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气体动理论/热力学基础
Ⅰ.定义、公式及定律
准静态过程：除初/末态以外每一个中间态都是平衡态的过程。
（无限缓慢进行的过程）
非准静态过程：中间态出现平衡态的过程。
（首先应分析题目中气体宏观变化过程是准静态还是非准静态。）

热力学第零定律：如果两个热学系统中的每一个都与第三个系统的某一平衡态处于热平衡，则此两系统也必定处于热平衡。（关于温度）
热力学第一定律：系统从外界吸收热量 Q；系统对外界做功 A；系统内能增量 ΔE； Q=A+ΔE →νCmdT=pdV+dE（关于能量守恒）
热力学第二定律：（克劳修斯表述）热量不可能自动地从低温物体传向高温物体。

理想气体状态方程 pV=νRT ；采用国际单位制
其中阿伏伽德罗常量 NA=6.02×10^(23) /mol ν为物质的量
气体普适常量R=8.31 J/(mol·K)
波尔兹曼常量 K=R/NA =1.38×10^(-23) J/K
则有 pV=νNAKT=mMRT； M为摩尔质量

气体（单个）分子平均平动动能 εt=12mfv2=32KT
气体压强公式 p=23nεt
mf为分子质量；n为分子数密度
能均分定理：ε=（t+r+2s）2KT t为平动自由度，r为转动自由度，s为振动自由度
包含N个分子的气体内能 E=Nε=N2t+r+2sKT=m(i+s)RT2M *
// * 课件上为E=N2iKT=miRT2M，为分子动能集合

麦克斯韦速率分布律: 在温度为T的平衡态下，理想气体分子速率在v~v+dv之间分子数概率密度fv=dNvNdv=4πv2Ae-α2v2
=4πvvp2e-vvp21vp
其中 A=mf2πKT32 α2=mf2KT

分子最概然速率 vp=2RTM≈1.41RTM
分子平均速率 v=8RTπM≈1.60RTM
分子方均根速率 v2=3RTM≈1.73RTM

气体对外界做功 A=v1v2pdV(准静态) A=p外Δv(非准静态)
系统体积变化v1→v2，增量Δv，p外为外界压强(取恒量)；
热容量 C=dQdT 摩尔热容 Cm=dQνdT 比(质量)热容 c=1mC
摩尔定压热容量 Cp,m=dQνdTp 摩尔定容热容量CV,m=dQνdTV
迈尔公式 Cp,m=CV,m+R

等容过程:体积不变；对外不做功；吸收热量全转化为内能
等温过程:温度不变；内能无变化；吸收热量全部对外做功
等压过程:压强不变
不论是否为准静态过程，内能增量ΔE=νCV,mΔT
绝热过程(包括准静态和非准静态):热交换为0；
绝热过程方程(注意只用于准静态过程)
pVγ=C1; TVγ-1=C2; pγ-1T-γ=C3;
绝热过程做功 A=-νCV,mΔT=p2V2-p1V11-γ

热机效率η=AQ1=1-Q2Q1
卡诺循环:等温吸热-绝热膨胀-等温放热-绝热压缩 η=1-T2T1
制冷机(考虑将卡诺循环机作反向循环) 制冷系数ω=Q2A=Q2Q1-Q2；
卡诺制冷机ω=T2T1-T2

克劳修斯等式dQT=0沿任意可逆循环过程积分
熵增(克劳修斯熵):ΔS=12dQT 熵增原理:绝热系统熵永不减少
熵的统计表述(波尔兹曼熵): 波尔兹曼公式S=KlnΩ热力学概率Ω
平均自由程λ、平均速率v、平均碰撞次数Z满足 λ=vZ

