变量的函数，也是以实数为自变量的函数，它产生于生产实践，是客观实际的抽象，同时又广泛地应用于客观实际，故应培养实践第一的观点.总之，三角部分的考查保持了内容稳定，难度稳定，题量稳定，题型稳定，考查的重点是三角函数的概念、性质和图象，三角函数的求值问题以及三角变换的方法.7.变为主线、抓好训练.变是本章的主题，在三角变换考查中，角的变换，三角函数名的变换，三角函数次数的变换，三角函数式表达形式的变换等比比皆是，在训练中，强化变意识是关键，但题目不可太难，较特殊技巧的题目不做，立足课本，掌握课本中常见问题的解法，把课本中习题进行归类，并进行分析比较，寻找解题规律.针对高考中题目看，还要强化变角训练，经常注意收集角间关系的观察分析方法.另外如何把一个含有不同名或不同角的三角函数式化为只含有一个三角函数关系式的训练也要加强，这也是高考的重点.同时应掌握三角函数与二次函数相结合的题目.8.注意对三角形中问题的复习.由于教材的变动，有关三角形中的正、余弦定理.解三角形等内容提到高中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低，对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，从1996年和1998年的高考试题就可看出，但也不可太难，只要掌握基本知识、概念，深刻理解其中基本的数量关系即可过关.9.在复习中，应立足基本公式，在解题时，注意在条件与结论之间建立联系，在变形过程中不断寻找差异，讲究算理，才能立足基础，发展能力，适应高考.在本章内容中，高考试题主要反映在以下三方面：其一是考查三角函数的性质及图象变换，尤其是三角函数的最大值与最小值、周期。多数题型为选择题或填空题；其次是三角函数式的恒等变形。如运用三角公式进行化简、求值解决简单的综合题等。除在填空题和选择题出现外，解答题的中档题也经常出现这方面内容。另外，还要注意利用三角函数解决一些应用问题。五、典型例题两角和与差的三角函数【例1】 已知，求的范围。解：设=，（A、B为待定的系数），则=比较系数=从而可得：【例2】 设，求的解的终边相同的角的集合。解：先写出A与B的交，再写出终边相同的角的集合。设，则；所以，即，由于；因此因此所有与的角的终边相同的角的集合为【例3】 已知 的最值。解： -， 即 y=当sina，1时函数y递增，当sina=时 ymin=；当sina(，0)时，函数y递减，当sina=0时，ymin= 故当无最大值。【例4】 求值解：【例5】 已知,cos()=,sin(+)=,求sin2的值_.解法一：,0.+,sin()=sin2=sin()+(+)=sin()cos(+)+cos()sin(+)解法二：sin()=,cos(+)=,sin2+sin2=2sin(+)cos()=sin2sin2=2cos(+)sin()=sin2=【例6】 不查表求sin220+cos280+cos20cos80的值.解法一：sin220+cos280+sin220cos80= (1cos40)+ (1+cos160)+ sin20cos80=1cos40+cos160+sin20cos(60+20)=1cos40+ (cos120cos40sin120sin40)+sin20(cos60cos20sin60sin20)=1cos40cos40sin40+sin40sin220=1cos40(1cos40)= 解法二：设x=sin220+cos280+sin20cos80y=cos220+sin280cos20sin80，则x+y=1+1sin60=，xy=cos40+cos160+sin100=2sin100sin60+sin100=0x=y=，即x=sin220+cos280+sin20cos80=.【例7】 设关于x的函数y=2cos2x2acosx(2a+1)的最小值为f(a)，试确定满足f(a)=的a值，并对此时的a值求y的最大值.解：由y=2(cosx)2及cosx1，1得：f(a)f(a)=,14a=a=2,+故2a1=，解得：a=1，此时，y=2(cosx+)2+，当cosx=1时，即x=2k，kZ，ymax=5.【例8】 求值：.解：原式的分子，原式的分母，所以，原式【例9】 已知，求的值解1：令，则原题等价于：已知，求的值两式分别和差化积并相除得：，所以.