安徽省池州一中2014届高三数学上学期第一次月考试题-文.doc

池州一中2014届高三第一次月考
数学（文）试题

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
⒈ 若复数满足，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
⒉ 设，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
⒊ 已知，函数的定义域为集合，则（ ）
A. B. C. D.
⒋ 已知向量，，．若，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
⒌ 等差数列中的、是函数的极值点，则（ ）
A. B. C. D.
⒍ 设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）
A. B. C. D.
⒎ 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
（ ）
A. B.
C. D.
⒏ 已知函数，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
⒐ 袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球.从袋中任取两球，两球颜色不同的概率为（ ）
A. B. C. D.
⒑ 定义在上的偶函数，满足，，则函数在区间内零点的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．至少个

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填在答题卡的相应位置.
11. 求值：         .
12. 阅读程序框图（如图所示），若输入，，,则输出的数是        ．
13. 已知，由不等式， ，，….在条
件下，请根据上述不等式归纳出一个一般性的不等式 .
14. 已知圆的圆心是直线与轴的交
点，且圆与直线相切.则圆的方程为 .
15.已知函数，给出下列五个说法：
①；②若，则；③在区间上单调递增； ④将函数的图象向右平移个单位可得到的图象；⑤的图象关于点成中心对称．其中正确说法的序号是 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 解答写在答题卡上的指定区域内.
16.（本小题满分12分）
已知函数，．
（Ⅰ）求函数的最小值和最小正周期；
（Ⅱ）设的内角、、的对边分别为、、，满足，且，求、的值.

17.（本小题满分12分）
如图，是边长为2的正方形，⊥平面,,// 且.
（Ⅰ）求证：平面⊥平面；
（Ⅱ）求几何体的体积.

18.（本小题满分13分）
数列的前项和为，．
（Ⅰ）设，证明：数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的前项和.

19.（本小题满分12分）
某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六组[90,100)，[100,110)，…，[140,150)后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题．
（Ⅰ）求分数在[120,130)内的频率；
（Ⅱ）若在同一组数据中，将该组区间的中点值(如：组区间[100,110)的中点值为＝105)作为这组数据的平均分，据此估计本次考试的平均分；
（Ⅲ）用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120,130)内的概率．

20.（本小题满分13分）
已知椭圆：的离心率为，左焦点为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线与曲线交于不同的、两点，且线段的中点在圆 上，求的值.

21.（本小题满分14分）
已知函数().
（Ⅰ）当时，求函数的极值；
（Ⅱ）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．

池州一中2014届高三年级第一次月考
数学（文）试题答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
题号
⒈
⒉
⒊
⒋
⒌
⒍
⒎
⒏
⒐
⒑
答案
C
A
B
D
A
B
B
A
D
D
⒈【解析】由，得，从而虚部，选C.
⒉【解析】 因为，解得，显然条件表示的集合小，结论表示的集合大，由集合的包含关系，选A.
⒊【解析】化简集合，，则，选B．
⒋【解析】∵，∴，即，∴，解得，选D.
⒌【解析】.因为、是函数的极值点，所以、是方程的两实数根，则.而为等差数列，所以，即，从而，选A.
⒍【解析】由已知作出可行域为一个三角形区域，得到三个交点，当直线平移通过点时，目标函数值最小，此时.
【考点定位】本试题考查了线性规划的最优解的运用以及作图能力.
⒎【解析】由图知，原几何体是两个相同圆锥底面重合的一个组合体，，，，则表面积为，选B.
⒏【答案】A.
⒐【解析】令红球、白球、黑球分别为，则从袋中任取两球有，，，
，共15种取法，其中两球颜色相同有，共4种取法，由古典概型及对立事件的概率公式可得.
⒑【解析】∵是定义在上的偶函数，且周期是3，，∴，即.∴，，所以方程在内，至少有4个解，选D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
题号
⒒
⒓
⒔
⒕
⒖
答案

