Matlab求解积分问题探讨.doc

Matlab求解积分问题探讨
一.相关函数:
%符号积分
int(f,v)
int(f,v,a,b)
%数值积分
trapz(x,y) %梯形法沿列方向求函数Y关于自变量X的积分
cumtrapz(x,y) %梯形法沿列方向求函数Y关于自变量X的累计积分
quad(fun,a,b,tol) %采用递推自适应Simpson法计算积分
quad1(fun,a,b,tol) %采用递推自适应Lobatto法求数值积分 
dbquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax,tol) %二重(闭型)数值积分指令
triplequad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax,tol) %三重(闭型)数值积分指令

二.示例:
例1:计算f(t)=exp(-t^2)在[0,1]上的定积分
本例演示:计算定积分常用方法
>> syms x
int(exp(-x^2),0,1)

ans =

1/2*erf(1)*pi^(1/2)   %erf为误差函数
>> vpa(int(exp(-x^2),0,1))

ans =

.7468241328124270
>> d=0.001;x=0:d:1;d*trapz(exp(-x.^2))

ans =

    0.7468

>> quad('exp(-x.^2)',0,1,1e-8)

ans =

    0.7468

例2:计算f(t)=1/log(t)在[0,x],0<x<1上的积分
注意:被积函数于x=0无义,在x-->1^-处为负无穷
本例演示:用特殊函数表示的积分结果,如何用mfun指令
（1）
syms t x
ft=1/log(t);
sx=int(ft,t,0,x)  
sx =
-Ei(1,-log(x))  %完全椭圆函数

（2）
x=0.5:0.1:0.9
sx_n=-mfun('Ei',1,-log(x))              
x =
    0.5000    0.6000    0.7000    0.8000    0.9000
sx_n =
   -0.3787   -0.5469   -0.7809   -1.1340   -1.7758  
（3）%图示被函数和积分函数
clf
ezplot('1/log(t)',[0.1,0.9])            
grid on
hold on
plot(x,sx_n,'LineWidth',3)                
Char1='1/ln(t)';
Char2='{\int_0^x} 1/ln(t) dt';        
title([Char1,'   and    ',Char2])    
legend(Char1,Char2,'Location','SouthWest')  

例3:计算f(t)=exp(-sin(t))在[0,4]上的定积分
注意:本题被函数之原函数无"封闭解析表达式",符号计算无法解题!
本例演示:符号计算有限性
（1）符号计算解法
syms t x
ft=exp(-sin(t))
sx=int(ft,t,0,4)  
ft =exp(-sin(t))

Warning: Explicit integral could not be found.

> In sym.int at 58
sx =
int(exp(-sin(t)),t = 0 .. 4)  

（2）数值计算解法
dt=0.05;                    %采样间隔            
t=0:dt:4;                       %数值计算适合于有限区间上,取有限个采样点               
Ft=exp(-sin(t));        
Sx=dt*cumtrapz(Ft);            %计算区间内曲线下图形面积,为小矩形面积累加得
Sx(end)                %所求定积分值
                                %图示
plot(t,Ft,'*r','MarkerSize',4)
hold on
plot(t,Sx,'.k','MarkerSize',15)
hold off
xlabel('x')
legend('Ft','Sx') 

>>ans =
 3.0632

例4:绘制积分图形,y=2/3*exp(-t/2)*cos(sqrt(3)/2*t);积分s(x)=int(y,t,0,x)于[0,4*pi]上
syms t tao
y=2/3*exp(-t/2)*cos(sqrt(3)/2*t);    
s=subs(int(y,t,0,tao),tao,t);     %获得积分函数            
subplot(2,1,1)                            
                                            %
ezplot(y,[0,4*pi]),ylim([-0.2,0.7])  %单变量符号函数可视化,多变量用ezsurf
grid on                                    
subplot(2,1,2)                            
ezplot(s,[0,4*pi])
grid on
title('s = \inty(t)dt')