分别将已知两式平方并求和得：,所以，.解2：由平方相加得：上述两式平方相减得：将上式前两项和差化积，得：，结合，可解得：所以，【例10】 已知函数在区间上单调递减，试求实数的取值范围解：已知条件实际上给出了一个在区间上恒成立的不等式任取，且，则不等式恒成立，即恒成立化简得由可知：，所以上式恒成立的条件为：.由于且当时，所以 ,从而 ,有 ,故的取值范围为.【例11】解： A+B+C=， 【例12】 在中，分别是角的对边，设，求的值解：由条件，依据正弦定理，得在； 即三角函数的图象与性质【例1】 试确定下列函数的定义域；解：要使函数有意义，只须满足条件解得：要使函数有意义，只须满足条件 解得【例2】 求函数的最小值解：当【例3】 已知函数f(x)=2asin2x2asinxcosx+a+b1，（a、b为常数，a0），它的定义域为0,，值域为3,1，试求a、b的值。解：f(x)=2asin2x2asinxcosx+a+b1=a(1cos2x)asin2x+a+b1=2asin0x 2x+ a0，恒成立，此时，下面，我们只需考虑的情形如果我们把看作是关于的余弦函数，把看作是关于的正弦函数，那么这两个函数既不同名，自变量也不相同，为了能进行比较，我们可以作如下恒等变换，使之成为同名函数，以期利用三角函数的单调性至此为止，可以看出：由于和同属于余弦函数的一个单调区间，（即，），所以，只需比较与的大小即可事实上，（）=所以，利用余弦函数在上单调递减，可得：也即综上，点评本题好在充分地运用了正余弦函数的值域、周期性、奇偶性、单调性等性质，对于训练学生思维、加深对这些性质的理解、以及学习利用函数的性质去解决问题有很大的帮助是一道很有训练价值的好题六、专题练习【两角和与差的三角函数练习1】一、选择题1.已知方程x2+4ax+3a+1=0(a1)的两根均tan、tan，且，()，则tan的值是( )A.B.2 C. D. 或2二、填空题2.已知sin=，(，)，tan()= ，则tan(2)=_.3.设()，(0，)，cos()=，sin(+)=，则sin(+)=_.三、解答题4.不查表求值:5.已知cos(+x)=，(x)，求的值.6.已知=，且k(kZ).求的最大值及最大值时的条件.7.如右图，扇形OAB的半径为1，中心角60，四边形PQRS是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点P的位置，并求此最大面积.8.已知cos+sin=，sin+cos的取值范围是D，xD，求函数y=的最小值，并求取得最小值时x的值.参考答案一、1.解析：a1，tan+tan=4a0.tan+tan=3a+10,又、(,)、(,),则(,0),又tan(+)=,整理得2tan2=0.解得tan=2.答案：B2.解析：sin=,(,),cos=则tan=,又tan()=可得tan=,答案：3.解析：(),(0, ),又cos()=.答案：三、4.答案：2（kZ）, （kZ）当即（kZ）时,的最小值为1.7.解：以OA为x轴.O为原点，建立平面直角坐标系，并设P的坐标为(cos,sin)，则PS=sin.直线OB的方程为y=x，直线PQ的方程为y=sin.联立解之得Q(sin；sin)，所以PQ=cossin.于是SPQRS=sin(cossin)=(sincossin2)=(sin2)=(sin2+cos2)=sin(2+).0,2+.sin(2+)1.sin(2+)=1时，PQRS面积最大，且最大面积是，此时，=，点P为的中点，P().8.解：设u=sin+cos.则u2+()2=(sin+cos)2+(cos+sin)2=2+2sin(+)4.u21,1u1.即D=1,1,设t=,1x1,1t.x=.