1、Matlab求解积分问题探讨
一.相关函数:
%符号积分
int(f,v)
int(f,v,a,b)
%数值积分
trapz(x,y) %梯形法沿列方向求函数Y关于自变量X的积分
cumtrapz(x,y) %梯形法沿列方向求函数Y关于自变量X的累计积分
quad(fun,a,b,tol) %采用递推自适应Simpson法计算积分
quad1(fun,a,b,tol) %采用递推自适应Lobatto法求数值积分
dbquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax,tol) %二重(闭型)数值积分指令
triplequad(fun,xmin,
2、xmax,ymin,ymax,zmin,zmax,tol) %三重(闭型)数值积分指令
二.示例:
例1:计算f(t)=exp(-t^2)在[0,1]上的定积分
本例演示:计算定积分常用方法
>> syms x
int(exp(-x^2),0,1)
ans =
1/2*erf(1)*pi^(1/2) %erf为误差函数
>> vpa(int(exp(-x^2),0,1))
ans =
.7468241328124270
>> d=0.001;x=0:d:1;d*trapz(exp(-x.^2))
ans =
0.7468
3、
>> quad('exp(-x.^2)',0,1,1e-8)
ans =
0.7468
例2:计算f(t)=1/log(t)在[0,x],01^-处为负无穷
本例演示:用特殊函数表示的积分结果,如何用mfun指令
（1）
syms t x
ft=1/log(t);
sx=int(ft,t,0,x)
sx =
-Ei(1,-log(x)) %完全椭圆函数
（2）
x=0.5:0.1:0.9
sx_n=-mfun('Ei',1,-log(x))
x
4、 =
0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000
sx_n =
-0.3787 -0.5469 -0.7809 -1.1340 -1.7758
（3）%图示被函数和积分函数
clf
ezplot('1/log(t)',[0.1,0.9])
grid on
hold on
plot(x,sx_n,'LineWidth',3)
Char1='1/ln(t)';
Char2='{\int_0^x} 1/ln(t) dt';
5、
title([Char1,' and ',Char2])
legend(Char1,Char2,'Location','SouthWest')
例3:计算f(t)=exp(-sin(t))在[0,4]上的定积分
注意:本题被函数之原函数无"封闭解析表达式",符号计算无法解题!
本例演示:符号计算有限性
（1）符号计算解法
syms t x
ft=exp(-sin(t))
sx=int(ft,t,0,4)
ft =exp(-sin(t))
Warning: Explicit integral could not be found.
>
6、 In sym.int at 58
sx =
int(exp(-sin(t)),t = 0 .. 4)
（2）数值计算解法
dt=0.05; %采样间隔
t=0:dt:4; %数值计算适合于有限区间上,取有限个采样点
Ft=exp(-sin(t));
Sx=dt*cumtrapz(Ft); %计算区间内曲线下图形面积,为小矩形面积累加得
Sx(end) %所求定积分值
7、
%图示
plot(t,Ft,'*r','MarkerSize',4)
hold on
plot(t,Sx,'.k','MarkerSize',15)
hold off
xlabel('x')
legend('Ft','Sx')
>>ans =
3.0632
例4:绘制积分图形,y=2/3*exp(-t/2)*cos(sqrt(3)/2*t);积分s(x)=int(y,t,0,x)于[0,4*pi]上
syms t tao
y=2/3*exp(-t/2)*cos(sqrt(3)/2*t);
8、
s=subs(int(y,t,0,tao),tao,t); %获得积分函数
subplot(2,1,1)
%
ezplot(y,[0,4*pi]),ylim([-0.2,0.7]) %单变量符号函数可视化,多变量用ezsurf
grid on
subplot(2,1,2)
ezplot(s,[0,4*pi])
grid on
title('s = \inty(t)dt')
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