附：
注0：
l 孤立系统（与外界既无能量交换又无质量交换）
l 封闭系统（与外界有能量交换但无质量交换）
l 开放系统（与外界既有能量交换又有质量交换）
热力学平衡态指没有外界影响系统不再发生任何宏观变化的状态。（由于气体每个平衡态都有确定的p,V值，故可以与参量空间里的点对应。这些点连接得到过程曲线。而非平衡态各量都1.空间上分布不均匀2.随时间变化，无法用参量空间的点来表示）
注1：
1. 热力学第零定律的意义有 ①热平衡系统各自宏观参量不再变化 ②热平衡系统吸收/放出热量平衡 ③ 两系统间的热交换停止 ④定义了温度
2. 温度T=t+273.15 T单位为开尔文；t单位为摄氏度
3. Q A是过程量，E是状态量
注2：
1. 理想气体是严格遵守波意耳定律pV=CT的气体，判断条件是压强极小，温度很高，且注意此时气体质量/物质的量不变
2. 理想气体的简化力学假设: 它是由大量刚性的自由质点组成的系统；不计分子重力与分子间相互作用；满足动量与机械能守恒，其分子运动服从牛顿定律
3. 理想气体分子运动统计假设: 不能人为限制气体分子运动的速率；分子按空间位置分布是均匀的；在平衡态时，分子沿任何方向运动的机会均等例如Vx2 =13V2
注3：
1. 温度是理想气体分子群体运动动能的表述，反映大量分子的运动激烈程度，但不能描述单个分子的运动，对单个分子没有意义
2. 温度表征的微观量:分子速率方均根 v2=3KTmf
注4：
1. 确定自由度的气体分子 内能是温度的单值函数
2. 自由度（确定空间位置的独立坐标数）i=t+r+s 其中t为平动自由度，r为转动自由度，s为振动自由度。因为谐振动平均振动动能与平均振动势能相等，故取i+s
分子类型
单原子分子
刚性双原子分子
刚性多原子分子
自由度（s=0）
3
5
6
注5：
1. dω=dNvN=fvdv
2. 对于相同的速率间隔，出现在最概然速率附近的分子数最多
3. 分布函数f(v)是归一化的
4. 对于一定温度，速率分布函数只与分子质量即气体种类有关
5. 任意与v有关的微观物理量gv=gvfvdvfvdv
注6：
1. 定义气体的热容比γ=Cp,mCV,m=1+RCV,m
2. CV,m=(i+s)R2 考试常规默认其不随温度变化
3. 有时热交换不引起系统本身温度变化，比如相变（吸收潜热发生熔化凝固气化液化等等）
注7：
1. 绝热过程方程只需记忆一个pVγ=C1，其余式子代入状态方程即得
2. 绝热过程方程不适用于非准静态过程，因为推导中用了状态方程
3. 绝热线比等温线更陡峭
注8：
1. 顺时针为正循环，逆时针为逆循环；吸热Q_1大于放热Q_2
2. 卡诺定理:不可逆机热效率η<1-T2T1
注9：
1. 熵只与状态有关，但不可逆系统不能直接应用克劳修斯公式，此时12dQT<ΔS
2. 不可逆系统熵增计算应用可逆过程连接两状态计算(除非是不可逆绝热过程)
3. 对于n个组合，组合内有N个分子 Ω=N!N1!N2!…Nn!
4. 克劳修斯熵与波尔兹曼熵是等价的
Ⅱ.例题
P38 例10-4 P50 例10-10 P59 10-11
05-06 1(用vp表示的麦克斯韦速率公式)，2(由定义知)
07-08 1 13-14 3
第10章78节请自行复习

振动和波
Ⅰ.定义、公式及定律
谐振动运动方程
谐振动表达式：
则速度：
加速度：
设弹簧振子
振动动能：
势能
谐振子总能量：E=EK+EP=12kA2

谐振动合成 旋转矢量法 p68,71
特殊情况1.两个同方向同频率振动合成
振幅
初位相
特殊情况2.两个同方向不同频率等幅振动合成（包括拍现象）
近似谐振动
拍频：单位时间合振动加强减弱次数为ν=ω2-ω12π
特殊情况3.两个垂直方向同频率振动合成p73,74
初位相差为π整数倍：单方向直线轨迹振动（奇/偶情况下方向不同）
初位相差为π/2或-π/2：标准椭圆轨迹振动（等振幅时为圆，分右旋左旋）
其他位相差：倾斜椭圆轨迹振动p75
特殊情况4.两个垂直方向不同频率振动合成 利萨如图见p75
（y超前右旋，落后左旋）
谐振分析：傅里叶分析

机械波(产生条件：波源/弹性介质)波振面(同相位点连成的空间曲面，最前面的为波前)波线(传播方向)
设平衡位置（y=0）的振动为波速u 波长λ
行波函数y=Acosω(t-xu)+φ=Acosωt-kx+φ
角波数k=2πλ
波传播介质元的动能=波的势能 初相为0
能量密度
平均(时间)能流密度ω=12ρA2ω2 平均能流P=ωuS=12ρA2ω2uS
能流密度i=ωu 波强 I=P/S=ωu=12ρA2ω2u

惠更斯原理、折射定律(全反射)、反射定律、波的叠加原理
波的相干条件：相遇的两列波频率相同振动方向相同在相遇区域位相差恒定不变
考虑位相差△φ= r1-r2是波程差，取k=0,1,-1,2,-2,…..
△φ=2kπ 则干涉极大，此区域波强最强
△φ=(2k+1)π 则干涉极小，此区域波强最弱
驻波：两列振幅相同的相干波在同一直线上沿相反方向传播时叠加形成的稳定波形
驻波方程 特征：波节、波腹p100、弦线上的驻波p101
半波损失：由波密介质入射波波梳介质无半波损失
由波疏介质入射波密介质有半波损失

多普勒效应：当波源与接收器相向(相背)运动 νR=u± νRu∓ νSνS
S波源R接收
电磁波：相互接近（紫移）：
相互远离（红移）：
电磁振荡：电路中电量和电流周期性变化振荡电路
平面电磁波：E和H相互垂直，都与传播方向垂直，电磁波为横波
u的方向为E×H的方向 E和H同频率同相位且幅值满足
电磁波的传播速度 能量密度
能流密度矢量 波强（平均能流密度）