【两角和与差的三角函数练习2】一、选择题1下列各三角函数式中，值为正数的是 （ C ） （A） （B） （C） （D）2是第四象限的角，则下列三角函数的值为正的是 （ B ） （A） （B） （C） （D）3的值为 （ B ） （A） （B） （C） （D）4已知=，是第三象限角，则= （ C ） （A） （C） （C）-2 （D）5若=，且为锐角，则的值等于 （ B ） （A） （B） （C） （D）6若=，则的值为 （ B ） （A）1 （B）2 （C） （D）7已知，则 （ C ） （A） （B） （C） （D）8=，则成立的是 （ D ） （A）abbc （C）acb （D）cab9函数的定义域是（ B ）A BC D10已知是第一象限角，且则是 （ C ） （A）第一象限角 （B）第二象限角 （C）第三象限角 （D）第二象限角11若，且，则下列关系正确的是 （ B ） （A） （B） （C） （D）不正确12函数的单调递减区间是 （ D ） （A） （B） （C） （D）15下面三条结论：存在实数，使成立；存在实数，使成立；若cosacosb=0，则其中正确结论的个数为 （ A ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）316函数的值域是 （ B ） （A）-2，2 （B）-1，2 （C）-1，1 （D），217函数的最大值为 （ D ） （A）2 （B） （C） （D）119设都是锐角，且，则的取值范围是 （ D ） （A） （B），1 （C）（，1） （D）20若则的值为 （ D ） （A） （B） （C） （D）21若cos，sin0，则等于（ C ） A B3 C D22sin50(1+)的值是（ A ） A1 B2 C D三、解答题1、已知，求的值解：原式=，上式两边平方，得： ；又，原式2、在DABC中，已知三边满足试判定三角形的形状。解一：由条件展开，消DABC为（A为直角或B为直角）解二： 为3求值：解：原式=4设ABC的三边为a,b,c其所对角为A,B,C如果a,b,c依次成等差数列.求证:；求证:解：成等差数列，又又-,=另略解,不妨设a=bd,c=b+d,由余弦定理，得A=（）5在中，分别是角的对边，设，求的值。解：由条件和正弦定理，又；6在ABC中，已知，sinA+sinC+sinAcosC+cosAsinC=3sinBsinA+sinC+sin（A+C）=3sinBsinA+sinC=2sinB 【三角函数的图象与性质练习1】一、选择题1函数y=xcosx的部分图象是( )2函数f(x)=cos2x+sin(+x)是( )A.非奇非偶函数B.仅有最小值的奇函数C.仅有最大值的偶函数D.既有最大值又有最小值的偶函数二、填空题3函数f(x)=()cosx在，上的单调减区间为_.4设0，若函数f(x)=2sinx在，上单调递增，则的取值范围是_.三、解答题5设二次函数f(x)=x2+bx+c(b,cR),已知不论、为何实数恒有f(sin)0和f(2+cos)0。(1)求证：b+c=1；(2)求证c3；(3)若函数f(sin)的最大值为8，求b，c的值.6用一块长为a，宽为b(ab)的矩形木板，在二面角为的墙角处围出一个直三棱柱的谷仓，试问应怎样围才能使谷仓的容积最大？并求出谷仓容积的最大值.7有一块半径为R，中心角为45的扇形铁皮材料，为了获取面积最大的矩形铁皮，工人师傅常让矩形的一边在扇形的半径上，然后作其最大内接矩形，试问：工人师傅是怎样选择矩形的四点的？并求出最大面积值.8设x，求函数y=log2(1+sinx)+log2(1sinx)的最大值和最小值.9是否存在实数a，使得函数y=sin2x+acosx+a在闭区间0，上的最大值是1？若存在，求出对应的a值；若不存在，试说明理由.参考答案一、1.解析：函数y=xcosx是奇函数，图象不可能是A和C，又当x(0, )时，y0.答案：D2.解析：f(x)=cos2x+sin(+x)=2cos2x1+cosx=2(cosx+1.答案：D二、3.解：在,上，y=cosx的单调递增区间是,0及,.而f(x)依cosx取值的递增而递减,故,0及,为f(x)的递减区间.4.解：由x，得f(x)的递增区间为,，由题设得三、5.解：(1)1sin1且f(sin)0恒成立，f(1)012+cos3,且f(2+cos)0恒成立.f(1)0.从而知f(1)=0b+c+1=0.(2)由f(2+cos)0,知f(3)0,9+3b+c0.又因为b+c=1,c3.(3)f(sin)=sin2+(1c)sin+c=(sin)2+c()2,当sin=1时，f(sin)max=8,由解得b=4,c=3.6.解：如图，设矩形木板的长边AB着地，并设OA=x，OB=y，则a2=x2+y22xycos2xy2xycos=2xy(1cos).0,1cos0,xy (当且仅当x=y时取“=”号)，故此时谷仓的容积的最大值V1=(xysin)b=.