①④
⒒【解析】.
⒓【解析】程序框图的功能是：输出中最大的数，
∵，，，所以输出的数为.
⒔【解析】根据题意，分析所给等式的变形过程可得，先对左式变形，再利用基本不等式化简．消去根号，得到右式，则.
⒕【解析】令y=0得x=-1，所以直线x-y+1=0,与x轴的交点为.
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，所以圆的方程为.
⒖【解析】.①正确，；②错误：由，知或；③错误：令，得，由复合函数性质知在每一个闭区间上单调递增，但，故函数在上不是单调函数；④错误：将函数的图象向右平移个单位可得到；⑤错误：函数的对称中心的横坐标满足，解得，即对称中心坐标为，则点不是其对称中心.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 解答写在答题卡上的指定区域内.
⒗ （本小题满分12分）
【解析】（Ⅰ），…………3分
则的最小值是， 最小正周期是；…………6分
（Ⅱ），则，…………7分
,,所以，
所以，，…………9分
因为，所以由正弦定理得，……①…………10分
由余弦定理得，即……②…………11分
由①②解得：，．…………12分

⒘ （本小题满分12分）
【解析】（Ⅰ）∵ ED⊥平面，AC平面，∴ ED⊥AC．…………2分
∵ 是正方形，∴ BD⊥AC， …………4分
∴ AC⊥平面BDEF． …………6分
又AC⊂平面EAC，故平面EAC⊥平面BDEF．
（Ⅱ）连结FO，∵ EFDO，∴ 四边形EFOD是平行四边形．
由ED⊥平面可得ED⊥DO，
∴ 四边形EFOD是矩形．…………8分
方法一：∴∥，
而ED⊥平面，∴ ⊥平面．
∵ 是边长为2的正方形，∴。
由（Ⅰ）知，点、到平面BDEF的距离分别是、，
从而；
方法二：∵ 平面EAC⊥平面BDEF．
∴ 点F到平面ACE的距离等于就是Rt△EFO斜边EO上的高，
且高．…………10分
∴几何体ABCDEF的体积
=
=2．
…………12分

⒙（本小题满分12分）
【解析】（Ⅰ）因为，
所以 ① 当时，，则，………………………………1分
② 当时，，……………………2分
所以，即，……………………4分
所以，而，……………………5分
所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以．……………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得．
所以 ①，
②，……………8分
②-①得：，……………10分
.………………12分

⒚（本小题满分12分）
【解析】（Ⅰ）分数在[120,130)内的频率为；
……………………2分
（Ⅱ）估计平均分为
.…… ………5分
（Ⅲ）由题意，[110,120)分数段的人数为60×0.15＝9(人)．[120,130)分数段的人数为60×0.3＝18(人)． ……………………7分
∵用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本，
∴需在[110,120)分数段内抽取2人，并分别记为、； ……………………8分
在[120,130)分数段内抽取4人，并分别记为、、、； ……………………9分
设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120,130)内”为事件A，则基本事件共有，
共15种． ………………10分
则事件A包含的基本事件有，共9种． ……………………11分
∴. ……………………12分
⒛（本小题满分13分）
【解析】（Ⅰ）由题意得， ………2分
解得 ………4分
所以椭圆C的方程为： ………6分
（Ⅱ）设点、的坐标分别为，，线段的中点为，
由，消去y得 ………8分
∵，∴ ………9分
∴， ………10分
∵点 在圆上，∴，即……13分

21.（本小题满分14分）
【解析】（Ⅰ）当时，
，………………………………………………2分
令，解得.
当时，得或；当时，得.………………………4分
当变化时，，的变化情况如下表：

1

+
0

0
+

极大

极小

∴当时，函数有极大值，； …………………………5分
当时，函数有极大值，， …………………………………6分
（Ⅱ）∵，∴对，恒成立，即对恒成立， ………………………………………………………………7分
①当时，有，即对恒成立，………………9分
∵，当且仅当时等号成立，
∴，解得 ………………………………………………………………11分
②当时，有，即对恒成立，…………12分
∵，当且仅当时等号成立，
∴，解得 ………………………………………………………………13分
③当时，.
综上得实数的取值范围为. …………………………………………………………14分

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