附：
注0：
1. 判断是否为谐振动可以看合力F=-kx ?(x是位移x的线性式子即可)，类如摆则是取近似。此外可以看位移x能否表示为单个三角函数形式（是否等幅往复运动）
2. 若已知谐振动x0,v0 则振幅 位相为tan-1(-v0ωx0)
注1：
4. 判断一物理量是否按平面波传播 ∂2y∂x2=1u2∂2y∂t2
注2：
1. 折射定律可以用惠更斯原理证明
2. 干涉的两列波
干涉后振幅
干涉后位相
3. 驻波能量：驻波振动中动能和势能不断转换，能量由波腹附近转移到波节附近，再由波节附近转移到波腹附近。波节始终不能经他们向外传播，驻波振动无能量定向传播
Ⅱ.例题
P110 11-1 11-3 11-6 11-13 11-53

波动光学

光程： 路径r和介质折射率n的乘积nr
位相差与光程差满足
相干光干涉条件： k=0,1,2....
杨氏双缝干涉：
k=0,1,2....
※菲涅尔双面镜相同;洛埃镜中存在半波损失

薄膜等倾干涉：

薄膜等厚干涉：

劈尖干涉： 相邻明（暗）条纹间距
平行于棱边的直条纹
牛顿环：
一组明暗相间、内疏外密的同心圆环，级次从中心到边缘逐级升高。

菲涅尔衍射：光源和光屏到障碍物的距离均不是很远，且没有使用透镜。
夫琅和费衍射：光源和光屏到障碍物的距离都很大
惠更斯-菲涅尔原理：同一波面上的每一个微小面元都可看作是
新的振动中心，它们发出于级次波。这些子波经传播而在空间某
点相遇时，该点的振动是所有这些次级波在该点的相干叠加。
单缝衍射光强公式：
单缝衍射特点：
主极大：最大光强与狭缝宽度a的平方成正比
次级大：
暗纹：
相邻暗纹的角距离为明纹角宽度，且
双缝衍射光强公式：

双缝衍射特点： 极大： 极小：
（主极大）缺级：
接受屏上本该出现干涉极大的地方对应的衍射因子为0衍射光强为0

多缝（衍射光栅）：

多缝衍射特点：主极大（光栅公式）： (k=0,1,2....)
次级大： (m=1,2,3....N-1)
主极大的半角宽度（主机大的中心到邻近极小间的角距离）
（主极大）缺级：单缝衍射极小的地方：
角色散：波长间隔的两种单色入射光通过光栅后产生相应主极大间角距离的大小
布喇格公式： 相应方向上可产生反射极大

圆孔衍射：焦平面处呈现明暗相间的衍射同心圆，中心零级衍射斑为一亮斑（爱里斑）
爱里斑半径张角
分辨本领： 越小，仪器分辨本领越高
光栅分辨率：

光的偏振态：
振动面：波的振动方向和传播方向决定的平面

马吕斯定理：
布儒斯特定律：
双折射
Ⅰ.定义、公式及定律
双折射：有一类晶体物质，一条入射光对应两条折射光，有一条符合常规折射定律（寻常光（o光）），另一条不符合（非寻常光（e光））。o光和e光是线偏振光。o光的振动方向垂直于o光的主平面；e光的振动方向平行于e光的主平面
当晶体的光轴在入射面内时，o光和e光的主平面重合， o光和e光的振动方向相互垂直。
当晶体的光轴垂直于入射面内时，o光和e 光的主平面不重合。
线偏振光垂直入射双折射晶体，o光与e光没有分开。合成形成圆或椭圆偏振光。
出晶体后，o光和e 光间的相位差是：
只要适当控制晶体的厚度，就可以控制o光和e 光的位相差（光程差)。
对应波长λ的四分之一玻片：
对应波长λ的二分之一玻片：
附：
注0：
1. 产生原因：
在晶体中o光和e光的传播速度不相同，导致光束分离。由晶体折射率的定义：
o光在晶体中传播各向同性，其折射率是单值no : =
e光在晶体中传播各向异性，其折射率非单值ne :
e光在晶体中传播各向异性，光沿不同方向传播其速度不同，则其折射率不是单值，是方向的函数。 取光传播速度极值的方向对应的折射率为主折射率ne :
正晶体 负晶体

2. 晶体的光轴 ：晶体内存在一个特别的方向，光线沿这一特定的方向传播，o光和e光的传播速度相同，不发生双折射。晶体有单轴晶体和多轴晶体。
3. 光线的主平面：在晶体中传播的光线与晶体光轴组成的平面称为该光线的主平面。晶体中o光和e光有各自的主平面

负晶体光轴在入射面内，与晶体表面平行，光线垂直入射（左图
负晶体光轴在入射面内，与晶体表面平行，光线平行斜入射（右图

负晶体光轴垂直射面，与晶体表面平行，光线平行斜入射（左图
负晶体光轴在入射面内，与晶体表面不平行，光线平行斜入射（右图
注意到入射光与晶体光轴垂直时，双折射光沿同一直线传播，发生垂直振动合成