同理，若木板短边着地时，谷仓的容积V的最大值V2=ab2cos,ab,V1V2从而当木板的长边着地，并且谷仓的底面是以a为底边的等腰三角形时，谷仓的容积最大，其最大值为a2bcos.7.解：如下图，扇形AOB的内接矩形是MNPQ，连OP，则OP=R，设AOP=，则QOP=45，NP=Rsin,在PQO中，PQ=Rsin(45).S矩形MNPQ=QPNP=R2sinsin(45)=R2cos(245)R2，当且仅当cos(245)=1,即=22.5时，S矩形MNPQ的值最大且最大值为R2.工人师傅是这样选点的，记扇形为AOB，以扇形一半径OA为一边，在扇形上作角AOP且使AOP=22.5，P为边与扇形弧的交点，自P作PNOA于N，PQOA交OB于Q，并作OMOA于M，则矩形MNPQ为面积最大的矩形，面积最大值为R2.8.解：在上，1+sinx0和1sinx0恒成立，原函数可化为y=log2(1sin2x)=log2cos2x，又cosx0在上恒成立，原函数即是y=2log2cosx,在x上，cosx1.log2log2cosxlog21，即1y0，也就是在x上，ymax=0，ymin=1.综合上述知，存在符合题设.【三角函数的图象与性质练习2】一、选择题1下列有关三角函数增减性的判断，正确的是 （ B ） （A）在0，上是增函数。 （B）在0，上是减函数。 （C）在内是减函数。 （D）在内是减函数。2在区间上， （ D ） （A）是增函数，且是减函数 （B）是减函数，且是增函数 （C）是增函数，且是增函数 （D）是减函数，且是减函数3设是R上以2为周期的奇函数，已知当时，则在（1，2）上 （ A ） （A）是增函数且 （B）是增函数且 （C）是减函数且 （D）是减函数且解：当时，当时，是增函数且4函数的最小正周期为1，则 （ D ） （A）1 （B）2 （C） （D）5函数的最小正周期与最大值分别为 （ A ） （A），y最大=+1 （B），y最大=+1 （C），y最大=3 （D），y最大=86函数的 （ A ） （A）周期为最小值为 （B）周期为最小值为-1 （C）周期为最大值为 （D）周期为最大值为17给出函数：；，其中最小正周期为的函数是 （ D ） （A） （B）， （C）， （D），8函数 （ D ） （A）是奇函数而不是偶函数 （B）是偶函数而不是奇函数 （C）既不是奇函数又不是偶函数 （D）既是奇函数又是偶函数9函数是偶函数的充要条件是 （ B ） （A） （B） （C） （D）10要得到函数的图象，只要把函数的图象 （ D ） （A）向左平移个单位 （B）向右平移个单位 （C）向左平移个单位 （D）向右平移个单位11下列命题中正确的是 （ D ） （A）函数的单调区间是 （B）若，则的最大值是 （C）函数的最小正周期为 （D）函数的图象关于轴对称，则12函数y=的最小正周期是（ B ） A B C D213函数的最小正周期T=1，则正实数k的值等于（ C ）(A)0 (B)1 (C) (D) 1、若，则的取值范围是（D）A BC D2设函数y=Asin(x+) (A0, 0) 在x=时取最大值A，在x=时取最大值A，在x=时，取最小值A，则x=时，函数y的值（ C ） A仅与有关 B仅与有 C等于零 D与，均有关3函数的最大值是（ C ） A. B. C. D. 二、填空题1、函数的最小值等于并使函数y 取最小值的x的集合为；2、若函数的图象关于直线对称，则1函数的值域为3、已知函数4函数的最大值是 。5、函数的最小值是三、解答题1已知扇形OAB的圆心角，半径为R，在弧AB上有一点P，作PQOA交OB于Q，求DPOQ面积的最大值。解：设在DOPQ中，正弦定理当解二：从点Q作QMOP于M，设，为锐角，2、在ABC中，已知。(1)求证：sinA+sinC=2sinB；(2)求的取值范围。解：（1）A+B+C=，sin(A+C)=sinB，上式即sinA+sinC=2sinB(2)由sinA+sinC=2sinB可得：2A+C=-B， 2又 01，0。3ABC中，三内角满足AC2B，求cos的值解：A+C=2B，A+C=120，B=60又，即令，则上式为，4已知 ，求函数的最小值。解：= 当 即 时5已知，求函数的最大值。- 33 -用心 爱心 专心