长序列傅立叶变换分析.docx

长序列FFT分析
一、递推FFT
长序列FFT面临着实时性差和计算量较大的问题，本文使用一种通过滑窗递推的FFT算法，充分利用前窗的计算结果，将后窗序列变换为输入端仅有少数非零点的序列，可以降低计算量，提高FFT计算的实时性。
设时域信号波形的采样离散值为，傅立叶变换截取窗宽度为点，在采样起始位置的点傅立叶变换为，现求以为起始位置的点傅立叶变换，其中为两次滑动窗之间的间隔，。
离散傅立叶变换公式可以表示为：

以为起点的点离散傅立叶变换可以表示为：

上式经过推导可以化简为：

令：

其中的前点为，后点为零。
如果，那么上式是一个输入端仅包括少数非零点的离散傅立叶变换，该算法可以显著提高FFT的实时性。
仿真条件设为采样2048点序列单频信号加高斯白噪声序列，滑窗，滑动间隔，加汉宁窗。
递推FFT算法中几段频谱图为：

可以看出该分段算法与正常FFT算法的频谱基本吻合，但该算法存在的问题是当递推的次数过多时会导致频谱产生误差，因此每隔一段时间后都要重新选定起始数据段进行FFT再进行递推FFT处理。
将各分段处理结果进行叠加得到整段序列的频谱如下图，可以看出与正常FFT相比，递推FFT频谱的信噪比有损失，且旁瓣较高。

当不加汉宁窗时，频谱如下图所示，可以看出与加汉宁窗相比旁瓣明显增高，因此在递推FFT中需要加窗：

当时，可以看出随着递推次数的增加，信噪比下降明显。

将各分段叠加后的频谱为下图所示，可以看出由于滑窗间隔较小，导致分段过多，因此叠加后的频谱信噪比下降明显，且旁瓣较高。因此在进行递推FFT算法时滑窗的间隔不宜过小。

当有新的数据进来时可以按照该方法继续进行递推处理。
二、分段叠加FFT
将长序列分割为若干个短序列，每个序列分别进行FFT处理，最后将结果相叠加得到整个长序列的FFT结果。序列长度为2048点，各分段无交叉时每段长度为512点，当各分段有交叉时，交叉点数为256点。可以看出先分段FFT处理再叠加的频谱与整段数据FFT相比会产生信杂比损失，若各分段之间存在交叉会减少信杂比损失。

当不加汉宁窗时，频谱如下图所示，可以看出与加汉宁窗相比旁瓣明显增高，因此在分段FFT中需要加窗：

当交叉点数为384时，将各分段叠加后的频谱为下图所示，可以看出由于各段之间重叠过多，导致分段过多，因此叠加后的频谱信噪比下降明显。因此在进行分段FFT算法时各段间重叠不宜过多。

当有新的数据进来时，可以将新进数据的FFT频谱与前若干段频谱相叠加，得到我们所需要长度数据的频谱。